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2.1.1认识有理数
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第二单元
课题 认识有理数 课时 2.1.1
课标要求 依据课程标准，本节课在 “数与代数” 领域聚焦有理数的起始认知，要求学生理解有理数的意义，能够结合具体情境用正数、负数表示具有相反意义的量，同时掌握有理数的分类方法，在数系从算术数到有理数的扩展过程中深化对 “数” 的认知，逐步发展数感与符号意识。在核心素养培养上，需引导学生经历从实际问题中抽象出正负数数学模型的过程，通过对 “加分与扣分”“零上与零下” 等相反意义量的数学表征，培育数学抽象能力；借助有理数分类的讨论活动，让学生在明确整数、分数分类标准及 0 的特殊地位的过程中，发展逻辑推理能力；并通过用正负数解决转盘转动、商品净含量标注等实际问题，帮助学生体会数学建模思想，感受数学符号在刻画现实世界中的简洁性与有效性。
教材分析 本节课是北师大版七年级上册有理数章节的起始课，教材以 “生活现象 — 数学抽象 — 概念建构 — 实践应用” 为认知链条展开教学：先借 “知识竞赛得分” 等熟悉情境引出正负数表示相反量，再依托气温、海拔、物价等跨学科实例抽象正负数定义，接着通过 “思考 交流” 引导学生自主完成有理数分类（整数、分数）并明确 0 的特殊地位，最后以 “转盘转动” 等实际问题巩固应用。教材兼具三大特点：情境覆盖校园、气候等多领域，凸显数学应用性；编排遵循 “观察 — 抽象 — 分类 — 应用” 思维路径，培养学生抽象与分类能力；贯穿分类讨论、数学建模等思想，为后续有理数学习筑牢根基。
学情分析 七年级学生在学习本节课前，已具备一定的知识基础与思维能力：小学阶段系统学习了自然数、分数（含小数），能直观理解 “数量的多少”；生活中也常接触 “盈利与亏损”“上升与下降” 等具有相反意义的现象，虽未用数学符号系统表示，但对 “相反” 的生活概念有感性认知；同时，学生已具备初步的抽象思维能力，能从具体实例中归纳简单数学规律，为有理数的学习奠定了基础。然而，学生的认知仍存在一定障碍：对负数 “相反意义” 的理解停留在直观层面，尤其是面对 “相对变化量”（如物价涨幅 - 0.5% 表示 “下跌 0.5%”）时，易与 “绝对数量” 混淆，难以把握 “相反意义” 的数学本质；在有理数分类中，对 “0 既不是正数也不是负数” 的特殊归属、“分数与小数的包含关系”等问题存在认知模糊，易出现分类标准混乱的情况。此外，七年级学生好奇心强，乐于参与合作交流活动，且善于通过生活实例关联旧知，这种学习特质使其适合采用情境教学法与探究式学习方式，教师可充分利用学生的生活经验与探究热情，引导其完成从 “生活经验” 到 “数学概念” 的抽象过程。
教学目标 1.知识与技能：理解正负数表示相反意义的量，能正确用正负数描述实际问题，掌握有理数的概念，能按 “整数 / 分数”“正 / 负 / 零” 对有理数进行分类。 2. 过程与方法：经历从实际情境抽象出正负数的过程，发展数学抽象能力；通过分类讨论，培养逻辑推理能力，学会在解决实际问题中，体会数学建模思想。 3. 情感态度与价值观：感受数学与生活的紧密联系，体会数学符号的简洁性，增强学习数学的兴趣和应用意识。
教学重点 1.正负数表示相反意义的量（核心是理解 “相反” 的数学表达）。 2.有理数的概念及分类（明确整数、分数的包含关系，0 的特殊地位）。
教学难点 1.负数意义的理解：尤其是 “相对变化量”（如物价涨幅 - 0.5%）的抽象含义，突破 “负数仅表示‘少’” 的直观局限。 2.有理数分类的严谨性：辨析 “0 的归属”“分数与小数的关系”，避免分类标准混乱。
教法与学法分析 本节课教法以 “情境 — 问题 — 探究” 为主线，通过创设 “知识竞赛得分”“气温播报” 等生活化情境引发认知冲突，设计 “-154.31m 实际意义”“0 为何非正非负” 等阶梯性问题引导深度思考，借助 “数轴雏形”“大米包装袋” 等直观工具将抽象概念可视化，助力学生理解； 学法以 “自主 — 合作 — 练习” 为路径，让学生独立分析实例、归纳正负数意义及分类有理数以培养独立思考能力，通过小组讨论 “身高差表示”“数的分类标准” 等问题碰撞思维、解决疑难，再通过完成例 1 及课后习题巩固概念，教师同步巡视纠正 “-a 一定是负数” 等误解，实现教法与学法的协同，促进学生高效掌握知识。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 引入：“相反意义的量” 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1题加1分，答错1题扣1分，不回答得0分；每个参赛队的基本分均为0分。下表是用图2-1所示的表情表示的两个参赛队的答题情况 参赛队答题情况第一队第二队
