2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂第十八讲 二次函数与一元二次方程（含解析）

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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十八讲 二次函数与一元二次方程
知识点梳理
知识点1二次函数与一元二次方程的关系
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点横坐标就是求一元二次方程
ax2＋bx＋c=0的两个根；一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根（b2-4ac≥0）就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与直线y=0的交点横坐标。
要点诠释：
二次函数与一元二次方程本质是同一数学对象的不同表现形式，通过判别式和图像特征可相互转化与分析，是解决代数与几何问题的重要桥梁.
知识点2二次函数与x轴交点个数的问题
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况
b2-4ac>0 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 无实数根
要点诠释：
避免混淆顶点与交点：顶点在x轴上时⊿=b2-4ac = 0，但函数仍与x轴有一个交点；
联立方程求解交点坐标时，需注意二次项系数a是否为0.
知识点3 用图像法求一元二次方程的近似解
画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的的根。
要点诠释：
近似求解技巧
（1）确定根的范围
当交点坐标非整数时，可通过观察图像确定根所在的整数区间。
（2）利用表格数据辅助
通过计算函数在特定点的值,观察函数值由负变正的区间，可确定根的近似范围。注意事项：
（1）对称性应用 ：若抛物线对称轴已知，且已知一个根，则另一个根可通过对称轴公式计算得出。
（2）精度控制 ：根据题目要求选择合适的小数位数，通常通过表格数据逐步逼近精确解。
通过以上方法，结合图像与计算，可高效求解一元二次方程的近似根
知识点4 用图像法求一元二次不等式的解集
要点诠释：
用图像法求一元二次不等式的解集，核心在于通过二次函数图像直观分析不等式解的范围，
（1）化简不等式
将不等式化为标准形式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0，并确保二次项系数 a>0。
（2）求解对应方程
求解方程 ax2+bx+c=0，得到根 x1 和 x2（可能相等或不相等）。
（3）绘制二次函数图像
根据根的情况画出抛物线：
判别式 ⊿=b2-4ac>0 ：抛物线与x 轴有两个交点，解集为 xx2。
⊿=0 ：抛物线与x 轴有一个交点。
⊿<0 ：抛物线与x 轴无交点，解集为全体实数 .
（4）确定解集范围
根据不等式符号和抛物线位置，确定 x 的取值范围。
题型1 求图象与坐标轴的交点坐标
【例1】．已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
针对训练1
1．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．7
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线与轴相交的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法正确的是（ ）
A．
B．抛物线的对称轴为直线
C．时，的值随值的增大而增大
D．抛物线的顶点坐标为
题型2已知函数值求自变量的值
【例2】．已知抛物线L的解析式为()，则下列说法正确的是（ ）
A．若点与点都在抛物线L上，且，则有
B．若抛物线L的顶点A到原点的距离为5，则
C．若抛物线L只经过两个象限，则
D．当时，y有最小值为1，则a的值为或
针对训练2
1．已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ）
A．24 B．6 C．31 D．19
2．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
3．将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线与直线的两个交点的横坐标为（ ）
A．0，4 B．1，5 C． D．
5．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格：
x … 0 1 2 …
y … 3 4 3 0 …
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
题型3 已知函数图象确定相应方程的根
【例3】．如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（ ）
A． B． C．或3 D．或
针对训练3
1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，正确的是（ ）
A．
B．关于的方程一定有两个不相等的实数根
C．
D．若点在该抛物线上，则
2．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．已知二次函数中部分和的值如下表所示：
则方程的一个较大的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．根据表格对应值：
判断关于x的方程的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．无法判定
5．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ）
A． B． C． D．
题型4 图象法确定一元二次不等式的解集
【例4】．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．或 C．或 D．
针对训练4
1．若实数满足条件，则的最大值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．不能确定
2．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
3．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
5．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．或
题型5 根据交点确定不等式的解集
【例5】．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
针对训练5
1．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
2．如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．已知关于的一元三次方程的解为，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或或 D．或
4．如图，直线与抛物线交于点，，则不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
5．如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是( )
A． B． C．或 D．
能力提升 创新拓展
1．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … 0 …
y … 3 n 0 3 …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于x的方程的根为和；④当时，x的取值范围是或．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，；④方程的两个根分别为和．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
3．已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．不能确定
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第十八讲 二次函数与一元二次方程（解析版）
知识点梳理
知识点1二次函数与一元二次方程的关系
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点横坐标就是求一元二次方程
ax2＋bx＋c=0的两个根；一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根（b2-4ac≥0）就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与直线y=0的交点横坐标。
要点诠释：
二次函数与一元二次方程本质是同一数学对象的不同表现形式，通过判别式和图像特征可相互转化与分析，是解决代数与几何问题的重要桥梁.
