广东省佛山市南海区南执高级中学2024-2025学年高三上学期10月阶段考试数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．（2024高三上·南海月考）若集合，或，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三上·南海月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·南海月考）如图所示，在中，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三上·南海月考）函数 的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
5．（2024高三上·南海月考）是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·南海月考）在 中，角 所对的边分别为 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高三上·南海月考）已知正项数列 中， ，则数列 的通项公式为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024高三上·南海月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高三上·南海月考）下列说法正确的有（ ）
A．3名女生和5名男生排成一排，女生全排在一起，有种排法
B．若，则
C．4名学生选2个人参加某项活动，则共有种选法
D．展开式中项的系数为
10．（2024高三上·南海月考）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高三上·南海月考）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高三上·南海月考）某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：
广告费用（万元） 2 3 4 5
销售额（万元） 26 49 54
根据上表可得回归方程，则为 .
13．（2024高三上·南海月考）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程为 ．
14．（2024高三上·南海月考）已知等比数列的前项和为，且，，则 .
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2024高三上·南海月考）在等差数列中，已知 且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16．（2024高三上·南海月考）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求．
（2）若，，求的周长．
17．（2024高三上·南海月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；
18．（2024高三上·南海月考）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求的值；
（2）求随机变量的数学期望；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.
19．（2024高三上·南海月考）设函数.
（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，或，所以，
故答案为：C
【分析】明确集合交集的定义，即由所有既属于集合 又属于集合 的元素所组成的集合，然后依次判断集合 中的每个元素是否满足集合 的条件，满足条件的元素构成 .
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z。
3．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为．且，，所以，
，，.
故答案为：C
【分析】利用向量的线性运算，通过已知的线段比例关系，将用（即 ）和（即 ）表示出来.先把拆分成与、相关的向量，再根据和、的关系进一步转化，最终用和表示 .
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以函数 的最小值是 .
故答案为：D.
【分析】由 ，利用基本不等式求最小值即可.
5．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是定义在上周期为的奇函数，所以.
故答案为：C.
【分析】函数的周期性和奇偶性，把逐步转化为已知区间内的函数值来计算，先依据周期为，将大自变量通过减去周期的整数倍，转化为较小的自变量；再利用奇函数性质，把负自变量的函数值转化为正自变量的函数值，最后代入已知区间的函数表达式求解 .
6．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】A，是余弦定理，所以该选项正确；
B，实际上是正弦定理 的变形，所以该选项是正确的；
C，由于 ，所以该选项正确；
D， ，不一定等于sinC，所以该选项是错误的.
故答案为：D
【分析】利用正、余弦定理及其变形，找出结论不正确的选项。
7．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
两式相减得
∴ ，①
又当 时， ， ，适合①式，
∴ .
故答案为：B
【分析】首项由已知的数列的递推公式整理即可得出数列的通项公式，对n赋值检验即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为
所以.
故答案为：D
【分析】借助三角函数的二倍角公式和诱导公式，把要求的转化为与已知相关的形式来计算.先通过二倍角公式求出，再利用诱导公式将转化为与相关的余弦值，从而得出结果 .
9．【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；二项式系数的性质；正态分布定义
【解析】【解答】解；对于A，利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上5名男生一共有6个个体，则有种排列方式，则由乘法计数原理可知一共有种排法，故A正确；对于B，由得，所以，则，故B正确；对于C，从4名学生选2个人参加某项活动，则共有种选法，故C错误；对于D，展开式的通项为，，所以展开式中项的系数为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 A：涉及排列问题中的“捆绑法”，把相邻元素看作整体，先内部排列，再与其他元素全排列，用分步乘法计数原理计算.
B：依据正态分布的性质，利用正态曲线对称性，结合、的值分析概率关系.
C：区分排列与组合，选人参加活动，不考虑顺序，是组合问题.
D：利用二项式展开式的通项公式，求出指定项（项 ）的系数，通项公式是求解二项式特定项系数的关键工具.
