2024-2025北师大九年级数学（上）第一学期期中检测卷（含答案）

北师大九年级数学（上）第一学期期中检测卷
时间 100分钟 分数 120分
一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.若关x的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则m 的值为( )
A.0 B.±3 C.3 D.-3
2.矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
3.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是 ( )
A.(x-2)(x+5)=2
4.某校食堂每天中午为学生提供A，B两种套餐，甲、乙两人同去该食堂打饭，那么他们选择同款套餐的概率为 ( )
A. B. C. D.
5.如图,在Rt△ABC中,AB=4,D 是斜边BC 的中点,以AD 为边作正方形ADEF,若S正方形ADEF=16,则AC 的长为 ( )
A.4 B.4 C.4 D.4
6.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为 ( )
A. B. C.2 D.
7.如图，将一张矩形纸片对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，将剪下的纸(①部分)展开，一定可以得到一个 ( )
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.梯形
8.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B=60°,E,F分别是边BC,CD的中点,则的周长为( )
D.3
9.如图,在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,先以顶点B为圆心,以边AB为半径作弧交对角线BD于点E，再以顶点D为圆心，以边AD为半径作弧交对角线BD于点 F，则方程 的一个正根是
( )
A.线段BD的长 B.线段BF的长 C.线段DE的长 D.线段EF的长
10.如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别为BC,CD 两边的中点,AE,BF 相交于点G,连接 DG，则下列结论不正确的是 ( )
A. AE=BF B. AE⊥BF C. DF=FG D. AD=DG
二、填空题(每小题3分，共15 分)
11.若x=1为关于x的一元二次方程( 的一个根，则a= .
12.如图,在矩形ABCD 中,AC=10,E,F 分别为BC,CD 的中点,则EF= .
13.已知α，β是关于x的方程 的两个实数根，且则k的值为 .
14.如图，正方形ABCD 的边长为2，其顶点C 在以其对角线BD为一边的菱形BDEF的边EF的延长线上，则CF 的长为 .
15.如图,边长为4 的菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O, P 为线段AO上的一动点，连接BP，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ，连接OQ，则线段OQ 的最大值为 ，最小值为 .
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)用适当的方法解下列方程：
17.(8分)为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查，请用画树状图或列表的方法求甲组抽到 A 小区同时乙组抽到C小区的概率.
18.(8分)如图,菱形 EFGH 的三个顶点E,F,G分别在矩形ABCD 的边AB,AD,CD上，且 ，求证：四边形 EFGH 是正方形.
19.(9分)若关于x 的一元二次方程 有两个实数根
(1)求m的取值范围；
(2)若 恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长.
20.(10分)如图,E 是矩形ABCD 的边BC上的一点,且.
(1)尺规作图：作 的平分线AF，交BC 的延长线于点F，连接DF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)试判断四边形AEFD 的形状，并说明理由.
21.(10分)如图,在中， ，过点A作BC的平行线与的平分线交于点D,连接CD.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)连接AC 交BD于点O,过点D作交BC的延长线于点 E，连接OE，若 求CE 的长.
22.(10分)根据以下素材，完成探索任务.
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块矩形果园ABCD，图①是果园的平面图(单位:m),其中AB=200 m,BC=300 m.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2xm，左右两条纵向道路的宽度都为 x m，中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑，x的取值限制在5≤x≤12的范围内.
素材2 该农户发现某种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的销售平均利润为 100元，每月可销售5 000 m 的草莓.受天气原因影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价.若每平方米草莓的平均利润下调5元，每月可多销售500 m 的草莓.已知果园每月的承包费为2万元.
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. (1)若中间种植的面积是 44 800 m ,路面设置的宽度是否符合要求
任务2 解决果园种植的预期利润问题(总利润=销售利润—承包费). (2)若该农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓的客户的角度考虑，每平方米草莓的平均利润应下调多少元
23.(12分)综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.在正方形ABCD的边AD 上选一点E,沿 BE 折叠,使点A 落在正方形ABCD 的内部.
(1)操作判断
①如图①，当点A 落在正方形ABCD 的对角线BD 上的点F处时，连接CF并延长交BE的延长线于点G，则
②如图②，改变点E的位置，当点 A 落在正方形ABCD 的内部任意一点F 处时， °
(2)迁移探究
如图③，当点A落在正方形ABCD 的对角线BD上的点 F 处时，过点分别作于点H,FI⊥BC于点I,连接AF,HI,试猜想AF,HI之间的数量关系并证明；
(3)拓展应用
延长 BF 交正方形ABCD 的一边于点J，若正方形ABCD 的边长为8，当 是等腰三角形时，请直接写出 AJ 的长.