你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗？试完成下表。 参赛队答对题的得分答错题的得分不回答题的得分第一队6 个3 个1 个第二队8 个2个0个
（2）如果用“ ”表示答对1题的得分，用“-1”表示答错1题的得分，那么你如何填写（1）中的表？ 参赛队答对题的得分答错题的得分不回答题的得分第一队+6-30第二队+8-20
第一队： 答对得分：； 答错得分：； 不回答得分：。 第二队： 答对得分：； 答错得分：； 不回答得分：。 创设 “班级积分赛” 情境，提问 “扣 2 分如何记录”。 小组讨论，尝试用符号表示 “加分 / 扣分”。 联系生活经验，感知 “相反意义的量”，激发探究欲。
探究活动一： 认识“相反意义的量” 尝试·交流 （1）下表是2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗？ 城市北京昆明西安哈尔滨气温-7℃~5℃7℃~13℃-2℃~2℃-19℃~-14℃
回答： 以气温的基准为0℃和零上为正、零下为负为标准，注意气温是 “范围值”（包含最低和最高气温）。各城市气温的实际意义为： ①：表示北京当天最低气温零下 7 摄氏度；当天最高气温零上 5 摄氏度。 ②表示昆明当天最低气温零上 7 摄氏度；当天最高气温零上 13 摄氏度。 ③：表示西安当天最低气温零下 2摄氏度；当天最高气温零上 2 摄氏度。 ④表示哈尔滨当天最低气温零下19 摄氏度；当天最高气温零下14摄氏度。 （2）珠穆朗玛峰的海拔大约是 ，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是 。 ， 的实际意义分别是什么？ 回答： 海平面的海拔高度规定为 ① 的实际意义：珠穆朗玛峰的高度高于海平面； ② 的实际意义：吐鲁番盆地最低处的高度低于海平面。 （3）图2-2展示了2023年7月我国居民消费价格分类别同比涨幅情况请你说一说一 ， 等数的实际意义，并与同伴进行交流。 图2-2 回答： 这些数据表示 2023 年 7 月我国居民消费价格分类别与 2022 年 7 月相比的涨跌情况（正数为上涨，负数为下跌），具体实际意义如下： ①-0.5%（食品烟酒）：2023 年 7 月食品烟酒类价格比 2022 年 7 月下跌 0.5%； ②1.0%（衣着）：2023 年 7 月衣着类价格比 2022 年 7 月上涨 1.0%； ③0.1%（居住）：2023 年 7 月居住类价格比 2022 年 7 月上涨 0.1%； ④-0.2%（生活用品及服务）：2023 年 7 月生活用品及服务类价格比 2022 年 7 月下跌 0.2%； ⑤-4.7%（交通通信）：2023 年 7 月交通通信类价格比 2022 年 7 月下跌 4.7%； ⑥2.4%（教育文化娱乐）：2023 年 7 月教育文化娱乐类价格比 2022 年 7 月上涨 2.4%； ⑦1.2%（医疗保健）：2023 年 7 月医疗保健类价格比 2022 年 7 月上涨 1.2%； ⑧4.1%（其他用品及服务）：2023 年 7 月其他用品及服务类价格比 2022 年 7 月上涨 4.1%。 【注意】 1. 明确 “基准（0 点）”：正负数是相对基准的 “相反变化”，需先确定情境中的 “0 基准” 2. 理解 “符号的相反意义”：正数和负数表示相反的状态或变化方向，需准确对应 3. 关注 “情境的具体细节”：不同情境有独特的表述要求，需结合细节精准解释 4. 表述 “准确且专业”：使用领域内的专业术语，避免歧义 5. 区分 “绝对量” 与 “相对变化量” 海拔、气温是绝对量（直接描述物体 / 环境的状态）； 物价涨幅是相对变化量（描述 “与过去相比的变化幅度”）。 6. 结合 “背景信息” 增强准确性：题目中的时间、类别、对象是关键背景，需融入解释 展示气温、海拔等实例，提问相反量的表示方法 小组讨论，分析实例中数的意义 联系生活经验，感知 “相反意义的量”，激发探究欲
