第四章 图形的相似 单元测试卷 （含答案）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第四章 图形的相似 单元测试卷 2025-2026学年北师大版九年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，
1.下列说法“凡正方形都相似；凡等腰三角形都相似；凡等腰直角三角形都相似；直角三角形斜边上的中线与斜边的比为：；两个相似多边形的面积比为：，则周长的比为：”中，正确的个数有个
A. B. C. D.
2.下列四条线段不成比例的是( )
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
3.下列说法中正确的是( )
A. 全等三角形不一定是相似三角形 B. 相似三角形一定是全等三角形
C. 不全等的三角形一定不是相似三角形 D. 不相似的三角形一定不是全等三角形
4.如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有( )
A. 对 B. 对
C. 对 D. 对
5.如图，中，点在边上，点在边上，且，则与相似的三角形的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.如图，、分别是边，上的点，，若，，，则的长是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，点、分别在、边上，，且那么下列各判断中，错误的是( )
A. ∽
B. ∽
C. ∽
D. ∽
8.如图，在矩形中，点为上一点，且，，，点为边上一动点，连接、，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如图，，分别是的边，上的点，，，，，则和的周长之比为______．
10.如图所示：铁道口栏杆的短臂长，长臂长，当短臂端点下降，则长臂端点升高______
11.如图，中，、分别为、的中点，则与的相似比为______．
12.如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的区域，已知点到窗口下的墙脚的距离为，窗口高，那么窗口底端距离墙脚 ______
13.如图，已知，若再增加一个条件就能使结论“∽”成立，则这个条件可以是______．
14.如图，点在线段上，在的同侧做等腰和等腰，与、分别交于点，对于下列结论：
∽；；其中正确的是______
15.某同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影子长为米，与他相邻的一棵树的影子长为米，则这棵树的高度是______．
16.如图，在中，，，，，的平分线交于点，则______．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，四边形是内接正方形，，是的高，交于点，且，求内接正方形的边长．
18.本小题分
如图，用三个一样的菱形、、拼成平行四边形，连接，与、分别交于、．
若，求线段的长；
观察图形，是否有三角形与全等？并证明你的结论．
19.本小题分
如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
填空：______，______；
判断：与是否相似，并证明你的结论．
20.本小题分
如图，在中，，为边上的中线，于点．
求证：．
若，，求线段的长．
21.本小题分
如图，、、在同一直线上，和都是等边三角形，且在直线的同侧，交于，交于，交于．
求证：；
求证：∽．
22.本小题分
如图，在中，，，点、分别是边、的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．
问题发现
当时，______；当时，______．
拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明．
问题解决
当旋转至，，三点共线时，直接写出线段的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】：
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】，或，或
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：四边形是内接正方形，
，
∽，
，
，
，
内接正方形的边长为．
18.【答案】解：菱形、、是全等菱形，
，
，
，
，，
∽，
，
；
图中的与全等．
菱形、、是全等的菱形，
，
，
，
，
，
，
，
≌．
19.【答案】，；
∽．
证明：在的正方形方格中，
，
．
，，，，
，．
，
∽．
20.【答案】解：为边上的中线，
，
，
，，
，
，
；
在中，，，
，
，
即，
．
21.【答案】证明：与都是等边三角形，
，，．
，
即．
在和中，
，
≌，
；
由知：≌，
，
又，
，
又，
∽．
22.【答案】解：；；
如图，
当时，的大小没有变化．
理由如下：
，
，
又，
∽，
．
如图，
、、三点共线，，
，又，，
，
，，，
四边形是矩形，
．
如图，连接，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，
、、三点共线，，
，又，，
，
题图中点、分别是边、的中点，
根据旋转的性质长不变，
，
，
由可知∽，，
．
综上所述，的长为或．
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