10．【答案】A,B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】函数的图象如图所示，
设，则，
则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，
对于A：函数的图象关于直线对称，则，A符合题意；
对于B：由图象可知，且，
∴，即，所以，B符合题意；
当时，，
由图象可知，则，C不符合题意；
由图象可知，
所以，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：由图可得：，又因为，所以，又，所以，所以，将代入得，即，即，又，所以，所以，对于A，最小正周期，故A正确；对于B，令，解，可得的单调递增区间为，当时，单调递增区间为，故B正确；对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确；对于D，
，所以函数的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【分析】 先通过函数图象确定函数的基本参数（振幅、周期、 ），再代入特殊点求出 ，得到函数解析式后，分别对每个选项进行分析判断：对于A利用周期公式验证；B结合余弦函数单调性判断；C根据图象平移规律分析；D通过三角函数化简和辅助角公式求最值 .
12．【答案】39.
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，，将样本中心点代入回归方程得，解得.
故答案为：39.
【分析】利用线性回归方程的性质，即回归直线恒过样本中心点 ，先计算出样本中的平均值和的平均值（其中含未知量 ），再将样本中心点代入回归方程，建立关于的方程，进而求解的值 .
13．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的标准方程为：.椭圆的一个焦点为，离心率，解得： 椭圆的标准方程为：，
故答案为：.
【分析】依据椭圆焦点位置设出标准方程形式，再结合焦点坐标得到的值，利用离心率公式得到与的关系，最后根据椭圆中、、的平方关系求出，进而确定椭圆标准方程 .
14．【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，由题意可得，解得，所以，，，因此，.
故答案为：.
【分析】根据等比数列的通项公式，结合已知条件列出关于首项和公比的方程组，求解出和 ，再分别利用等比数列的通项公式和前项和公式求出和 ，最后计算的值 .
15．【答案】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，则，， 解得，
，；
（2）解：，.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由题意，设等差数列的公差为，再利用等差数列的通项公式得出公差和首项的值，再结合等差数列的通项公式，进而得出数列 的通项公式。
（2） 利用数列 的通项公式结合，从而得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法得出数列的前项的和。
16．【答案】（1）解：因为，由正弦定理可得，所以，所以，又因为，所以.
（2）解：由题设条件和正弦定理，又，则，进而，所以，于是，所以，由正弦定理可得，即，解得，故的周长为.
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】围绕解三角形展开，（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出角A；（2）利用正弦定理和二倍角公式求出角B，接着确定角C，最后借助正弦定理算出边b、c，进而得到三角形周长.
（1）因为，由正弦定理可得，
所以，所以，
又因为，所以；
（2）由题设条件和正弦定理，
又，则，进而，所以，
于是，所以，
由正弦定理可得，即，
解得，
故的周长为.
17．【答案】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面，底面，则又AC＝4，AB＝3，BC＝5，则，所以，又，所以面 面，所以.
（2）解：点D是线段BC的中点．取的中，则，且，由（1）可知面，则面，过作，垂足为，连结，所以为D﹣CA1﹣A的平面角由AA1＝AC＝4，则，则为等腰三角形，且，所以， 直角三角形中，在直角三角形中，
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定；空间向量的正交分解及坐标表示；平面的法向量；二面角及二面角的平面角
18．【答案】解：（1）解：由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知，解得.
（2）解：根据题意.
，
.因此.
（3）解：用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则.
.故P(D)>P(C).即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】围绕离散型随机变量展开，（1）利用对立事件和相互独立事件概率公式，通过的概率建立方程求；
（2）先确定所有取值，计算每个取值的概率，再用期望公式计算；
（3）分别定义两个得分超过分的事件，计算各自概率并比较大小 .
19．【答案】（1）解：由已知条件得，在点处的切线斜率为，即.
（2）解：的定义域为，，若，则，则在上单调递增；
若，由得，由得
则单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）解：由得，整理得，
当时，，即，
令，则.
令，由（2）知，函数在上单调递增，其中，，
∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，
∴在上，在上，∴在上，在上，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值为，又∵，∴，即，
∴，且为整数，∴的最大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 围绕函数导数的应用展开，（1）利用导数几何意义，通过函数在某点切线斜率与导数的关系求参数；（2）对函数求导后，依据参数 的不同范围，分析导数符号确定单调区间；（3）先对不等式变形，分离参数，再构造新函数，利用导数求新函数最小值，进而确定参数最大值.
（1）由已知条件得，
在点处的切线斜率为，
即，
（2）的定义域为，，
若，则，则在上单调递增；
若，由得，由得，
则单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由得，
整理得，
当时，，即
令，则.
令，由（2）知，函数在上单调递增，
其中，，
∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，
∴在上，在上，
∴在上，在上，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在上的最小值为，
又∵，∴，即，
∴，且为整数，
∴的最大值.