环节二：新知讲解 探究活动二：正负数的概念与实际应用 “加分与扣分”“零上温度与零下温度”“高于海平面与低于海平面”“上涨量与下跌量”等都是具有相反意义的量。为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“+”“-”来表示。例如，“加3分”记为 分，“扣2分”就记为－2分。 像 ，…都是正数，正数前面的“+”可以省略不写。 像 ，…都是负数。 注意：①负数与对应的正数在数量上相等，表示的意义相反。 ②0既不是正数，也不是负数。 例1 （1）某人转动转盘，如果用 圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ 解:沿顺时针方向转了12圈记作 -12 圈； （2）在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量 记作 ，那么 表示什么？ 解： 表示乒乓球的质量低于标准质量 （3）某大米包装袋上标注着“净含量： ，这里的“10kg± 表示什么？ 解： 每袋大米的标准质量应为 ，但实际每袋大米可能有 的误差，即每袋大米的净含量最多是 ，最少是 。 讲解正负数定义（正数、负数、0 的含义），结合实例（转盘转动、乒乓球质量等）分析应用 理解概念，跟随教师分析例 1，掌握正负数表示方法 掌握正负数概念及表示，体会数学建模思想
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：有理数的分类 思考·交流 （1）选定一个身体高度作为标准，用正负数和0表示你们班每名同学的身高与选定的身高标准的差。你是怎样表示的？从你的表示能看出谁最高吗？ （2）你能将所学的数进行分类吗？与同伴进行交流。 整数（integer）： 分数（fraction）： 整数与分数统称有理数（rationalnumber） 拓展： 数学 “诊断室”：数的分类错题病例分析 请你化身数学小医生，诊断以下 “数病人” 的分类错误，说明错误原因并给出正确分类及依据： 病例 1：小明认为7.6是整数，理由是“ 7.6没有分数线，长得像整数”。 病例 2：小红判定 0 是正整数，理由是 “0 比负数大，应该属于正数家族”。 病例 3：小刚把 -8.6 归为负整数，理由是 “-8.6 里有 -8，所以是负整数”。 诊断要求： 针对每个病例，指出错误原因（如概念误解、分类标准混淆等）； 写出正确分类，并结合 “整数、分数、正负数” 的定义说明依据。 参考答案思路： 病例 1：错误原因是 “混淆整数与分数的定义，忽略有限小数属于分数”；正确分类： 是正分数（因为有限小数可化为分数，如 ）。 病例 2：错误原因是 “对‘0’的特殊性’认知不清，正数、负数的定义需‘大于 / 小于 0’ ；正确分类：0 既不是正数也不是负数，是整数（整数包含正整数、0、负整数）。 病例 3：错误原因是 混淆‘整数部分’与‘数的类型’，负整数需是‘负的整数’ ；正确分类： 是负分数（因为 ，是分数形式）。 发放数字卡片引导分类讨论，组织 “数学诊断室” 活动，解析分类错题 参与数的分类讨论，扮演 “小医生” 诊断分类错误并说明依据 明确有理数分类标准，强化分类严谨性，发展逻辑推理能力
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.皮皮和妈妈一共吃了10个小笼包，花了12.5元，皮皮又喝一杯奶茶的，妈妈把剩下的喝完了（0），皮皮和妈妈回家上电梯时，发现电梯在-2层。请问这段话中出现的数字分别属于哪一类？ 答案： 10：正整数（属于整数，也是有理数）； 12.5：正分数（有限小数可化为分数，属于分数，也是有理数）； ：正分数（属于分数，也是有理数）； 0：整数（既不是正数也不是负数，属于有理数）； -2：负整数（属于整数，也是有理数）。 2.填一填，把下列数分别填在对应的括号内： 13，-0.5，2.7，123，0， ，-4， 。 （1）分数（ -0.5，2.7， ， ）；（2）负整数（ -4 ）； （3）正分数（ 2.7 ， ）；（4）有理数（全都是） 布置课堂练习（数的分类、实际应用），巡视指导 完成练习，纠正错误，巩固知识 巩固正负数应用及有理数分类，检测知识掌握情况
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.课本知识点 认识 “相反意义的量”，能结合具体情境（如得分、气温、海拔、物价涨幅等）用正数、负数表示，明确 0 是正负数的分界（既不是正数也不是负数）。 掌握有理数的概念及分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数，明确有限小数属于分数。 学会用正负数解决实际问题（如转盘转动方向、商品质量误差、净含量标注等）。 2.本课主要学习方法或数学思想 学习方法：通过情境探究（如积分赛、气温分析）、合作交流（讨论数的分类）、错题诊断（分析分类错误）等方式，从具体到抽象理解知识。 数学思想：渗透数学抽象（从实际问题抽象出正负数模型）、逻辑推理（有理数分类的严谨性讨论）、数学建模（用正负数表示相反量）、分类讨论（有理数的分类标准）等思想。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 有理数的意义 一、相反意义的量 核心：两种具有相反趋势的量，需用正负数区分
