16 等边三角形
1. 如图，∠ = 60 ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交
于点 ；分别以点 ， 为圆心，大于1 的长为半径画弧，两弧在∠ 的内部相
2
交于点 ，画射线 ；连接 ， ， ，过点 作 ⊥ 于点 , ⊥ 于点 ，
则以下结论错误的是( )
A.△ 是等边三角形 B. =
C. △ ≌ △ D. △ = △
2.如图，在等腰三角形 中，120 < ∠ < 180 ， ⊥ 于点 ，以 为边作等边
三角形 ，△ 与△ 在直线 的异侧，直线 交直线 于点 ，连接 交 于
点 ．若 = 10， = 2，则 = ___．
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3. 某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究.如图，在等边三角形
中，过点 作射线 // ，在射线 上取一点 （不与点 ， 重合），作∠ = 60 ，
∠ 的边 交射线 于点 .
（1）【动手操作】如图，若点 在线段 上，图中与∠ 相等的角为_______；
（2）【问题探究】在（1）的基础上，探究线段 与 的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】当点 在射线 上移动时，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，
并说明理由.
35/5716 等边三角形
1. 如图，∠ = 60 ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交
于点 ；分别以点 ， 为圆心，大于1 的长为半径画弧，两弧在∠ 的内部相
2
交于点 ，画射线 ；连接 ， ， ，过点 作 ⊥ 于点 , ⊥ 于点 ，
则以下结论错误的是( )
A.△ 是等边三角形 B. =
C. △ ≌ △ D. △ = △
解析：A.∵ ∠ = 60 ， = ，∴ △ 是等边三角形，故选项 A 成立，不符合题
意. B.由作图知：射线 是∠ 的平分线，且 ⊥ ， ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90 , = ，故选项 B 成立，不符合题意. C .
由作图知： = ，又∵ = ，∴ Rt△ ≌Rt△ (HL) ，故选项 C 成立，不符合题
意.D.如图，设 与 交于点 ，由题意易得 ⊥ ，但无法证明 = ，∴ 无法确定
△ = △ ，故选项 D 不成立，符合题意.故选 D.
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2.如图，在等腰三角形 中，120 < ∠ < 180 ， ⊥ 于点 ，以 为边作等边
三角形 ，△ 与△ 在直线 的异侧，直线 交直线 于点 ，连接 交 于
点 ．若 = 10， = 2，则 = ___．
解析：如图，
由题意可知 = ，∴ ∠1 = ∠2 ，
∵ ⊥ ，∴ 直线 垂直平分 ，∴ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ∠1 = ∠ ∠2，即∠3 = ∠4，
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∵ 在等边三角形 中， = ，∴ = ，∴ ∠3 = ∠5，∴ ∠4 = ∠5 ，
又∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∵ 在等边三角形 中，∠ = 60 ，
∴ ∠ = 60 ；在 上截取 ，使 = ，连接 ，
∵ ∠ = 60 ， = ，∴ △ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 ， = ，
∵ △ 为等边三角形，∴ ∠ = 60 ， = ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，
= ,
即∠5 = ∠6，在△ 和△ 中， ∠5 = ∠6, ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ = ，∴ + = + = ，又
∵ = = , ∴ + = . ∵ = 10 ， = 2，∴ + 2 = 10 ，
∴ = 4，∴ = 4 + 2 = 6 .
3. 某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究.如图，在等边三角形
中，过点 作射线 // ，在射线 上取一点 （不与点 ， 重合），作∠ = 60 ，
∠ 的边 交射线 于点 .
（1）【动手操作】如图，若点 在线段 上，图中与∠ 相等的角为_______；
解：∠PAC
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（2）【问题探究】在（1）的基础上，探究线段 与 的数量关系，并说明理由；
解： = .理由如下：如图①
延长 至 ，使 = ，连接 ，
∵ △ 是等边三角形，∴ = ,∠ = ∠ = 60 .
∵ // ，∴ ∠ = ∠ = 60 .
又∵ = ，∴ △ 是等边三角形.∴ = ，∠ = 60 = ∠ = ∠ = ∠ .
∴ ∠ = ∠ . ∴ △ ≌△ (ASA) .∴ = .
（3）【拓展延伸】当点 在射线 上移动时，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，
并说明理由.
解：当点 在线段 上时， = + ，当点 在线段 的延长线上时， = + ，
理由如下：当点 在线段 上时，由（2）可知△ ≌△ ，∴ = .
又∵ = , ∴ = = + = + .
如图②,
当点 在线段 的延长线上时，在 上截取 = ，连接 ，
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∵ △ 是等边三角形，∴ = ,∠ = ∠ = 60 .
∵ // ，∴ ∠ = ∠ = 60 .
又∵ = ，∴ △ 是等边三角形.
∴ = ，∠ = 60 = ∠ = ∠ = ∠ .
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 120 .
∴ △ ≌△ (ASA). ∴ = .
又∵ = ,∴ = + = + .
综上，当点 在线段 上时， = + ，
当点 在线段 的延长线上时， = + .
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