华东师大版八年级下册
17.4.2 反比例函数的图象和性质
一、内容和内容解析
本节课是华师版八年级下册第17章 《函数及其图象》第4节《反比例函数》的第二课时，主要内容是反比例函数的图象和性质．本节课首先由函数关系式，通过描点法画出反比例函数的图象，然后通过观察图象，直观地总结归纳出反比例函数的性质，再结合关系式，进一步认识函数的性质．
这部分内容是继一次函数之后学习的又一个重要的函数．函数是初中数学重要的概念，对函数的研究方法一脉相承，本节课对于反比例函数的图象、性质的探索和学习，是类比一次函数进行的，因此本节课既是新知识，又是对已有研究方法的一个应用，学好它会为九年级继续探究二次函数的图象和性质打下基础和提供研究方法，同时它还有助于理解和学习其他学科的知识，如物理中的速度与时间，电流与电阻等知识．
本节课对反比例函数的图象和性质的探究，类比一次函数，体现了“类比”的思想．先画出六个反比例函数的图象，根据图象归纳出它们的性质，再结合函数关系式进一步解释和理解，得出反比例函数的图象和性质，体现了“从特殊到一般”的思想和“数形结合”的思想．在归纳反比例函数的性质时，要对k的正负性予以区别，体现了“分类”的思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：反比例函数的图象和性质．
二、教学目标和目标解析
教学目标：
1．会画反比例函数的图象，根据图象和函数关系式，探索、归纳得到反比例函数的图象特征和性质．
2．在画反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论”，“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想．
3．通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.
目标解析：
达成目标的标志是：会根据函数关系式使用描点法画出反比例函数的图象，分析图象特征，归纳得到反比例函数的性质．
三、教学问题诊断分析
教学时经常遇到的问题：
1．列表时，自变量x的取值个数不够、缺乏代表性．
2．连线时，由于前面所学的一次函数是直线，函数图象是连续的，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线跨象限连接．
3．画图时，对函数图象的延伸趋势和方向把握不清楚，容易造成图象与坐标轴相交或远离坐标轴的情况．
4．对于反比例函数图象的变化趋势，容易忽视反比例函数的变化趋势只在每个象限内成立．
诊断分析：
对函数图象与x轴、y轴“越来越接近，但永远不相交”的趋势不易理解．教学时，应注意有针对性的指导，在学生遇到困难时，可以分别利用几何画板从“形”上直观观察，利用函数关系式从“数”上分析，从而加深理解．
在前面学习一次函数的时候，学生已经经历过观察、分析图象特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质的方法也有一定的了解．因此，通过类比方法，探究反比例函数的图象性质，从方法上不会存在障碍．但对于反比例函数的图象是两条曲线，函数图象的变化趋势只在每个象限内成立，学生在一次函数的学习中并未遇到，所以无论是总结还是应用变化趋势这条性质对学生来说都比较困难，因此在教学中可以通过举反例、结合图象来理解这条性质．
基于以上分析，确定本节课的教学难点：反比例函数的图象的变化趋势只在每个象限内成立的理解和应用．
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了直观、形象地突出重点、突破难点，借助信息技术工具，学生利用图形计算器绘制反比例函数的图象验证结论，教师以几何画板软件为平台，绘制反比例函数图象，通过动态演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应函数值的变化规律，进而探究反比例函数的性质．
五、教学过程设计
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
一、方法梳理，引入新知
教师梳理一次函数的研究方法，引出本节课题．
反比例函数的图象和性质的探究方法与一次函数相同，此处的设计为学习反比例函数的图象和性质作好方法上的铺垫．
二、小组合作，探究新知
（一）画出六个反比例函数图象
，，，，，．
【任务一】
1．画出抽到的反比例函数的图象，在图象的旁边标上函数关系式．
2．组长组织组员从列表、描点、连线三个方面互相纠错，讲解错误原因，并改正错误．
3．组员选出本组画得最好的一个图象上交展示．
（二）观察图象，归纳性质
将上面六个反比例函数分类．
【任务二】
1．观察这六个反比例函数的图象，从中你能发现么结论？将你发现的结论写在练习纸上．
2． 组内交流，整理发现的结论．
（1）形状：双曲线
（2）位置：当时，双曲线的两个分支位于一、三象限；当时，双曲线的两个分支位于二、四象限．
（3）变化趋势：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大．
（三）验证结论
【任务三】
利用每组的图形计算器，再画几个反比例函数的图象，验证刚刚得到的结论．
（四）利用函数关系式解释说理
【任务四】
1．为什么当时，双曲线位于一、三象限；当时，双曲线于二、四象限．
2．双曲线能不能与坐标轴相交？
3．反比例函数的图象为什么不能是一条曲线？
学生先根据自己的理解独立完成列表、描点和连线的过程．教师在巡视的过程中，个别指出学生的问题，比如：列表时选择的自变量的选取个数少、只取正的不取负的，缺乏代表性，连线的趋势不正确等等．
学生在独立完成后，在组长的组织下，互相检查纠错，从而画出正确的图象．