知识点2二次函数与x轴交点个数的问题
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况
b2-4ac>0 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 无实数根
要点诠释：
避免混淆顶点与交点：顶点在x轴上时⊿=b2-4ac = 0，但函数仍与x轴有一个交点；
联立方程求解交点坐标时，需注意二次项系数a是否为0.
知识点3 用图像法求一元二次方程的近似解
画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的的根。
要点诠释：
近似求解技巧
（1）确定根的范围
当交点坐标非整数时，可通过观察图像确定根所在的整数区间。
（2）利用表格数据辅助
通过计算函数在特定点的值,观察函数值由负变正的区间，可确定根的近似范围。注意事项：
（1）对称性应用 ：若抛物线对称轴已知，且已知一个根，则另一个根可通过对称轴公式计算得出。
（2）精度控制 ：根据题目要求选择合适的小数位数，通常通过表格数据逐步逼近精确解。
通过以上方法，结合图像与计算，可高效求解一元二次方程的近似根
知识点4 用图像法求一元二次不等式的解集
要点诠释：
用图像法求一元二次不等式的解集，核心在于通过二次函数图像直观分析不等式解的范围，
（1）化简不等式
将不等式化为标准形式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0，并确保二次项系数 a>0。
（2）求解对应方程
求解方程 ax2+bx+c=0，得到根 x1 和 x2（可能相等或不相等）。
（3）绘制二次函数图像
根据根的情况画出抛物线：
判别式 ⊿=b2-4ac>0 ：抛物线与x 轴有两个交点，解集为 xx2。
⊿=0 ：抛物线与x 轴有一个交点。
⊿<0 ：抛物线与x 轴无交点，解集为全体实数 .
（4）确定解集范围
根据不等式符号和抛物线位置，确定 x 的取值范围。
题型1 求图象与坐标轴的交点坐标
【例1】．已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)二次函数图象与轴的交点坐标为
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键．
（1）把点代入计算即可求解；
（2）二次函数，令，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点，
∴将代入，
∴；
（2）解：二次函数，令，则有，
解得，
故二次函数图象与x轴的交点坐标为．
针对训练1
1．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：由得，当时，，
∴与轴的交点坐标是，
故选：．
2．已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．7
【答案】A
【分析】根据韦达定理可知，，然后将其代入所求的代数式求值即可．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大．
【详解】解： 由抛物线与x轴交于点A和B，
知，．
∴．
故选：A．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与轴交点的性质，根与系数的关系（韦达定理）以及两点间距离公式的应用和解一元二次方程．
先将点的坐标代入得到关于，的关系式，再利用根与系数的关系得到，然后将代入求出，的值，从而得出抛物线表达式，最后令得到一元二次方程，解方程便可得到抛物线与轴的交点坐标即可．
【详解】解：将点代入抛物线，得：，
化简得：，即，
设抛物线与x轴交点，，则：
，，
，
，即，
，
，
将代入得：，
化简得：，解得，
，
，
令，得，整理得：，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为，．
故选： D．
4．抛物线与轴相交的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令，求出此时的函数值即可得到答案．
【详解】解：在中，令，则，
∴抛物线与轴相交的坐标为，
故选B．
5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法正确的是（ ）
A．
B．抛物线的对称轴为直线
C．时，的值随值的增大而增大
D．抛物线的顶点坐标为
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
先利用交点式写出抛物线解析式，再把解析式化为一般式，从而可对选项进行判断；然后把一般式配成顶点式，从而根据二次函数的性质可对B、C、D选项进行判断．
【详解】解：抛物线与轴交于点和点，
抛物线解析式为，
即，
，所以A选项不符合题意；
，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，
当时，随的增大而减小，所以B选项符合题意，C、D选项不符合题意．
故选：B．
题型2已知函数值求自变量的值
【例2】．已知抛物线L的解析式为()，则下列说法正确的是（ ）
A．若点与点都在抛物线L上，且，则有
B．若抛物线L的顶点A到原点的距离为5，则
C．若抛物线L只经过两个象限，则
D．当时，y有最小值为1，则a的值为或
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，一般式化为顶点式，求出抛物线的对称轴和与轴的交点，分，，结合二次函数的图象和性质，逐项进行分析，判断即可．
【详解】解：∵，当时，，
∴抛物线过，对称轴为直线，
∵a正负性不知，
∴存在多种情况
①当时，抛物线开口向上，根据近小远大，到对称轴远，2到对称轴近，
∴；故A错误
②∵顶点坐标为，利用勾股定理可知，解得或，故B错误；
③若抛物线只过两个象限，当时，抛物线开口向上，则顶点在x轴上方或x轴上，，则，
当时，则抛物线必过四个象限，故C错误；
④当时抛物线开口向上，当时，最小值在顶点处取到，，，
当时抛物线开口向下，当时，最小值在处取到，，；故D正确；
故选D．
针对训练2
1．已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ）
A．24 B．6 C．31 D．19