基准：0（表示 “没有变化”“分界点”）
实例： 加分（+）与扣分（-） 零上（+）与零下（-） 高于海平面（+）与低于海平面（-） 二、正负数的定义 正数：表示 “正向意义” 的量，符号 “+”（可省略）
例：+5 分、8848.86m、13℃ 负数：表示 “相反意义” 的量，符号 “-”（不可省略）
例：-3 分、-154.31m、-19℃ 0：既不是正数，也不是负数（基准点） 三、有理数的分类 整数（integer）： 分数（fraction）： 整数与分数统称有理数（rationalnumber） 注：有限小数（如 5.2）、无限循环小数属于分数 四、应用示例 情境数据实际意义海拔8848.86m高于海平面 8848.86 米气温-15℃~-8℃最低气温零下 15℃，最高气温零下 8℃物价涨幅-0.5%（食品）食品类价格同比下跌 0.5%
五、易错点提醒 0 不是正数，也不是负数！
5.2（有限小数）是分数，不是整数！
-a 不一定是负数（如 a=-3 时，-a=3 是正数）
作业设计 基础训练： 1.菠萝包的牌子上写着“6.99/个 +2 ”，蛋挞的牌子上写着“25/盒 -5 ” ：+2和-5分别表示什么？ 答案：+2表示每个菠萝包在 6.99 元的基础上加价 2 元；-5 表示每盒蛋挞在 25 元的基础上降价 5 元。 2.在－2；；－4.5；91中，正数是；负数是- 2，-4.5 3.如果规定向西走30米记作＋30米，那么－40米，表示 向东走40米 。 4.把下列各数分别填入相应的集合里：－2，0，－0.314，25%，11，，，， 非负有理数集合：{ 0,25%，11，，， …}； 整数集合：{ -2，0，11 …}； 自然数集合：{ 0，11 …}； 分数集合：{ -0.314，25%， ，，，…}； 非正整数集合：{ -2，-0.314，…}. 能力提升：
5.室内温度是零上20℃，记作+20℃，室外温度是零下1℃，记作 ( B ). (A) 1 ℃ (B) -1 ℃ (C) -11 ℃ (D) -21℃ 6.在某次乒乓球检测中，一只乒乓球超过标准质量0.02克记作＋0.02克， 那么－0.05克的含义是什么？ 答案：－0.05 克的含义是：这只乒乓球的质量低于标准质量 0.05 克。 7.粮食每袋标准重量是50公斤，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：52公斤，49公斤，49.8公斤．如果超重部分用正数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数． 答案： ① 甲袋：52 - 50 = 2（公斤），记作＋2 公斤； ②乙袋：49 - 50 = -1（公斤），记作－1 公斤； ③丙袋：49.8 - 50 = -0.2（公斤），记作－0.2 公斤。 拓展训练： 8.在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中， 整数集合{ 0， ﹣ }， 分数集合{ ，3.14 }， 无理数集合{ ，﹣ ， 7.151551… }． 9.下表是北京与国外几个城市的时差，其中正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数. 城市巴黎纽约东京芝加哥时差/时-6-12+1-13
(1) 请你说出“-6”、“-12”、“+1”、“-13”这些数字的含义。 (2) 如果东京时间为15日的7点整，那么巴黎时间是几日几点钟？ 芝加哥时间呢？ 答案： (1) “-6” 表示巴黎时间比北京时间晚 6 小时； “-12” 表示纽约时间比北京时间晚 12 小时； “+1” 表示东京时间比北京时间早 1 小时； “-13” 表示芝加哥时间比北京时间晚 13 小时。 (2)已知东京时间比北京时间早 1 小时，当东京时间为 15 日 7 点时，北京时间为 15 日 7 点 - 1 小时 = 15 日 6 点。 巴黎时间比北京时间晚 6 小时，因此巴黎时间为 15 日 6 点 - 6 小时 = 15 日 0 点； 芝加哥时间比北京时间晚 13 小时，因此芝加哥时间为 15 日 6 点 - 13 小时 = 14 日 17 点。
教学反思 本节课作为 “有理数的意义” 起始课，围绕 “生活现象 — 数学抽象 — 概念建构 — 实践应用” 主线展开，基本达成教学目标，既有情境驱动激发兴趣、核心素养培养落地、分层练习巩固效果等成功之处，也存在学生对负数 “相对变化量” 理解不深、对 “有限小数属于分数” 认知模糊、小组讨论个别学生参与度低等不足，对此可通过增加 “正向规定” 变式训练、补充 “分数与小数互化” 微活动、采用组内角色分工等方式改进；整体而言，学生经历了有理数概念形成过程，后续需进一步强化 “从具体到抽象” 的过渡，助力学生理解知识本质，为后续学习筑牢基础。