学生将函数分类，并讨论从图象中能看到的结论．
当学生谈论不全面时，教师引导学生对比一次函数的图象和性质来研究．
对于函数图象的变化趋势，如果学生不强调在每个象限内，教师可以引导学生举例子或从图象上分析，从而得出正确的结论．
学生利用图形计算器验证归纳出的结论．
教师用几何画板动态演示，进一步验证结论．
组内交流汇总，并派代表发言．
图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步、整体的感性认识．
准备六个反比例函数，每组各画一个，既能达到学会画图象的目的，也为下面的分类研究性质做准备．
小组活动，充分调动学生的学习主动性，在互相讨论和交流的过程中， 明晰取点的原则，对函数图象的形状和特征有一个直观的认识．
从六个函数图象中，学生非常直观、容易的将函数分为k＞0和k＜0两种情况讨论，体现了分类的思想，同时，帮助学生建立函数关系式和图象的联系，体现数形结合的思想．
对于图象的特征和性质的探究是本节课的重点，此环节的设计，通过类比一次函数，引导学生观察图象的形状、位置和变化趋势，感受“形”的特征，感受函数值随自变量的增大而如何发生变化，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象．
图象的变化趋势是本节课的难点，这里通过具体的例子让学生自己意识到问题并主动修正结论．
信息技术的使用，能让学生在短时间内，绘制不同类型的反比例函数，快速验证归纳出的结论，加深对图象和性质的理解．
几何画板的动态演示，不仅能观察图象的变化情况，还能观察相关数值的变化情况，帮助学生对函数增减性的理解，建立“数”和“形”的联系．
从关系式的角度进行解释，进一步加强学生对这些性质的理解，启发学生“由数想形”、“由形助数” ．
学生经过观察—猜想——验证—说理，从而得出反比例函数的图象特征和性质，这是一个完整的数学探究过程，学生学习的不仅仅是知识，还有科学研究问题的方法．
三、解决问题，应用新知
1．反比例函数的图象是（ ）
（A）． （B）．
（C）． （D）．
2．函数 的图象在二、四象限，则m的取值范围是 _______．
3．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是( )
（A）k＞1． （B）k＞0．
（C）k≥1． （D）k＜1．
4．已知y是x的反比例函数，当x=2时，． .
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）这个函数图象位于哪个象限？
（3）若点（1，y1），（2，y2）是此函数图象上的两个点，请比较y1和y2的大小．
四、归纳反思，深化理解
1．知识
2．方法
3．数学思想
五、布置作业，落实新知
1. 教材59页第2题.
2.思考题：
反比例函数除了我们今天上课介绍的这些性质外，仔细观察和分析图象，看看你还能发现哪些性质？请尝试分别从图象和函数关系式的角度给予解释和说明.
学生抢答
学生在练习纸上独立完成．
教师在巡视过程中，引导学生在第（3）问中可以用两种方法解决．
教师引导学生交流本节课学习的知识，探究问题的方法，以及用到的数学思想．
教师布置作业，学生记录作业.
第1题、第2题、第3题是对本节课的所学性质的直接应用，落实本节课的重点知识．
第4题综合运用反比例函数的相关知识．
对本节课所学知识进行及时整理、巩固和提高，培养学生整理、归纳的习惯和能力．
思考题的设置，鼓励学生进一步探索反比例函数的对称性、过反比例函数上任意一点向坐标轴引垂线构成的矩形的面积与k之间的关系等结论．
六、目标检测设计
1．反比例函数的图象在第____________象限．
2．函数y＝2x与函数在同一坐标系中的大致图象是( )
（A）． （B）． （C）． （D）．
3．对于函数，下列说法错误的是( )
（A）它的图象分布在第一、三象限． （B）点在它的图象上．
（C）当x＞0时，y的值随x的增大而增大． （D）当x＜0时，y的值随x的增大而减小．
4．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则 ( )
（A）y1＞y2＞0． （B）y1＜y2＜0． （C）y1＞0＞y2． （D）y1＜0＜y2．
5．已知反比例函数的图象经过点A．
（1）求这个函数的关系式；
（2）画出函数图象；
（3）这个函数图象位于哪几个象限？ 在每个象限内，y随x的增大如何变化？
《反比例函数的图象和性质》点评
本节课教师准确地把握了《课程标准》和教材，立足于学生的发展，教师以活动任务的形式引领，学生以小组合作的形式进行探究，学生在有效的数学活动中，经历了画图象——归纳结论——验证结论——简单说理的过程，这种设计体现了研究函数图像与性质的一般思想方法和过程，符合学生的认知规律。
本节课的亮点：
1．在画图象的环节，在教材原有的两个函数的基础上，又增加了四个函数，每个小组各画一个反比例函数的图象，这样的设计既能达到让学生学会画图象的目的，便于小组内交流、纠错，又能为后面对图象特征和性质的探究提供足够多的样本素材、便于学生从中发现规律、归纳性质。
2．在对性质的探究的过程中，通过自主探究、组内交流、小组汇报、全班讨论来完成，既为学生留有独立思考的时间，又充分发挥了小组合作的优势。有效的解决了本节课的重点和难点。
3．在教材原有环节的基础上，增加了一个验证结论的过程，符合数学探究的一般过程，更具科学性和说服力。在验证结论的过程中，合理运用现代信息技术，图形计算器解决了学生在短时间内画比较复杂的反比例函数的图象的需求，几何画板的动态演示，帮助学生很好的理解了在变化过程中， “数”和“形”之间的关系，有效的启发学生“由形助数”、“由数想形”。
总之，这节课是一堂符合课程改革要求的优质课。