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可．
【详解】解：抛物线经过点，
故选：C ．
2．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
【答案】B
【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：令，得到，
即，
解得：或6．
故选：B
3．将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：，
当时，，故不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当时，，故在此抛物线上，故B选项符合题意；
当时，，故不在此抛物线上，故C选项不合题意；
当时，，故不在此抛物线上，故D选项不符合题意；
故选：B．
4．抛物线与直线的两个交点的横坐标为（ ）
A．0，4 B．1，5 C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了直线与抛物线的交点问题，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解答此题的关键．
【详解】解：把代入得：，
解得：，，
∴抛物线与直线的两个交点的横坐标为，
故选：D．
5．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格：
x … 0 1 2 …
y … 3 4 3 0 …
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程中各项的系数已知，再解方程即可．
【详解】解：由题意可知点，，在二次函数的图象上，
则，
解得：，
所以一元二次方程可化为：，
解得：，，
故选：C．
题型3 已知函数图象确定相应方程的根
【例3】．如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（ ）
A． B． C．或3 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与直线交于，两点，
的解为或3，
故选：C．
针对训练3
1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，正确的是（ ）
A．
B．关于的方程一定有两个不相等的实数根
C．
D．若点在该抛物线上，则
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图形与性质，根据二次函数图像来判断各项系数的正负，可判断选项A，再由图像的交点问题来判断B选项，当时，，结合对称轴来判断选项C，由函数的增减性判断选项D即可．
【详解】解：二次函数的图形开口向上，
，
，
，
当时，，
，
，故A错误，不符合题意；
根据图象可知，当时，抛物线与的图象不能确定有几个交点，
一定有两个不相等的实数根，说法错误，故B错误，不符合题意；
由图可知，当时，，
，
对称轴为直线，
，
，
，即，故C错误，不符合题意；
，
，
点位于抛物线对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
，故D正确，符合题意，
故选：D．
2．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题．根据二次函数的对称性，开口方向等来判断结论①②，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，根据函数的增减性，函数值判断结论④⑤即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，即，故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，
抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
∵抛物线图象与轴交点的纵坐标是2，
，
，
，
令，得，
或，
，
，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线的开口向下，
抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大，
，
，
，
，
，
点到对称轴的距离是，点到对称轴的距离是，
，故④正确；
如图，当时，，
，
，
，
当时，，
函数的最大值大于，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个，
故选：B．
3．已知二次函数中部分和的值如下表所示：
则方程的一个较大的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答．
【详解】解：由表格数据可得：
∵函数的对称轴为直线，
当时，；当时，；
∴的较小的根的范围为，
∴的较大的根的范围是．
故选：C．
4．根据表格对应值：
判断关于x的方程的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．无法判定
【答案】A
【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果．
【详解】解：令，
由表格可知：时，，当时，，
∴当，存在一个x的值使，
∴关于x的方程的一个解x的范围是；
故选：A．
5．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：，
∴对称轴为直线，
由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：，
∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为；
∴一元二次方程的正数解的范围是；
故选:D．
题型4 图象法确定一元二次不等式的解集
【例4】．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：若，则，
有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即，
∴当或时，，
则当或时，，
故选：B．
针对训练4