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第二章 有理数及其运算
2.1.1认识有理数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解正负数表示相反意义的量，能正确用正负数描述实际问题，掌握有理数的概念，能按 “整数 / 分数”“正 / 负 / 零” 对有理数进行分类。
01
经历从实际情境抽象出正负数的过程，发展数学抽象能力；通过分类讨论，培养逻辑推理能力，学会在解决实际问题中，体会数学建模思想。
02
感受数学与生活的紧密联系，体会数学符号的简洁性，增强学习数学的兴趣和应用意识。
03
02
新知导入
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1题加1分，答错1题扣1分，不回答得0分；每个参赛队的基本分均为0分。下表是用图2-1所示的表情表示的两个参赛队的答题情况
02
新知导入
（1）你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗？试完成下表。
02
新知导入
参赛队 答对题的得分 答错题的得分 不回答题的得分
第一队
第二队
（2）如果用“+1 ”表示答对1题的得分，用“-1”表示答错1题的得分，那么你如何填写（1）中的表？
02
新知导入
第一队：
答对得分：；
答错得分：；
不回答得分：。
第二队：
答对得分：；
答错得分：；
不回答得分：。
02
新知导入
参赛队 答对题的得分 答错题的得分 不回答题的得分
第一队
第二队
+6
-3
0
+8
-2
0
（1）下表是2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗？
尝试·交流
城市 北京 昆明 西安 哈尔滨
气温 -7℃~5℃ 7℃~13℃ -2℃~2℃ -19℃~-14℃
03
新知探究
以气温的基准为0℃和零上为正、零下为负为标准，注意气温是 “范围值”（包含最低和最高气温）。各城市气温的实际意义为：
①：
表示北京当天最低气温零下 7 ℃ ；当天最高气温零上 5 ℃
②
表示昆明当天最低气温零上 7 ℃ ；当天最高气温零上 13 ℃
③：
表示西安当天最低气温零下 2 ℃ ；当天最高气温零上 2 ℃
④
表示哈尔滨当天最低气温零下19 ℃ ；当天最高气温零下14 ℃
03
新知探究
（2）珠穆朗玛峰的海拔大约是 8848.86m ，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是 -154.31m 。 8848.86m ， -154.31m 的实际意义分别是什么？
尝试·交流
海平面的海拔高度规定为 0 m:
①8848.86 m 的实际意义：
珠穆朗玛峰的高度高于海平面8848.86 米；
②-154.31 m 的实际意义：
吐鲁番盆地最低处的高度低于海平面154.31 米 。
03
新知探究
（3）右图展示了2023年7月我国居民消费价格分类别同比涨幅情况请你说一说-0.5% ， 2.4% 等数的实际意义，并与同伴进行交流。
尝试·交流
03
新知探究
这些数据表示 2023 年 7 月我国居民消费价格分类别与 2022 年 7 月相比的涨跌情况（正数为上涨，负数为下跌），具体实际意义如下：
①-0.5%（食品烟酒）：2023 年 7 月食品烟酒类价格比 2022 年 7 月下跌 0.5%；
②1.0%（衣着）：2023 年 7 月衣着类价格比 2022 年 7 月上涨 1.0%；
③0.1%（居住）：2023 年 7 月居住类价格比 2022 年 7 月上涨 0.1%；
④-0.2%（生活用品及服务）：2023 年 7 月生活用品及服务类价格比 2022 年 7 月下跌 0.2%；
⑤-4.7%（交通通信）：2023 年 7 月交通通信类价格比 2022 年 7 月下跌 4.7%；
⑥2.4%（教育文化娱乐）：2023 年 7 月教育文化娱乐类价格比 2022 年 7 月上涨 2.4%；
⑦1.2%（医疗保健）：2023 年 7 月医疗保健类价格比 2022 年 7 月上涨 1.2%；
⑧4.1%（其他用品及服务）：2023 年 7 月其他用品及服务类价格比 2022 年 7 月上涨 4.1%。
03
新知探究
【注意】
1. 明确 “基准（0 点）”
2. 理解 “符号的相反意义”
3. 关注 “情境的具体细节”
4. 表述 “准确且专业”
5. 区分 “绝对量” 与 “相对变化量”
6. 结合 “背景信息” 增强准确性
03
新知探究
