22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习卷（含部分解析） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1.二次函数对于任意，都有，则下列条件成立的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.小颖用计算器探索一元二次方程的根，作出函数的图象如图所示，并求得方程的一个近似根，则另一个近似根精确到为( )
A. B. C. D.
3.若抛物线的顶点在轴上，则的值为( )
A. B. C. D.
4.为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润万元和月份之间满足函数关系式，则停产的月份为( )
A. 月和月 B. 月至月 C. 月 D. 月、月和月
5.下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解精确到为( )
A. B. C. D.
6.下表是二次函数的几组对应值：
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是( )
A. B. C. D.
7.二次函数的部分图像如图所示，且关于的一元二次方程的一个解是，另一个解是( )
A. B. C. D.
8.小兰画了一个函数的图象如图所示，则关于的方程的解是( )
A. 无解 B. C. D. 或
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似根为 结果精确到
10.利用函数图象求方程的实数根精确到，要先作函数 的图象，如图所示，它与轴的交点的横坐标大约是，，所以方程的实数根约为 ， ．
11.如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，则关于的方程的解为 ．
12.根据二次函数的图象可得一元二次方程的近似根为 ．
13.抛物线与轴的交点坐标是______，与轴的交点坐标是______．
14.已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．
15.已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为______．
16.如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ．
三、解答题：本题共6小题，共52分。
17.本小题分
如图，已知函数与的图象的交点为，在的右边．
求点、点的坐标
求的面积．
18.本小题分
二次函数的图象如图所示．
不求，，的值，写出方程的两个根；
当取何值时，？由此写出不等式的解集；
不用待定系数法，写出二次函数的表达式．
19.本小题分
如图，二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，根据图象回答下列问题：
求抛物线的对称轴；
写出不等式的解集．
20.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，其中，．
求二次函数的表达式；
若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的倍，求点的坐标．
21.本小题10分
二次函数的图象如下，根据图象解答下列问题．
写出方程的两个根．
分别写出不等式的解和的解．
写出随的增大而减小时，自变量的取值范围．
写出方程的解．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数经过点，点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为，其中．
求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
当点在轴上时，求点的坐标；
该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分包括、两点的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．
解答此题由二次函数对于任意，都有，可得二次函数的图象应该全部在轴的上方，由此可得二次函数的开口向上，且与轴没有交点，由此可得结论．
【解答】解：二次函数对于任意，都有，
二次函数的开口向上，且与轴没有交点，
，．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键．
根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根．
【解答】
解：抛物线与轴的一个交点为，又抛物线的对称轴为：，
另一个交点坐标为：，
则方程的另一个近似根为．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到是解此题的关键．
根据抛物线的顶点在轴上，得，从而可以解答本题．
【解答】解：抛物线的顶点在轴上，
，
解得，．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
解：，且为整数，
当时，或，
当时，，
故没有盈利的月份为月、月和月．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：当时，
当时，，
更接近于，
方程的一个近似根为，
一元二次方程可以变形为，
方程的一个近似根为．
故选B．
本题考查二次函数与一元二次方程．
6.【答案】
【解析】解：由题表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根，
的一个解的取值范围为．
故选C．
本题考查二次函数与一元二次方程．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】，
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题．
抛物线与轴的两个交点的横坐标，就是方程的两个根，由图象即可解答．
【解答】
解：抛物线与轴的两个交点近似是、，
又抛物线与轴的两个交点的横坐标，就是方程的两个根，
方程的两个近似根是，．
故答案为，．
10.【答案】

【解析】【分析】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，函数图象与轴交点的横坐标是相应方程的解．
根据函数图象与轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案．
【解答】
解：如图，
由函数图象求方程的实数根精确到，要先作函数的图象，如图所示，它与轴的交点的横坐标大约是、，所以方程的实数根约为，，
故答案为；；．
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标，
二次函数与一次函数的图象相交于点，．
的解为；
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，图象与轴的交点横坐标即为一元二次方程的解．
根据图象与轴的交点横坐标求解即可．
【解答】
解：函数的图象如图：
由图象可知，．
故答案为，．
13.【答案】 ，
【解析】解：令，则，即抛物线与轴的交点坐标是．
令，则，即，
可得：或，
解得：，．
则与轴的交点坐标是，．
故答案为；，．
要求抛物线与轴的交点，即令，解方程即可．同理，要求抛物线与轴的交点，即令，解方程即可．
此题考查了抛物线与轴的交点．求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得：
，即，
设另一根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为．
故答案为：．
利用抛物线的对称轴是直线，得到，设另一根为，根据根与系数的关系得，然后求出另一根即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，正确进行计算是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：根据抛物线的解析式可得对称轴为直线，开口向上，抛物线与轴的一个交点为，
则关于对称的点为，
即抛物线与轴另一个交点为，
所以时，的取值范围是．
故答案为：．
根据解析式得抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与轴的另一个交点为，结合图形即可求解．
本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，掌握是二次函数与坐标轴交点是解题的关键．
16.【答案】，
【解析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键．
根据图示，由交点横坐标即可求解．
【详解】解：根据题意，关于的方程的解为，
故答案为：．
17.【答案】解：由题意得解得或即交点，的坐标分别为，．
易知直线与轴交于点，即，
．

【解析】见答案
18.【答案】【小题】
解：，．
【小题】
，．
【小题】
．

【解析】 略
略
略
19.【答案】；
或．
【解析】解：二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，则：
，
抛物线对称轴为直线；
对称轴为直线，当时，；当时，，
的解集为或．
根据对称轴公式求解即可；
根据对称轴可求出当时，；当时，，然后数形结合求解即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识，解题的关键是正确记忆相关知识点．
20.【答案】；
．
【解析】解：由题意可得：
，
，
；
设，因为点在第二象限，所以，．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
，
解得舍去，
所以点坐标为．
根据待定系数法求解即可；
设，由点在第二象限得到，依题意，得，即可得出，求出，再建立一元二次方程，求出，即可求出点的坐标．
本题考查求二次函数表达式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等．
21.【答案】【小题】
解：从题干图中可以看出抛物线与轴交于和两点，方程的两个根为，．
【小题】
从图中可以看出，当时，； 当或时，，不等式的解为，不等式的解为或．
【小题】
从图中看出对称轴为直线，当时，随的增大而减小．
【小题】
方程的解为．

【解析】 略
略
略
略
22.【答案】抛物线解析式为，顶点坐标为；
；
或．
【解析】解：由题意可得：，
，
，
顶点坐标为；
由，当时，，
，
由题意可得：抛物线上的点在轴上时，横坐标为其中，
，
，
，
；
令，得，
，
，
，
抛物线对称轴为：直线，
点一定在对称轴右侧，
．
如图所示，当点在轴上方，对称轴右侧时，
，即，
此时最高点为顶点，最低点为点，
，解得，符合题意；
如图所示，当点在轴上及轴下方，对称轴右侧时，
，即，
此时最高点为顶点，最低点为点，
，
，符合题意，，
符合题意，舍去，
或．
将代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为，其中，得出，即可求解；
证明点一定在对称轴右侧，分情况讨论：如图所示，当点在轴上方，对称轴右侧时，如图所示，当点在轴上及轴下方，对称轴右侧时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解．
本题主要考查了二次函数综合运用，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质并能根据题意画出图形，分类讨论是解决此题的关键．
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