1．若实数满足条件，则的最大值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键得到关于x的函数关系式并确定出x的取值范围；由题意可得，再代入所求代数式得到关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质进行解题即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
∴当时，的值最大，最大值为，
故选：．
2．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，当时，或，
故选：B．
3．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可．
【详解】解：根据函数图像可知，当时，，，
结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或，
故选：D．
4．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．
【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，
则当时，x的取值范围为或．
故选：B．
5．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴不等式的解集是．
故选：A．
题型5 根据交点确定不等式的解集
【例5】．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线与x轴没有交点可判断可判断①；根据抛物线的开口方向得到，结合可判断②；分别求当时，当时，两式相减得即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线与x轴没有交点，
，则①错误；
抛物线的开口向上，
，
由图得：抛物线的对称轴为：，
，故②正确；
当时，，
当时，，
∴两式相减得，即，故③正确；
不等式变形为：，
令，如图，
由图象得：直线与抛物线的图象交于点和，
不等式的解集为，故④正确，
则正确的个数有3个，
故选：D．
针对训练5
1．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应x的范围即为时的取值范围，利用交点坐标即可解答．
【详解】解：根据图象：当时的取值范围为，
故选：C．
2．如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图象可得出当时对应的x的值，然后结合函数图象求解即可．
【详解】解：根据函数图象可知，当时，，，
结合函数图象可知，当成立的的取值范围是或．
故选：C．
3．已知关于的一元三次方程的解为，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了函数和不等式的关系，理解函数图象的性质，应用数形结合的思想解题是关键．令，根据题意得到的图象与轴的交点为，作的图象，根据图象信息即可得到答案．
【详解】解：令，
关于的一元三次方程的解为，
的图象与轴的交点为，
的图象与轴的交点不含，
当时，，
作的图象如下，
当时，，
即，
关于的不等式的解集是或，
故选：D．
4．如图，直线与抛物线交于点，，则不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
结合图象可直接得出答案．
【详解】解：由图象可得，不等式的解集为．
故选：B．
5．如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是( )
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解．
【详解】解：由图象得：当时，，即，
故选：D．
能力提升 创新拓展
1．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … 0 …
y … 3 n 0 3 …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于x的方程的根为和；④当时，x的取值范围是或．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，
∴对称轴为直线；故②正确；
∴和的函数值相同，
∴，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴该抛物线的开口向上；故①正确；
∵和的函数值均为0，
∴关于x的方程的根为和；故③正确；
当时，x的取值范围是或；故④正确；
故选D．
2．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，；④方程的两个根分别为和．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
①由抛物线交轴的负半轴，得到，可判定①；
②根据题意得到抛物线的对称轴为直线，则，可判定②；
③当时，得到抛物线全在轴下方，于是得到，可判定③；
④根据二次函数图象的与轴的交点得到方程的两根分别为和3，可判定④．
【详解】解：①抛物线交轴的负半轴，
，故①正确；
②抛物线的对称轴为直线，
，故②错误；
③当时，抛物线全在轴下方，即，故③正确；
④二次函数图象的与轴的交点坐标为和，
关于的一元二次方程的两根分别为和3，故④正确；
∴正确结论的序号是①③④．
故选：C．
3．已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】根据题意求得二次函数与轴的截线长，进而通过平移知识即可求解．
【详解】解：当 时，，二次项系数为
二次函数与轴有2个交点，
设与轴交于点，
令，则
即二次函数图像在轴上方的部分的“宽度”小于2，
当时，的取值范围为.
故选B
【点睛】本题考查了二次函数与轴的截线长，理解题意是解题的关键．
典例精讲1
典例精讲2
变式训练2
典例精讲3
典例精讲4
典例精讲5
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
典例精讲4
典例精讲5
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