22 平方差公式
1. 设 为某一自然数，代入代数式 3 计算其值时，四名学生算出了下列四个结果.其中正
确的结果是( )
A. 521 B. 1 413 C. 3 721 D. 1 716
2.已知 = 12 + 32 + 52 + + 252 ， = 22 + 42 + 62 + + 242，则 的值为_____.
3.数形结合是数学学习中经常使用的方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面
积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问
题．
【构图一】
（1）如图①是一张边长为 的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为 的小正方形，然后
将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个
图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的等式___（填选项即可）；
A. 2 2 + 2 = ( )2
B. 2 2 = ( + )( )
C. 2 + = ( + )
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①若 2 9 2 = 12, + 3 = 4，则 3 的值为___；
②计算：2 0252 2 026 × 2 024 = ___；
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【构图二】 如图③表示的是一个棱长为 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长
方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_______________________．
【构图三】 某住宅小区为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，
如图④，其中正方形 与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为 ( + 4 ) ，
正方形 的边长为 ，求八边形 的面积．
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1. 设 为某一自然数，代入代数式 3 计算其值时，四名学生算出了下列四个结果.其中正
确的结果是( )
A. 521 B. 1 413 C. 3 721 D. 1 716
2.已知 = 12 + 32 + 52 + + 252 ， = 22 + 42 + 62 + + 242，则 的值为_____.
解析: = 12 22 + 32 42 + 52 62 + + 232 242 + 252
= 1 + (32 22) + (52 42) + + (252 242)
= 1 + (3 + 2) × (3 2) + (5 + 4) × (5 4) + + (25 + 24) × (25 24)
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 24 + 25
= 25×(25+1)
2
= 25 × 13
= 325 .
3.数形结合是数学学习中经常使用的方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面
积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问
题．
【构图一】
（1）如图①是一张边长为 的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为 的小正方形，然后
将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个
图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的等式___（填选项即可）；
A. 2 2 + 2 = ( )2
77/100
B. 2 2 = ( + )( )
C. 2 + = ( + )
解:B
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①若 2 9 2 = 12, + 3 = 4，则 3 的值为___；
②计算：2 0252 2 026 × 2 024 = ___；
【构图二】 如图③表示的是一个棱长为 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长
方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_______________________．
解: 3 = ( 1)( + 1)
【构图三】 某住宅小区为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，
如图④，其中正方形 与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为 ( + 4 ) ，
正方形 的边长为 ，求八边形 的面积．
解:由题意知小长方形的短边为 ，∴ 八边形 的面积为 ( + 4 ) + 2 2 = 2 +
4 + 2 2 .
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