第一章 反比例函数 单元测试卷 2025-2026学年湘教版九年级数学上册（含解析）

第一章 反比例函数 单元测试卷 2025-2026学年湘教版九年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围为( )
A. B.
C. D.
2.下列函数中，表示是的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
3.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.反比例函数的图象在第二、四象限内，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.对于函数，下列结论中，错误的是 ．
A. 当时，随的增大而增大
B. 当时，随的增大而减小
C. 时的函数值小于时的函数值
D. 在函数图象所在的每个象限内，随的增大而增大
6.已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是( )
A. B. C. D.
7.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.下面的三个问题中都有两个变量：
京沪铁路全程为，某次列车的平均速度单位：与此次列车的全程运行时间单位：；
已知北京市的总面积为，人均占有面积单位：人与全市总人口单位：人；
某油箱容量是的汽车，加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了油箱中的剩油量与加满汽油后汽车行驶的路程．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.下列函数，；其中是关于的反比例函数的有： ．
10.若点，在反比例函数的图象上，则 填“”或“”或“”
11.如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，已知点的坐标为，那么点的坐标为 ．
12.如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点与点在同一个反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，那么矩形的面积等于 ．
13.如图，面积为的矩形的一个顶点在反比例函数的图象上，另三个顶点在坐标轴上，则 ．
14.在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，点在图象上，则当力达到时，物体在力的方向上移动的距离是
15.在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为，则的值为 ．
16.如图，点在双曲线上，点在轴的负半轴上，直线交轴于点若，的面积为，则的值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共52分。
17.本小题分
已知是的反比例函数，是它图象上的一点．
写出这个反比例函数的表达式；
该图象是否经过点，？
18.本小题分
一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数．当时，．
求与之间的函数表达式；
当时，求氧气的密度．
19.本小题分
镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间小时和卸货速度吨小时之间的函数关系如图．
写出与之间函数表达式为______；
如果用小时卸完所有货物，求卸货速度；
若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要台吊机同时作业假设每台吊机的卸货速度相同？
20.本小题分
如图，已知四边形为矩形，且点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于点和点，且，连接．
求反比例函数的解析式；
求的长．
21.本小题分
如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以原点为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为：交反比例函数的图象于点，已知．
求反比例函数的解析式；
求的长．
22.本小题分
如图，利用杆秤研究杠杆平衡条件用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点最长为，在点处用一个弹簧秤向下拉当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数单位：与的长度单位：的五组对应值如图表所示．
由表格中数据判断与之间是什么函数，并求关于的函数表达式．
当的长度为时，求弹簧秤的示数．
李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象得到两个交点的横坐标，再观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得到的取值范围．
【解答】
解：由图象可得，
当时，自变量的取值范围为．
故选D．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中和的符号对函数图象的影响是解题的关键，属于基础题．
分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】
解：当时，过一、二、三象限；过一、三象限；
当时，过一、二、四象限；过二、四象限．
观察图形可知，只有选项符合题意．
故选：．
4.【答案】
【解析】见答案．
5.【答案】
【解析】根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：
双曲线过二、四象限，在每个象限内随的增大而增大．
当时，；
当时，．
故A、、选项正确，不符合题意；选项说法不正确，符合题意．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正比例函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系，根据各个函数图象，可以得到和的正负情况，从而可以判断的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】
解：中，，故，故符合题意；
中，，故，故不符合题意；
中，，故，故不符合题意；
中，，故，故符合题意；
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题．
分别计算出自变量为、和对应的函数值，从而得到，，的大小关系．
【解答】
解：当，；
当，；
当，，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由平均速度等于路程除以时间，得，符合题意；
由人均面积等于总面积除以总人口，得，即，符合题意；
由加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了，可知每千米油耗为，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每千米油耗乘加满汽油后汽车行驶的路程，得，不符合题意．
综上分析可知，变量与变量之间的函数关系可以用该图象表示的是．
故选：．
9.【答案】
【解析】【详解】，可化为，不是反比例函数；
，与成反比例关系；
是关于的反比例函数；
符合反比例函数的定义，是反比例函数；
是正比例函数；
符合反比例函数的定义，是反比例函数；
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查反比例函数的图象和性质．
根据反比例函数的性质得到反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小即可得到答案．
【解答】
解：，
反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
点，同在第三象限，且，
．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知点与点关于原点对称，
点的坐标为，
点的坐标为．
12.【答案】
【解析】设点在反比例函数的图象上，可得：，解得：，
因为第一象限内的点与点在同一个反比例函数的图象上，
矩形的面积等于，
故答案为：
13.【答案】
【解析】由的几何意义可知又由图象可知，其一个分支在第四象限，所以因此．
【易错总结】已知矩形或三角形的面积求反比例函数中的值时，要注意图象的位置．当图象在第一、三象限时，取正数；当图象在第二、四象限时，取负数；当未给出图象的位置时，取两个值．本题中，易出现的错误是误认为．
14.【答案】
【解析】设函数的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，解得，
则反比例函数表达式为，
当时，即，解得．
15.【答案】
【解析】【点拨】本题考查反比例函数中系数的几何意义，明确的面积的面积是解题的关键．
如题图，连接，轴，轴，，反比例函数的图象在第二象限，故答案为．
16.【答案】
【解析】【点拨】本题考查反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标特征，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
如题图，过点作轴于点，轴，，，，，故答案为．
17.【答案】【小题】
解：设这个反比例函数的表达式是点是它图象上的一点，。这个反比例函数的表达式是，即 ．
【小题】
当时，，
该图象经过点 ．
当时，，
该图象不经过点 ．