1 / 1广东省佛山市南海区南执高级中学2024-2025学年高三上学期10月阶段考试数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．（2024高三上·南海月考）若集合，或，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，或，所以，
故答案为：C
【分析】明确集合交集的定义，即由所有既属于集合 又属于集合 的元素所组成的集合，然后依次判断集合 中的每个元素是否满足集合 的条件，满足条件的元素构成 .
2．（2024高三上·南海月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z。
3．（2024高三上·南海月考）如图所示，在中，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为．且，，所以，
，，.
故答案为：C
【分析】利用向量的线性运算，通过已知的线段比例关系，将用（即 ）和（即 ）表示出来.先把拆分成与、相关的向量，再根据和、的关系进一步转化，最终用和表示 .
4．（2024高三上·南海月考）函数 的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以函数 的最小值是 .
故答案为：D.
【分析】由 ，利用基本不等式求最小值即可.
5．（2024高三上·南海月考）是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是定义在上周期为的奇函数，所以.
故答案为：C.
【分析】函数的周期性和奇偶性，把逐步转化为已知区间内的函数值来计算，先依据周期为，将大自变量通过减去周期的整数倍，转化为较小的自变量；再利用奇函数性质，把负自变量的函数值转化为正自变量的函数值，最后代入已知区间的函数表达式求解 .
6．（2024高三上·南海月考）在 中，角 所对的边分别为 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】A，是余弦定理，所以该选项正确；
B，实际上是正弦定理 的变形，所以该选项是正确的；
C，由于 ，所以该选项正确；
D， ，不一定等于sinC，所以该选项是错误的.
故答案为：D
【分析】利用正、余弦定理及其变形，找出结论不正确的选项。
7．（2024高三上·南海月考）已知正项数列 中， ，则数列 的通项公式为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
两式相减得
∴ ，①
又当 时， ， ，适合①式，
∴ .
故答案为：B
【分析】首项由已知的数列的递推公式整理即可得出数列的通项公式，对n赋值检验即可得出答案。
8．（2024高三上·南海月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为
所以.
故答案为：D
【分析】借助三角函数的二倍角公式和诱导公式，把要求的转化为与已知相关的形式来计算.先通过二倍角公式求出，再利用诱导公式将转化为与相关的余弦值，从而得出结果 .
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高三上·南海月考）下列说法正确的有（ ）
A．3名女生和5名男生排成一排，女生全排在一起，有种排法
B．若，则
C．4名学生选2个人参加某项活动，则共有种选法
D．展开式中项的系数为
【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；二项式系数的性质；正态分布定义
【解析】【解答】解；对于A，利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上5名男生一共有6个个体，则有种排列方式，则由乘法计数原理可知一共有种排法，故A正确；对于B，由得，所以，则，故B正确；对于C，从4名学生选2个人参加某项活动，则共有种选法，故C错误；对于D，展开式的通项为，，所以展开式中项的系数为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 A：涉及排列问题中的“捆绑法”，把相邻元素看作整体，先内部排列，再与其他元素全排列，用分步乘法计数原理计算.
B：依据正态分布的性质，利用正态曲线对称性，结合、的值分析概率关系.
C：区分排列与组合，选人参加活动，不考虑顺序，是组合问题.
D：利用二项式展开式的通项公式，求出指定项（项 ）的系数，通项公式是求解二项式特定项系数的关键工具.
10．（2024高三上·南海月考）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】函数的图象如图所示，
设，则，
则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，
对于A：函数的图象关于直线对称，则，A符合题意；
对于B：由图象可知，且，
∴，即，所以，B符合题意；
当时，，
由图象可知，则，C不符合题意；
由图象可知，
所以，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.
11．（2024高三上·南海月考）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：由图可得：，又因为，所以，又，所以，所以，将代入得，即，即，又，所以，所以，对于A，最小正周期，故A正确；对于B，令，解，可得的单调递增区间为，当时，单调递增区间为，故B正确；对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确；对于D，
，所以函数的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【分析】 先通过函数图象确定函数的基本参数（振幅、周期、 ），再代入特殊点求出 ，得到函数解析式后，分别对每个选项进行分析判断：对于A利用周期公式验证；B结合余弦函数单调性判断；C根据图象平移规律分析；D通过三角函数化简和辅助角公式求最值 .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高三上·南海月考）某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：
广告费用（万元） 2 3 4 5
销售额（万元） 26 49 54
根据上表可得回归方程，则为 .
