2.6 应用一元二次方程 同步练习（含解析） 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.6 应用一元二次方程同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某种药品原价为元盒，经过连续两次降价后售价为元盒．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
3.王叔叔从市场上买了一块长，宽的矩形铁皮，准备制作一个长方体工具箱如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )
A. B.
C. D.
4.电影雄兵出击以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为亿元，方程可以列为( )
A. B.
C. D.
5.某学校准备建一个面积为的矩形花圃，它的长比宽多，设花圃的宽为则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入万元，六月份绿化投入万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，根据题意所列方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，露在水面上的鱼线长为钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，试问的鱼竿有多长？设长，则下所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.精准扶贫战略的实施，必须形成严密的政策与法律实施体系．习近平总书记在党的十九大报告中进一步强调“坚持精准扶贫、精准脱贫”去年我区某乡镇精准扶贫项目共获利万元，计划明年精准扶贫项目获利比去年翻一翻即为去年的倍，若设每年的平均增长率为，则以下关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.某电器专卖店销售一种新款式空调，平均每天售出台，每台盈利元．为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每台空调每降价元，那么平均每天可多售出台．若专卖店实施降价第一天，获利元，则每台空调降价多少元？在这个问题中，若设每台空调降价元，则可列方程为 ．
10.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条航线，则这个航空公司共有飞机场 个
11.如图，公园有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花涂色部分，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长设原正方形空地的边长为，则可列方程为 ．
12.某云平台的网络安全事件中，最初有台服务器遭受攻击并感染病毒两轮传播后共有台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为______．
13.有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，两轮传播后，流感病人总数为人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数为______人．
14.某大型超市连锁集团元月份销售额为万元，三月份达到了万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为，则根据题意列出方程是 ．
15.如图，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为___米．
16.如图，某牧场准备利用现成的一堵“”字形的墙面粗线表示墙面粗线表示墙面建饲养场已知，米，米，现计划用总长为米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开，并在每个区域开一个宽米的门，点在线段的延长线上设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为平方米，则可列方程______不用化简．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
研究旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某校八班组织学生进行“一日研学”活动，某旅行社推出了如下收费标准：如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果超过人，则每超过人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不能低于元．
当参加人数人时，人均旅游费用________元；当参加人数人时，人均旅游费用________元；
已知该班实际人数超过人，共支付给旅行社问：共有多少名同学参加了研学活动？
18.本小题分
一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度和经过的水平距离可用公式来估计．
当球的水平距离达到时球上升的高度是多少？
当球的高度第一次达到时球的水平距离是多少？
19.本小题分
如图，用长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为米，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为米的两扇小门．若花圃的面积刚好为平方米，则此时花圃的段长为多少？
20.本小题分
某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销量减少千克，现该商场要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
21.本小题分
直播购物逐渐走进了人们的生活某商家在线上对一款成本价为元的衣服进行直播销售，如果按每件元销售，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件衣服降价元，那么平均每天可多售出件．
设每件衣服降价元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元用含的代数式表示；
在让利于顾客的情况下，每件衣服降价多少元时，商家平均每天能盈利元？
商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．
22.本小题分
综合与实践．
主题：制作无盖长方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤：如图，在正方形纸板的四角各剪去一个大小相同的小正方形；
步骤：把纸板四周沿虚线折起，就折成如图所示的无盖长方体形纸盒，其长：宽：高：：，底面积为
计算与应用：
求这个无盖长方体纸盒的长、宽、高；
求这个无盖长方体纸盒的体积和表面积．
23.本小题分
小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形．
要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？
小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于你认为他的说法正确吗？请说明理由．
24.本小题分
景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为元的艺术瓷盘按元售出时，就能卖出个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价元，其销售量就减少个，若设艺术瓷盘每个涨价元为整数，请完成如下问题：
用含的代数式表示：
每个瓷盘的实际利润是______元；
实际的销售量是______个；
为了赚得元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？
25.本小题分
中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，问：
填空：______，______用含的代数式表示
经过几秒，的长为？
经过几秒，的面积等于？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查列方程解应用题，熟练掌握根据题意列方程的方法和步骤是解题关键．
根据百分率的意义及等量关系可以得到方程．
【解答】
解：第一次降价后的价格为，第二次在第一次降价后的价格的基础上再降低，为，
则列出的方程是．
故选：．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．根据花圃的面积为进而列出方程即可．
【解答】
解：花圃的长比宽多米，花圃的宽为米，
长为米，
花圃的面积为，
可列方程为．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，则五月份的绿化投入为万元，六月份的绿化投入为万元，
据此即可获得答案．
【详解】解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，