【解析】 见答案
见答案
18.【答案】【小题】
解：设与之间的函数表达式是，把，代入上式，得，解得所以与之间的函数表达式是，．
【小题】
把代入，得．
答：当时，氧气的密度为．

【解析】 见答案
见答案
19.【答案】；
将代入，
解得：，
用小时卸完所有货物，卸货速度吨小时；
只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，
每台吊机的卸货速度为吨小时，
由可得货物的重量为：吨，
设需要台吊机同时作业，
为了实现小时内完成卸货，
解得，
为正整数，
最小为，
【解析】解：观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，
，
与之间函数表达式为：，
故答案为：；
将代入，
解得：，
用小时卸完所有货物，卸货速度吨小时；
只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，
每台吊机的卸货速度为吨小时，
由可得货物的重量为：吨，
设需要台吊机同时作业，
为了实现小时内完成卸货，
解得，
为正整数，
最小为，
故答案为：．
观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，即可求解；
将代入即可求解；
根据中可得货物的重量，则需要台吊机同时作业，根据题意列出不等式即可求解．
本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20.【答案】解：四边形为矩形，
，
点坐标为，
，，
，
，
，
比例函数的图象与矩形交于点和点，
，
，
反比例函数的解析式为；
比例函数的图象与矩形交于点，
点的纵坐标为，
，
，
，
，
．
【解析】根据矩形的性质得到，得到，，求得，把代入即可得到结论；
根据比例函数的图象与矩形交于点，得到点的纵坐标为，求得，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】；
．
【解析】，四边形是正方形，
点坐标为，
反比例函数的图象经过正方形的顶点，
，
反比例函数解析式为；
将正方形扩大得到正方形，使其面积比为：，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
点在反比例函数上，
令，解得
．
先根据得出点坐标，再代入反比例函数求出的值即可；
根据将正方形扩大得到正方形，使其面积比为：得出正方形的边长，故可得出点坐标，进而得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，熟知以上知识是解题的关键．
22.【答案】是的反比例函数，关于的函数表达式为；
弹簧秤的示数为；
理由见解析．
【解析】解：根据条件可设函数表达式为，
将代入上式，得，
解得，
关于的函数表达式为；
当时，．
答：弹簧秤的示数为．
将代入反比例函数解析式中，得，
解得．
，
不可能等于．
根据表格数轴可知为定值，得出与之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解；
将代入中解析式即可求解；
将代入中解析式，求出对应的的值，即可判断．
本题考查反比例函数的应用，熟练掌握该知识点是关键．
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