21.2.2 公式法 课时作业(含详解)2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.2 公式法
一、选择题

1.方程的解是（ ）
A. B. C. D.

2.一元二次方程的一个根是（ ）
A. B. C. D.

3.若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为（ ）
A. B. C.或 D.或

4.下列一元二次方程中，有实数根的是（ ）
A. B. C. D.

5.若关于的方程有两个实数根，则应满足（ ）
A. B. C.且 D.且

6.有一个正数，与的和乘以与的差仍得，则（ ）
A. B. C. D.或
二、填空题

1.如果关于的方程有实数解，那么的取值范围是___________．

2.若关于的一元二次方程有实数根，则的值为____________．

3.将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_____________．
三、解答题

1.解方程：

2.解一元二次方程：．

3.已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，这个方程总有实数根．

4.在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数．在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决未知函数的最值问题，这种方法叫做判别式法．
例：已知函数，当取何值时，取最小值？最小值为多少？
解：，，
方程有实数根，，即，
的最小值为，
此时，解得，符合题意，
当时，取最小值，最小值为．
（1）已知函数，请用判别式法求的最大值；
（2）已知实数满足，请求出的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
运用直接开方法即可解答．
【解答】
解：，
，
故选：．
2.
【答案】
A
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
利用直接开平方法解方程即可解答．
【解答】
解：，
则，
解得：，，
故选：．
3.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
【解析】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．由于抛物线与轴有且只有一个交点，根据根的判别式，即可得到答案．
【解答】
解：抛物线与轴有且只有一个交点，
，
解得 或，
故选．
4.
【答案】
D
【考点】
根的判别式
【解析】
对于一元二次方程，其根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可．
【解答】
解：对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意；
对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意；
对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意；
对于方程，其判别式，该方程有两个不相等的实数根，符合题意．
故选：．
5.
【答案】
D
【考点】
根据一元二次方程根的情况求参数
【解析】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，由方程为一元二次方程，得,再结合根的判别 式：当时，方程有实数根，即可求解,熟练地掌握当时，方程有实数根，当时，方程无实数根是解题的关键．
【解答】
解：关于的方程有两个实数根，
，
，
解得：，
且，
故选：．
6.
【答案】
B
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可
【解答】
解：依题意得：，
整理得：，
解得：（舍去）
故选：
二、填空题
1.
【答案】
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
先确定，则方程变形为，根据平方根的定义得到时，方程有实数解，然后解关于的不等式即可．
【解答】
根据题意得，
，
当时，方程有实数解，
所以
故答案为：
2.
【答案】
【考点】
根据一元二次方程根的情况求参数
【解析】
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式，非负数的性质，根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，．
【解答】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
整理得：，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
3.
【答案】
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
先将变形为，再利用“降次法”将转化为，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可．
【解答】
解：，
．
，
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
；
原式
．
故答案为：．
三、解答题
1.
【答案】
，
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
先将方程化为一般式，再运用公式法解方程即可.
【解答】
将方程化为一般式，得
由题可知，所以
即，
2.
【答案】
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
利用公式法解一元二次方程即可．
【解答】
解：，，，
，
，
即，．
3.
【答案】
见解析
【考点】
根的判别式
【解析】
本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意知，，进而结论得证．
【解答】
证明：，
，
无论取何值，这个方程总有实数根．
4.
【答案】
（1）的最大值为
（2）的最小值为
【考点】
根据一元二次方程根的情况求参数
【解析】
（1）仿照题目所给的解题方法，将二次函数变换为一元二次方程，令求解即可；
（2）先将原式变形为，根据根的判别式得出，求出，即可得出答案．
【解答】
（1）解：，
，
，
解得：，
即的最大值是；
（2）解：，
，
，
解得：，
的最小值为．
试卷第4页，总9页
试卷第5页，总9页