根据题意，可得．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设，
，
根据勾股定理得：，
即．
故选：．
根据题意设，利用钓鱼竿长度不变，利用勾股定理得出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：依题意有：．
故选：．
根据等量关系：计划明年精准扶贫项目获利比去年翻一翻即为去年的倍，列出方程即可求解．
本题考查了根据实际列一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为，根据题意可得：
，
解得，舍，
故答案为：．
设每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑，由经过两轮传播后共有台电脑被感染建立方程求出其解即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染人，
由题意得，，
解得：，，
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
故答案为：．
设每轮传染中平均一个人传染人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，属于增长率问题，解决此类变化问题，可利用公式，其中是变化前的原始量，是变化后的量，表示平均每次的增长率，为变化的次数．
如果二，三月份平均每月的增长率为，根据“元月份销售额为万元，三月份达到万元”，可得答案．
【解答】
解：设二，三月份平均每月的增长率为，
已知“元月份销售额为万元，三月份达到万元”，
根据题意可得出：．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为找到正确的等量关系并列出方程；设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可．
【解答】
解：设小道进出口的宽度为米，依题意得，
整理，得．
解得，，．
不合题意，舍去，
．
即小道进出口的宽度应为米．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：设的长为米，则米，
依题意得：，
故答案为：．
设的长为米，则米，利用矩形的面积计算公式，列出一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】解：； ；
设共有名同学参加了研学活动，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
，
，
，
答：共有名同学参加了研学活动．
【解析】【分析】
此题考查一元二次方程的应用，得到总费用的等量关系是解决本题的关键．
根据“如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果超过人，则每超过人，人均旅游费用降低元”可得答案．
根据题意先判断出参加的人数在人以上，设共有名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：在人基础上降低的人数参加人数，列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：当参加人数人时，人均旅游费用元；
当参加人数人时，人均旅游费用元；
故答案为，；
见答案．
18.【答案】解：球上升的高度是；
依题意有，
解得，舍去．
故球的水平距离是．
【解析】把，直接代入计算即可求解；
把代入可得关于的方程，解方程即可求解．
考查了一元二次方程的应用，是基础题型，代入法即可求解．
19.【答案】米．
【解析】【分析】
设米，则米，根据题意列出一元二次方程，然后解方程结合实际意义即可求出结论．
【详解】
解：设米，则米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：若花圃的面积刚好为平方米，则此时花圃的段长为米．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
20.【答案】解：设每千克水果应涨价元，
依题意列方程得：
整理，得
解这个方程，得
要使顾客得到实惠，应取，
答：每千克应涨价元．

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案．
21.【答案】，；
每件衣服降价元时，商家平均每天能盈利元；
商家不能达到平均每天盈利元，理由见解答．
【解析】根据题意得：当每件衣服降价元时，每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让利于顾客，
．
答：每件衣服降价元时，商家平均每天能盈利元；
商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
假设商家能达到平均每天盈利元，
根据题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即商家不能达到平均每天盈利元．
利用每天销售量的增加量每件衣服降低的价格，可用含的代数式表示出每天销售量的增加量，利用每件衣服的盈利每件衣服的原售价每件衣服降低的价格每件衣服的成本价，可用含的代数式表示出每件衣服的盈利；
利用总利润每件衣服的盈利日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论；
假设商家能达到平均每天盈利元，利用总利润每件衣服的盈利日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即商家不能达到平均每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每天销售量的增加量及每件衣服的盈利；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
22.【答案】，，；
，．
【解析】设这个长方体的长、宽、高分别为，，，
根据题意，得，
整理得，，
解得负值不符合题意，舍去，则．
故这个无盖长方体纸盒的长、宽、高分别为，，；
，
故这个无盖长方体纸盒的体积为；
无盖长方体表面积底面积侧面积，
已知底面积为，长、宽、高，则侧面积为：
，
故无盖长方体表面积
设这个长方体的长、宽、高分别为，，，结合底面积列方程求出长、宽、高；
利用长方体体积公式和无盖长方体表面积公式分别计算体积和表面积．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个长方体的长、宽、高分别为，，，结合底面积列方程求解，再利用公式计算体积和表面积．
23.【答案】这两个正方形的边长分别是，；
两个正方形的面积之和不可能等于，理由见解析．
【解析】设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，
根据题意得，
解得，，
因此这两个正方形的边长分别是，；
两个正方形的面积之和不可能等于，理由如下：
若两个正方形的面积和为，
则
，
，
此方程无解，
两个正方形的面积之和不可能等于．
设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据题意得到方程，解方程即可得到结论；
根据两个正方形的面积和为，得到求出，得到此方程无解，于是得到结论．
本题考查了一元一次方程的应用，正确地列出方程是解题的关键．
24.【答案】；
；
售价应定为元．
【解析】当艺术瓷盘每个涨价元为整数时，每个瓷盘的实际利润是元．
故答案为：；
当艺术瓷盘每个涨价元为整数时，实际的销售量是个．
故答案为：；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽量兼顾顾客的利益，
，
元．
答：售价应定为元．
利用每个瓷盘的实际利润艺术瓷盘每个涨价的钱数，即可用含的代数式表示出每个瓷盘的实际利润；
利用实际的销售量艺术瓷盘每个涨价的钱数，即可用含的代数式表示出实际的销售量；
利用总利润每个的销售利润销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合要尽量兼顾顾客的利益，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每个瓷盘的实际利润及实际的销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】
根据题意得：，
解得：，，
经过秒或秒，的长为．
根据题意得：，
解得：，．
，
．
答：经过秒，的面积等于．
【解析】解：根据题意得：，．
故答案为：；．
见答案
见答案
由点，的运动速度，可用含的代数式表示出，的值；
根据勾股定理，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
根据三角形的面积公式结合的面积，可得出关于的一元二次方程，解之取其大于等于小于等于的值即可得出结论．
本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据点，两点运动的速度，找出，的值；利用勾股定理，找出关于的一元二次方程；利用三角形的面积公式，找出关于的一元二次方程．
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