北师大九年级数学（上）第一学期期中检测卷答案
C 2. C 3. B 4. A 5. C 6. B 7. A 8. B 9. C 10. C
11.-1 12.5 13.-4
15.2 1
【解析】在 AB 上取一点 E,使 BE=OB,连接PE.由旋转的性质可得 BQ = BP,∠PBQ = 60°,即∠PBD+∠DBQ=60°.∵四边形 ABCD 为菱形,∴BD⊥ 又∵∠BAD = 60°,∴△ABD为等边三角形,∴BD=AB=4,∠ABD=60°, 又∵BE=OB,BP=BQ,∴△EBP≌△OBQ(SAS),∴EP=OQ.∵BE=OB=2,∴AE=AB-BE=4-2=2.当点 P与点A 或点O 重合时，PE 取得最大值，∴PE 最大值为2，∴OQ 的最大值为 2.当 PE⊥OA 时,PE 取得最小值.∵△ABD 为 等 边 三 角 形, BD ⊥ AC, ∴ ∠BAC = ∴OQ的最小值为1.
16.解:
17.解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中甲组抽到A小区同时乙组抽到C小区的结果只有1种，∴甲组抽到A小区同时乙组抽到C小区的概率为
18.证明:∵四边形 ABCD 是矩形,四边形 EFGH 是菱形,∴∠A=∠D=90°,EF=FG,∴∠AEF+∠AFE=90°.又∵AE=DF,∴Rt△AEF≌Rt△DFG(HL),∴∠AEF=∠DFG,∴∠DFG+∠AFE=90°,∴∠EFG=90°,∴四边形 EFGH 是正方形
19.解:(1)根据题意,得 8m-16≥0,解得 m≥2 (2)由根与系数的关系可知.x + 恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， 整理，得 又∵m≥2,且 1)>0,∴m=3,∴这个矩形的周长为 1)=16
20.解:(1)如图所示 (2)四边形AEFD 是菱形.理由如下：∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BF,∴∠DAF=∠AFC.又∵AF 平分∠DAE,∴∠FAE=∠DAF=∠AFC,∴EA=EF.又∵AE=AD,∴AD=EF,∴四边形AEFD 是平行四边形.又∵AE=AD,∴四边形 AEFD 是菱形
解:(1)证明:∵AD∥BC,BD 平分. ∠CBD=∠ADB,∴AB=AD.又∵ BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形 ABCD 是菱形 (2)由(1)得四边形 ABCD 是菱形,∴OB=OD.又∵DE⊥BC,∴BD=2OE=2×2=4 BE-CE=8-CE.又∵在Rt△CDE中, 解得CE=3
22.解:(1)符合要求.理由如下:根据题意,得(300-2x)·(200-2·2x)=44 800.整理,得 解得 又∵5≤x≤12,∴x的取值为10，∴路面设置的宽度符合要求 (2)设每平方米草莓的平均利润应下调y元、根据题意，得20000=520000.整理,得 解得 又∵要让利于顾客，∴y=40，∴每平方米草莓的平均利润应下调40元
23.解:(1)①45
【解析】如答图①,过点 B 作BH⊥CF 于点H,则∠BHC=∠BHF=90°.∵四边形 ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°.又由折叠的性质可知 ∴BC= BF.又∵BH= BH,∴Rt△BCH≌Rt△BFH(H 90°-∠FBE-∠FBH=90°-22.5°-22.5°=45° ②45
【解析】如答图②,过点 B 作BH⊥CF 于点 H,则∠BHC=∠BHF=90°.∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB =BC,∠ABC=90°.又由折叠的性质可知AB=BF,∠ABE= 又∵ BH = BH,∴Rt△BCH≌Rt△BFH(HL),∴∠CBH =∠FBH = 45°(2)AF=HI.证明:如答图③,连接CF.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABF=∠CBF =45°,∠BCD=90°.又∵ ∴AF = CF.又∵FH⊥CD,FI⊥BC,∴∠FHC =∠FIC=90°=∠ICH,∴四边形CHFI 是矩形,∴CF=HI,∴AF = HI (3)∵正方形ABCD 的边长为 8,∴AB=AD=BC=CD=8,∠BAD=∠BCD=90°.又由折叠的性质可知BF=AB=8.由题意可知∠DJF>90°,∴当△DFJ 是等腰三角形时，只有JD=JF.分如下两种情况讨论:①如答图④,当点 J 在AD边上时,设JD=JF=a,则AJ=AD-JD=8-a,BJ =BF+JF=8+a.∵在Rt△ABJ中, 解得a=2,∴AJ=8-a=6; ②如答图⑤,当点 J 在CD边上时,设JD=JF=a,则CJ=CD-JD=8-a,BJ=BF+JF=8+a.∵在 Rt△BCJ 中, 解得a=2,即 JD=2,∴AJ= 综上所述，当△DFJ 是等腰三角形时，AJ 的长为6 或2