19 幂的乘方与积的乘方
1.小明是一名刻苦学习，善于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法：
2 = 1 ，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数 i，使i2 = 1，那么方程 2 = 1 可
以变成 2 = i2，则 =± i，从而 =± i 是方程 2 = 1 的两个解，小明还发现 i 具有以下性质：
i1 = i，i2 = 1，i3 = i2 i = i,i4 = (i2)2 = ( 1)2 = 1 ，
i5 = i4 i = i，i6 = (i2)3 = ( 1)3 = 1，i7 = i6 i = i ，
i8 = (i4)2 = 1， .
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4 +1 = __，
i4 +2 =____，i4 +3 =____，i4 +4 =___（ 为自然数）.
2.已知 5 = 10,求代数式( 2 5 )5 1 ( 4)5 + 10 的值.
1 000
3. 幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如 = + ，则 + = （ ， 为
正整数）.请运用所学知识解答下列问题：
（1）计算：33 × ( 1 )2 = ___；
3
（2）已知 = 2， = 5（ ， 为正整数），则 2 + = ____；
（3）已知 个( )相乘的结果为 2， 个( ) 相乘的结果为 3，若(3 + 2 )个( )
相乘的结果为 64，求 4 的值.
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1.小明是一名刻苦学习，善于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法：
2 = 1 ，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数 i，使i2 = 1，那么方程 2 = 1 可
以变成 2 = i2，则 =± i，从而 =± i 是方程 2 = 1 的两个解，小明还发现 i 具有以下性质：
i1 = i，i2 = 1，i3 = i2 i = i,i4 = (i2)2 = ( 1)2 = 1 ，
i5 = i4 i = i，i6 = (i2)3 = ( 1)3 = 1，i7 = i6 i = i ，
i8 = (i4)2 = 1， .
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4 +1 = __，
i4 +2 =____，i4 +3 =____，i4 +4 =___（ 为自然数）.
2.已知 5 = 10,求代数式( 2 5 )5 1 ( 4)5 + 10 的值.
1 000
解:因为 5 = 10 ，
所以( 2 5 )5 1 ( 4)5 + 10
1 000
= ( 2 × 10)5 1 ( 5 )4 + 10
1 000
= 3.2 × 106 1 × 104 + 10
1 000
= 3.2 × 106 10 + 10
= 3.2 × 106 .
3. 幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如 = + ，则 + = （ ， 为
正整数）.请运用所学知识解答下列问题：
（1）计算：33 × ( 1 )2 = ___；
3
（2）已知 = 2， = 5（ ， 为正整数），则 2 + = ____；
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（3）已知 个( )相乘的结果为 2， 个( ) 相乘的结果为 3，若(3 + 2 )个( )
相乘的结果为 64，求 4 的值.
解:由已知可知( ) = 2，( ) = 3 ，
∴ ( )3 +2 = ( )3 × ( )2 = ( 2)3 × ( 3)2 = 6 × 6 = 12 = ( 4)3 ，
∴ ( 4)3 = 64 = 43 ，
∴ 4 = 4 .
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