1.3 正方形的性质与判定 同步练习（含解析） 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.3 正方形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.选择题：在四边形中，点是对角线的交点．在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，
2.如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是( )
A. B. C. D.
3.如图，、分别是正方形的边、上的点，且，连接、，将绕着正方形的中心按顺时针方向旋转到的位置，则旋转角为( )
A. B. C. D.
4.如图，正方形中，点为对角线的交点，直线过点分别交、于、两点，若过上异于点的一点作直线与正方形的一组对边所在的直线分别交于、两点，满足，则这样的直线不同于直线的条数共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条
5.如图，边长为的正方形的对角线交于点，过点的直线分别交边，于，两点，则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方形中，点在的延长线上，且，将绕点按逆时针方向旋转，则点的对应点是( )
A. 的中点 B. 的中点 C. 的中点 D. 对角线交点
7.如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交正方形的一边于点，的度数是．
A. B. C. D.
8.如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为( )
A.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.把边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是 ．
10.已知正方形的一条边长为，则这个正方形的对角线长为 ，面积为 ．
11.如图，菱形 中，，，四边形 是正方形，则 的长为 ．
12.如图，正方形的内部有一个等边三角形，则 ．
13.如图，将正方形的边延长到点，使，与边相交于点，那么的度数为 ．
14.如图，正方形的对角线、相交于点，点、分别在边、上，且，则 ．
15.如图，正方形的两条对角线，相交于点，点在上，且，则的度数为 ．
16.如图，四边形是矩形，则只需补充条件 用字母表示，只添加一个条件就可以判定四边形是正方形．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，四边形是正方形，为上一点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为，求证：．
18.本小题分
如图，四边形是正方形，为上一点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为求证：．
19.本小题分
如图，在中，，，是的中点，连接并延长至点，连接，且，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，求证：四边形是正方形．
20.本小题分
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到延长交于点，连接．
试判断四边形的形状，并说明理由；
若，，求．
21.本小题
如图，在正方形中，是边的中点，将沿翻折得到，延长交于点，连接．
求证：≌；
若，求的长．
22.本小题)
如图，在中，是的中点，是的中点，过点作，与的延长线相交于点，连接．
求证：四边形是平行四边形；
填空：当满足条件时，四边形是______形；
当满足条件______时，四边形是正方形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，四边形是矩形。
又，矩形是正方形。
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．同时考查了正方形的性质和等腰三角形的性质．
先根据正方形的性质和旋转的性质得到的度数，，再根据等腰三角形的性质即可求得的度数．
【解答】
解：正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，
，，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
由题意得到对应点为，连接，，即为旋转角，利用正方形性质求出即可．
此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
【解答】
解：
正方形，为正方形的中心，
，，
，
由题意得到对应点为，连接，，即为旋转角，
则将绕着正方形的中心按顺时针方向旋转到的位置，旋转角为，
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据对称性以及旋转变换的性质，画出图形即可解决问题．
【解答】
解：过，边中点作直线，作关于的对称图形，
则，
过上异于点的任意一点，作，只要交点分别在和上，
根据平行四边形的判定和性质，则都有，
这样的直线不同于直线有无数条，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判定．
首先证明，可得阴影面积就等于三角形面积．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
阴影面积三角形面积．
故选：．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】四边形是正方形，
，。
四边形是菱形，。
。
8.【答案】
【解析】解：作点关于的对称点，连接，
则的和最小即为的长；
由对称性可知：，
是等边三角形，
，
，，
，，
是等边三角形，
正方形的面积为，
，
，
故选：．
作点关于的对称点，连接，则的和最小即为的长；证明是等边三角形，即可求解；
本题考查正方形的性质，最短距离；掌握正方形和等边三角形的性质，利用对称性求最短距离是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，
，，
点、、共线，点、、共线，
和都是等腰直角三角形，
，，
而，
四边形的周长．
故答案为．
连接，，先利用正方形的性质得到，，可判断点、、共线，点、、共线，推出和都是等腰直角三角形，则，，从而得到四边形的周长，进而可得出答案．
本题考查旋转的基本性质，以及正方形的性质．
10.【答案】

【解析】解：正方形的边长为，
正方形的对角线长为；
正方形的面积为．
故答案为：；．
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
先判定是等边三角形，再根据正方形的性质即可得出答案．
【解答】
解： 四边形 是菱形
，且 ，
是等边三角形，
，
四边形 是正方形，
故答案为：
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】提示：由四边形为正方形可得，
因为，
所以 ，
所以．．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】答案不唯一
【解析】 有一组邻边相等的矩形是正方形，故答案为答案不唯一．
17.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
．
【解析】根据证明≌，可得结论．
本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
18.【答案】证明 四边形是正方形，
，．
．
，．
又，
，．

【解析】见答案
19.【答案】证明见解答；
证明见解答．
【解析】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
，，于点，
，，
，
，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形．
由是的中点，得，则，得，而，即可证明≌，得，则四边形是平行四边形，由得，则四边形是矩形；
，，于点，得，，则，所以，而四边形是矩形，则四边形是正方形．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定、勾股定理、正方形的判定等知识，证明≌是解题的关键．
20.【答案】证明见解答；
的长为．
【解析】解：四边形是正方形，
理由：，将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，，，
延长交于点，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
作于点，于点，则，
四边形是正方形，，，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
的长为．
由旋转得，，因为延长交于点，所以，即可根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形是矩形，因为，所以四边形是正方形；
作于点，于点，由，，求得，则，由，求得，再根据勾股定理求得，可证明四边形是矩形，则，，求得，再根据勾股定理求出的长即可．
此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】证明见解答；
的长为．
【解析】证明：四边形 是正方形，
，
是的中点，
，
由翻折得，，
，，
在与中，
，
≌．
解：，
，
，
，
由得≌，
，
，
，
，
，
解得，
，
的长为．由正方形的性质得，由是的中点，得，由翻折得，，则，，即可根据“”证明≌；
由，得，则，所以，由全等三角形的性质得，则，由勾股定理得，求得，则．
此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，，进而证明≌是解题的关键．
22.【答案】证明：为的中点，为中点，
，，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形为平行四边形；
菱；
，
【解析】见答案；
解：当满足条件时，四边形是菱形，理由为：
由得四边形为平行四边形，
，是的中点，
，
又四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
故答案为：菱；
当满足条件，时，四边形是正方形，理由为：
由知当满足条件时，四边形是菱形，
，为中点，
为边上的中线，
，即，
四边形是菱形，
四边形为正方形．
故答案为：，．
由，得到两对内错角相等，再由为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
由，为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到，由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证；
添加条件为，，由，根据得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证．
此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
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