2.5 一元二次方程根与系数的关系 易错题集（含解析） 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2025届初中数学北师大版九年级上《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》易错题集一
一. 选择题

1.设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A. B. C. D.

2.已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A. B. C. D.

3.已知实数，满足，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.

4.关于的一元二次方程的两根，，则的值是（ ）．
A. B. C. D.

5.关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个

6.如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ）
A. B. C. D.

7.若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有值之和为（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题

8.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．

9.已知方程的根是和，则＝_________．

10.已知函数，并且是方程的两个根，则实数的大小关系可能是__________．

11.是一元二次方程的一个根，，则的值是______________．
三. 解答题

12.已知：关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）的斜边长，两条直角边长、恰好是方程的两个根，求的值．

13.已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，求的值和方程的解．

14.已知关于的一元二次方程.
若此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
若此方程的两根之积为，求的值．

15.已知一元二次方程
若方程有实数根，求的取值范围；
若方程的两个实数根为，且，求的值．

16.如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于的方程，，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知、满足，，求的值；
（3）已知、、满足，，求正数的最小值．

17.如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”．
方程①；②；③；④，这几个方程中，是倍根方程的是________（填序号即可）；
若关于的方程 是“倍根方程”，求代数式的值；
若一元二次方程是倍根方程，请直接写出，，的等量关系．
参考答案与试题解析
2025届初中数学北师大版九年级上《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》易错题集一
一. 选择题
1.
【答案】
A
【考点】
根与系数的关系
【解析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入求值即可．
【解答】
解：，
故选：．
2.
【答案】
B
【考点】
根与系数的关系
【解析】
根据根与系数关系求出，由是方程的根得，进而可求得
【解答】
解：由方程的两根分别为，得：
，
即
故选：
3.
【答案】
D
【考点】
根与系数的关系
【解析】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据题意得到：，所以、是关于的方程的两个根．根据根与系数的关系求得，然后求其倒数即可．
【解答】
解：根据题意知，．
在的两边同时除以得到：，
、是关于的方程的两个根，
．
故选：
4.
【答案】
C
【考点】
运用完全平方公式进行运算
一元二次方程的解
根与系数的关系
【解析】
由韦达定理列方程组，并结合完全平方公式变形解题即可．
【解答】
由韦达定理得：
．
故选：．
5.
【答案】
D
【考点】
根与系数的关系
【解析】
设方程的两根为、，方程同的两根为、．①根据方程解的情况可得出、，结合根与系数的关系可得出、，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出、，将展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出、，结合、、、均为负整数即可得出，③成立．综上即可得出结论．
【解答】
设方程的两根为、，方程同的两根为、．
①关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，
，，
，，
这两个方程的根都是负根，①正确；
②关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，
，，
，，
，②正确；
③，，
，
、均为负整数，
，
．
，，
，
、均为负整数，
，
，即．
，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选．
6.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
根与系数的关系
菱形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
7.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的解
解一元二次方程-因式分解法
根与系数的关系
根据一元二次方程根的情况求参数
【解析】
先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．
【解答】
解：是方程的两个相等的实数根，
，，
，
，
，
，
同理得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
不符合题意，
符合题意，
故选．
二. 填空题
8.
【答案】
【考点】
根与系数的关系
【解析】
本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程得两根为和，则，是解题的关键．
【解答】
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，
故答案为：．
9.
【答案】
【考点】
根与系数的关系
【解析】
根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：方程的两个实数根为、，
、，
，
故答案为：．
10.
【答案】
，，或．
【考点】
根与系数的关系
【解析】
首先把方程化为一般形式，由于，是方程的解，根据根与系数的关系即可得到，，，的关系，相互比较即可得出答案．
【解答】
由变形得：，
，或，，
，或，，
，是方程的解，将，代入，得：
，，，或，，，，
综合可得：，，或
故答案为：，，或．
11.
【答案】
【考点】
根与系数的关系
【解析】
利用根与系数的关系确定为原一元二次方程的另一个根，即可求出的大小．
【解答】
设原一元二次方程的另一个根为，
根据根与系数的关系可知，
根据题意，
为原一元二次方程的另一个根，
，即．
故答案为：．
三. 解答题
12.
【答案】
（1）
（2）
【考点】
勾股定理的应用
根据一元二次方程根的情况求参数
根与系数的关系
【解析】
（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系即可求出答案．
【解答】
（1）解：）由题意可知：，
解得．
故的取值范围是；
（2）由题意可知：，，
由勾股定理可知：，
，
，即，
解得（舍去），．
故的值为．
13.
【答案】
解：∵ 关于的一元二次方程的两根互为相反数，
∴ 方程的两根之和为
解得
∴ 原方程为
解得 ,.
【考点】
根与系数的关系
一元二次方程的解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 关于的一元二次方程的两根互为相反数，
∴ 方程的两根之和为
解得
∴ 原方程为
解得 ,.
14.
【答案】
解：（）∵ 关于的一元二次方程两个不相等的实数根，
∴
解得
（2）∵ 方程的两根之积为，
∴
∴ .
【考点】
根的判别式
根与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）∵ 关于的一元二次方程两个不相等的实数根，
∴
解得
（2）∵ 方程的两根之积为，
∴
∴ .
15.
【答案】
解：（）∵ 方程有两个实数根，
∴ ,
解得.
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得．
又，∴ ．
把代入方程，得.
【考点】
根的判别式
根与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）∵ 方程有两个实数根，
∴ ,
解得.
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得．
又，∴ ．
把代入方程，得.
16.
【答案】
解：（1）设方程，的两个根分别是，，
则：
，
若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，
则这个一元二次方程是：；
（2）、满足，，
，是的解，
当时，，，
．
当时，原式；
（3），，
，，
、是方程的解，
，
，
是正数，
，
，
，
正数的最小值是．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）先设方程，的两个根分别是，，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
（2）根据、满足，，得出，是的解，求出和的值，即可求出的值．
（3）根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值．
【解答】
解：（1）设方程，的两个根分别是，，
则：
，
若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，
则这个一元二次方程是：；
（2）、满足，，
，是的解，
当时，，，
．
当时，原式；
（3），，
，，
、是方程的解，
，
，
是正数，
，
，
，
正数的最小值是．
17.
【答案】
解：(1)②④
(2)或，
解得，
∵ 是“倍根方程”，
∴ 或，
当时，
，
当时，，
综上所述，代数式的值为或；
(3)
【考点】
一元二次方程的解
根与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)②④
(2)或，
解得，
∵ 是“倍根方程”，
∴ 或，
当时，
，
当时，，
综上所述，代数式的值为或；
(3)
试卷第4页，总9页
试卷第5页，总9页