【答案】39.
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，，将样本中心点代入回归方程得，解得.
故答案为：39.
【分析】利用线性回归方程的性质，即回归直线恒过样本中心点 ，先计算出样本中的平均值和的平均值（其中含未知量 ），再将样本中心点代入回归方程，建立关于的方程，进而求解的值 .
13．（2024高三上·南海月考）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的标准方程为：.椭圆的一个焦点为，离心率，解得： 椭圆的标准方程为：，
故答案为：.
【分析】依据椭圆焦点位置设出标准方程形式，再结合焦点坐标得到的值，利用离心率公式得到与的关系，最后根据椭圆中、、的平方关系求出，进而确定椭圆标准方程 .
14．（2024高三上·南海月考）已知等比数列的前项和为，且，，则 .
【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，由题意可得，解得，所以，，，因此，.
故答案为：.
【分析】根据等比数列的通项公式，结合已知条件列出关于首项和公比的方程组，求解出和 ，再分别利用等比数列的通项公式和前项和公式求出和 ，最后计算的值 .
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2024高三上·南海月考）在等差数列中，已知 且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，则，， 解得，
，；
（2）解：，.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由题意，设等差数列的公差为，再利用等差数列的通项公式得出公差和首项的值，再结合等差数列的通项公式，进而得出数列 的通项公式。
（2） 利用数列 的通项公式结合，从而得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法得出数列的前项的和。
16．（2024高三上·南海月考）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求．
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）解：因为，由正弦定理可得，所以，所以，又因为，所以.
（2）解：由题设条件和正弦定理，又，则，进而，所以，于是，所以，由正弦定理可得，即，解得，故的周长为.
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】围绕解三角形展开，（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出角A；（2）利用正弦定理和二倍角公式求出角B，接着确定角C，最后借助正弦定理算出边b、c，进而得到三角形周长.
（1）因为，由正弦定理可得，
所以，所以，
又因为，所以；
（2）由题设条件和正弦定理，
又，则，进而，所以，
于是，所以，
由正弦定理可得，即，
解得，
故的周长为.
17．（2024高三上·南海月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；
【答案】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面，底面，则又AC＝4，AB＝3，BC＝5，则，所以，又，所以面 面，所以.
（2）解：点D是线段BC的中点．取的中，则，且，由（1）可知面，则面，过作，垂足为，连结，所以为D﹣CA1﹣A的平面角由AA1＝AC＝4，则，则为等腰三角形，且，所以， 直角三角形中，在直角三角形中，
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定；空间向量的正交分解及坐标表示；平面的法向量；二面角及二面角的平面角
18．（2024高三上·南海月考）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求的值；
（2）求随机变量的数学期望；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.
【答案】解：（1）解：由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知，解得.
（2）解：根据题意.
，
.因此.
（3）解：用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则.
.故P(D)>P(C).即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】围绕离散型随机变量展开，（1）利用对立事件和相互独立事件概率公式，通过的概率建立方程求；
（2）先确定所有取值，计算每个取值的概率，再用期望公式计算；
（3）分别定义两个得分超过分的事件，计算各自概率并比较大小 .
19．（2024高三上·南海月考）设函数.
（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
【答案】（1）解：由已知条件得，在点处的切线斜率为，即.
（2）解：的定义域为，，若，则，则在上单调递增；
若，由得，由得
则单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）解：由得，整理得，
当时，，即，
令，则.
令，由（2）知，函数在上单调递增，其中，，
∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，
∴在上，在上，∴在上，在上，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值为，又∵，∴，即，
∴，且为整数，∴的最大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 围绕函数导数的应用展开，（1）利用导数几何意义，通过函数在某点切线斜率与导数的关系求参数；（2）对函数求导后，依据参数 的不同范围，分析导数符号确定单调区间；（3）先对不等式变形，分离参数，再构造新函数，利用导数求新函数最小值，进而确定参数最大值.
（1）由已知条件得，
在点处的切线斜率为，
即，
（2）的定义域为，，
若，则，则在上单调递增；
若，由得，由得，
则单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由得，
整理得，
当时，，即
令，则.
令，由（2）知，函数在上单调递增，
其中，，
∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，
∴在上，在上，
∴在上，在上，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在上的最小值为，
又∵，∴，即，
∴，且为整数，
∴的最大值.
1 / 1