“加分与扣分”“零上温度与零下温度”“高于海平面与低于海平面”“上涨量与下跌量”等都是具有相反意义的量。为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“+”“-”来表示。例如，“加3分”记为 +3 分，“扣2分”就记为－2分。
像 +3, +15, +2.4% ，…都是正数，正数前面的中“+”可以省略不写。
像 -2, :-8, :-0.5% ，…都是负数。
注意：①负数与对应的正数在数量上相等，表示的意义相反。
②0既不是正数，也不是负数。
03
新知探究
例1
（1）某人转动转盘，如果用 圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
解:沿顺时针方向转了12圈记作 -12 圈；
（2）在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量 记作 ，那么 表示什么？
解： 表示乒乓球的质量低于标准质量
（3）某大米包装袋上标注着“净含量： ，这里的“10kg± 表示什么？
解： 每袋大米的标准质量应为 ，但实际每袋大米可能有 的误差，即每袋大米的净含量最多是 ，最少是 。
03
新知探究
03
新知探究
（1）选定一个身体高度作为标准，用正负数和0表示你们班每名同学的身高与选定的身高标准的差。你是怎样表示的？从你的表示能着出谁最高吗？
思考·交流
（2）你能将所学的数进行分类吗？与同伴进行交流。
03
新知探究
整数（integer）：
分数（fraction）：
整数与分数统称有理数（rationalnumber）
03
新知探究
拓展：
数学 “诊断室”：数的分类错题病例分析
请你化身数学小医生，诊断以下 “数病人” 的分类错误，说明错误原因并给出正确分类及依据。
诊断要求：
针对每个病例，指出错误原因（如概念误解、分类标准混淆等）；
写出正确分类，并结合 “整数、分数、正负数” 的定义说明依据。
病例 1：小明认为7.6是整数，理由是“ 7.6没有分数线，长得像整数”。
病例 2：小红判定 0 是正整数，理由是 “0 比负数大，应该属于正数家族”。
病例 3：小刚把 -8.6 归为负整数，理由是 “-8.6 里有 -8，所以是负整数”。
03
新知探究
请你帮他们诊断一下！
03
新知探究
病例 1：错误原因是 “混淆整数与分数的定义，忽略有限小数属于分数”
正确分类： 是正分数（因为有限小数可化为分数，如 ）。
病例 2：错误原因是 “对‘0’的特殊性’认知不清，正数、负数的定义需‘大于 / 小于 0’
正确分类：0 既不是正数也不是负数，是整数（整数包含正整数、0、负整数）。
病例 3：错误原因是 混淆‘整数部分’与‘数的类型’，负整数需是‘负的整数’
正确分类： 是负分数（因为 ，是分数形式）。
1.皮皮和妈妈一共吃了10个小笼包，花了12.5元，皮皮又喝一杯奶茶的，妈妈把剩下的喝完了（0），皮皮和妈妈回家上电梯时，发现电梯在-2层。请问这段话中出现的数字分别属于哪一类？
答案：
10：正整数（属于整数，也是有理数）；
12.5：正分数（有限小数可化为分数，属于分数，也是有理数）；
：正分数（属于分数，也是有理数）；
0：整数（既不是正数也不是负数，属于有理数）；
-2：负整数（属于整数，也是有理数）。
04
课堂练习
2.填一填，把下列数分别填在对应的部分内：
13，-0.5，2.7，123，0， ，-4， 。
（1）分数：
（2）负整数:
（3）正分数:
（4）有理数:
-0.5，2.7， ，
-4
2.7 ，
全都是
04
课堂练习
05
课堂小结
有理数
能结合具体情境（如得分、气温、海拔、物价涨幅等）用正数、负数表示，明确 0 是正负数的分界（既不是正数也不是负数）。
认识 “相反意义的量”
整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数，明确有限小数属于分数。
用正负数解决实际问题
掌握有理数的概念及分类
06
作业布置
【基础达标】必做题：
菠萝包的牌子上写着“6.99/个 +2 ”，蛋挞的牌子上写着“25/盒 -5 ” ：+2和-5分别表示什么？
答案：+2表示每个菠萝包在 6.99 元的基础上加价 2 元；-5 表示每盒蛋挞在 25 元的基础上降价 5 元。
2.在－２；；－4.5；91中，正数是___________；负数是_________
，91
- 2，-4.5
06
作业布置
3.如果规定向西走30米记作＋30米，那么－40米，表示 :
4.把下列各数分别填入相应的集合里：
－2，0，－0.314，25%，11，，，，
非负有理数集合：{ }；
整数集合：{ }；
自然数集合：{ }；
分数集合：{ }；
非正整数集合：{ }.
向东走40米
0,25%，11，，， …
-2，0，11 …
0，11 …
-0.314，25%， ，，，…
-2，-0.314，…
06
作业布置
能力提升：
5.室内温度是零上20℃，记作+20℃，室外温度是零下1℃，记作
( ).
1 ℃ (B) -1 ℃ (C) -11 ℃ (D) -21℃
B
06
作业布置
6.在某次乒乓球检测中，一只乒乓球超过标准质量0.02克记作＋0.02克， 那么－0.05克的含义是什么？
答案：－0.05 克的含义是：这只乒乓球的质量低于标准质量 0.05 克。
7.粮食每袋标准重量是50公斤，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：52公斤，49公斤，49.8公斤．如果超重部分用正数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数．
答案：
① 甲袋：52 - 50 = 2（公斤），记作＋2 公斤；
②乙袋：49 - 50 = -1（公斤），记作－1 公斤；
③丙袋：49.8 - 50 = -0.2（公斤），记作－0.2 公斤。
06
作业布置
拓展训练：
8.在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，
整数集合{ }，
分数集合{ }，
无理数集合{ }．
0， ﹣
，3.14
，﹣ ， 7.151551…
06
作业布置
9.下表是北京与国外几个城市的时差，其中正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数.
城市 巴黎 纽约 东京 芝加哥
时差/时 -6 -12 +1 -13
(1) 请你说出“-6”、“-12”、“+1”、“-13”这些数字的含义。
(2) 如果东京时间为15日的7点整，那么巴黎时间是几日几点钟 芝加哥时间呢
06
作业布置
答案：
(1)
“-6” 表示巴黎时间比北京时间晚 6 小时；
“-12” 表示纽约时间比北京时间晚 12 小时；
“+1” 表示东京时间比北京时间早 1 小时；
“-13” 表示芝加哥时间比北京时间晚 13 小时。
(2)已知东京时间比北京时间早 1 小时，当东京时间为 15 日 7 点时，北京时间为 15 日 7 点 - 1 小时 = 15 日 6 点。
巴黎时间比北京时间晚 6 小时，因此巴黎时间为 15 日 6 点 - 6 小时 = 15 日 0 点；
芝加哥时间比北京时间晚 13 小时，因此芝加哥时间为 15 日 6 点 - 13 小时 = 14 日 17 点。
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分课时学案
课题 2.1.1认识有理数 单元 第二单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.知识与技能：理解正负数表示相反意义的量，能正确用正负数描述实际问题，掌握有理数的概念，能按 “整数 / 分数”“正 / 负 / 零” 对有理数进行分类。 2. 过程与方法：经历从实际情境抽象出正负数的过程，发展数学抽象能力；通过分类讨论，培养逻辑推理能力，学会在解决实际问题中，体会数学建模思想。 3. 情感态度与价值观：感受数学与生活的紧密联系，体会数学符号的简洁性，增强学习数学的兴趣和应用意识。
重点 1.正负数表示相反意义的量（核心是理解 “相反” 的数学表达）。 2.有理数的概念及分类（明确整数、分数的包含关系，0 的特殊地位）。
难点 1. 负数意义的理解：尤其是 “相对变化量”（如物价涨幅 - 0.5%）的抽象含义，突破 “负数仅表示‘少’” 的直观局限。 2. 有理数分类的严谨性：辨析 “0 的归属”“分数与小数的关系”，避免分类标准混乱。
教学过程
导入新课 【引入思考】 引入：“相反意义的量” 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1题加1分，答错1题扣1分，不回答得0分；每个参赛队的基本分均为0分。下表是用图2-1所示的表情表示的两个参赛队的答题情况 参赛队答题情况第一队第二队
（1）你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗？试完成下表。 参赛队答对题的得分答错题的得分不回答题的得分第一队第二队
（2）如果用“ ”表示答对1题的得分，用“-1”表示答错1题的得分，那么你如何填写（1）中的表？ 参赛队答对题的得分答错题的得分不回答题的得分第一队 第二队
你能写出计算过程吗？
新知讲解 本节课来研究： 探究活动一： 认识“相反意义的量” 尝试·交流 （1）下表是2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗？ 城市北京昆明西安哈尔滨气温-7℃~5℃7℃~13℃-2℃~2℃-19℃~-14℃
回答： （2）珠穆朗玛峰的海拔大约是 ，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是 。 ， 的实际意义分别是什么？ 回答： （3）图2-2展示了2023年7月我国居民消费价格分类别同比涨幅情况请你说一说一 ， 等数的实际意义，并与同伴进行交流。 图2-2 回答： 探究活动二：正负数的概念与实际应用 “加分与扣分”“零上温度与零下温度”“高于海平面与低于海平面”“上涨量与下跌量”等都是________________。为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为___________，把与这个量意义相反的量规定为___________，并分别用_________来表示。例如，“加3分”记为 分，“扣2分”就记为－2分。 像 ，…都是____________，正数前面的中“+”可以______________。 像 ，…都是_________。 注意：①负数与对应的正数在数量上相等，表示的意义相反。 ②0既不是___________，也不是_____________。 例1 （1）某人转动转盘，如果用 圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ 解: （2）在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量 记作 ，那么 表示什么？ 解： （3）某大米包装袋上标注着“净含量： ，这里的“10kg± 表示什么？ 探究活动三：有理数的分类 思考·交流 （1）选定一个身体高度作为标准，用正负数和0表示你们班每名同学的身高与选定的身高标准的差。你是怎样表示的？从你的表示能看出谁最高吗？ （2）你能将所学的数进行分类吗？与同伴进行交流。 【注意】 整数（integer）： 分数（fraction）： 整数与分数统称________（rationalnumber） 拓展： 数学 “诊断室”：数的分类错题病例分析 请你化身数学小医生，诊断以下 “数病人” 的分类错误，说明错误原因并给出正确分类及依据： 病例 1：小明认为7.6是整数，理由是“ 7.6没有分数线，长得像整数”。 病例 2：小红判定 0 是正整数，理由是 “0 比负数大，应该属于正数家族”。 病例 3：小刚把 -8.6 归为负整数，理由是 “-8.6 里有 -8，所以是负整数”。 诊断要求： 针对每个病例，指出错误原因（如概念误解、分类标准混淆等）； 写出正确分类，并结合 “整数、分数、正负数” 的定义说明依据。 我的诊断：
课堂练习 课堂练习 1.皮皮和妈妈一共吃了10个小笼包，花了12.5元，皮皮又喝一杯奶茶的，妈妈把剩下的喝完了（0），皮皮和妈妈回家上电梯时，发现电梯在-2层。请问这段话中出现的数字分别属于哪一类？ 2.填一填，把下列数分别填在对应的括号内： 13，-0.5，2.7，123，0， ，-4， 。 （1）分数（ ）； （2）负整数（ ）； （3）正分数（ ）； （4）有理数（ ）
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课后作业 基础训练： 1.菠萝包的牌子上写着“6.99/个 +2 ”，蛋挞的牌子上写着“25/盒 -5 ” ：+2和-5分别表示什么？ 答案： 2.在－２；；－4.5；91中，正数是______________；负数是________________ 3.如果规定向西走30米记作＋30米，那么－40米，表示 ______________ 。 4.把下列各数分别填入相应的集合里：－2，0，－0.314，25%，11，，，， 非负有理数集合：{ }； 整数集合：{ }； 自然数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非正整数集合：{ }. 能力提升：
5.室内温度是零上20℃，记作+20℃，室外温度是零下1℃，记作 ( ). (A) 1 ℃ (B) -1 ℃ (C) -11 ℃ (D) -21℃ 6.在某次乒乓球检测中，一只乒乓球超过标准质量0.02克记作＋0.02克， 那么－0.05克的含义是什么？ 答案： 7.粮食每袋标准重量是50公斤，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：52公斤，49公斤，49.8公斤．如果超重部分用正数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数． 答案： 拓展训练： 8.在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中， 整数集合{ }， 分数集合{ }， 无理数集合{ }． 9.下表是北京与国外几个城市的时差，其中正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数. 城市巴黎纽约东京芝加哥时差/时-6-12+1-13
(1) 请你说出“-6”、“-12”、“+1”、“-13”这些数字的含义。 (2) 如果东京时间为15日的7点整，那么巴黎时间是几日几点钟？ 芝加哥时间呢？ 答案：
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