四川省凉山州2024-2025学年高一下学期期末统一检测数学试题
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高一下·凉山期末）已知复数满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2025高一下·凉山期末）某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．50
3．（2025高一下·凉山期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·凉山期末）已知四棱锥的高为2，其底面水平放置时的斜二测画法直观图为平行四边形，如图所示，已知，，则四棱锥的体积为（ ）
A． B．4 C． D．12
5．（2025高一下·凉山期末）若点是的外心，，则（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
6．（2025高一下·凉山期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·凉山期末）若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·凉山期末）已知圆锥的侧面面积为，母线长为，则圆锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．（2025高一下·凉山期末）已知中，点，，分别为，，的中点，则（ ）
A． B．
C．点A的坐标为 D．的面积为4
10．（2025高一下·凉山期末）某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩（单位：厘米）为：145，155，132，135，140，130，136，则（ ）
A．该组数据的极差是35 B．该组数据的中位数是136
C．该组数据的40%分位数是135 D．该组数据的平均数为139
11．（2025高一下·凉山期末）记，，则（ ）
A．的取值范围为 B．若，则
C．的最小值为 D．若，则b的最大值为1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·凉山期末）若复数满足，则的最大值为 ．
13．（2025高一下·凉山期末）样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为 ．
14．（2025高一下·凉山期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·凉山期末）在边长为1的菱形中，，，设，．
（1）用，，表示，并求；
（2）若，，求实数的值．
16．（2025高一下·凉山期末）某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求的值；
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）．
17．（2025高一下·凉山期末）已知向量，，设函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）设，且，，求的值．
18．（2025高一下·凉山期末）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，．
（1）求b；
（2）若，求的面积；
（3）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
19．（2025高一下·凉山期末）如图1，图2，在正方体中，M为的中点．
（1）图1中求证：平面；
（2）图1中求二面角的正切值；
（3）图2中，已知，为的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，求三棱锥的体积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以.所以复数的虚部为：.
故答案为：B
【分析】先把求复数的问题，通过复数的除法运算来处理，将从中解出来，再依据复数虚部的定义确定虚部 .要利用这个性质，把分母的消掉，转化为标准的复数形式（为实数 ）.
2．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为.
故答案为：C.
【分析】 先明确分层抽样的本质，它是按比例从不同层（选不同名著的学生群体 ）中抽取样本，要计算选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取人数，需先算出这两类学生在总体中的占比，再用抽取的总人数乘以该占比，关键在于确定“选《西游记》或《红楼梦》”的学生总数，以及理解分层抽样是按比例抽样的核心逻辑.
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，，则，所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】先明确投影向量的计算方法，要得到向量在向量上的投影向量，需先算出的模长、与的数量积，再依据投影向量的定义，用数量积与模长平方的比值乘以来计算.核心是理解投影向量是与共线的向量，通过向量的坐标运算和投影向量定义来求解 .
4．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形为矩形，因为直观图中，，所以，，所以矩形的面积为，所以四棱锥的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据斜二测画法的规则，把直观图还原成底面的实际图形，确定其形状和尺寸，再算出底面积，最后用四棱锥体积公式（，是底面积，是高 ）求出体积，关键在于理解斜二测画法中直观图和实际图的边长转换关系，尤其是与轴平行的边的长度变化，从而准确还原底面形状并计算面积 .
5．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算；三角形五心
【解析】【解答】解：取的中点，连接，因为点是的外心，所以，所以.因为
，因为，所以.
故答案为：D
【分析】解题思路是利用三角形外心的性质（外心是三角形外接圆的圆心，外心与边中点的连线垂直于该边 ），通过取AB中点M，将所求向量表达式进行转化，逐步化简，最终利用向量数量积运算求出结果，关键在于借助外心性质构建垂直关系，把复杂的向量乘积转化为与已知边AB相关的简单运算 .
6．【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小.因为，所以设，则由余弦定理可得，又因为，所以；因为，所以，所以三角形的最大角与最小角之和为.
故答案为：A
【分析】依据 “大边对大角，小边对小角” 确定最大角和最小角，再通过设边长的参数形式，利用余弦定理求出中间角的大小，最后根据三角形内角和为，求出最大角与最小角的和，关键在于利用边长比例关系设参数，借助余弦定理计算角度，再结合内角和定理推导结果 .
7．【答案】B
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：函数关于轴对称的函数的解析式为：，又，所以将向右平移个单位可得的图象.则的最小正值是
故答案为：B
【分析】找出与y = f(x)关于y轴对称的函数解析式，再通过对比平移前后函数的形式，依据三角函数图象平移规律（“左加右减” 针对x ），确定平移的单位，关键在于理解关于y轴对称的函数变换规则，以及三角函数图象平移时自变量的变化关系，从而建立起原函数与对称函数的联系，求出的最小正值 .
8．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：圆锥母线长，设圆锥底面圆半径为，则，解得，圆锥的高为，设圆锥的外接球的球心为，则在上，设半径为，则，，，即，解得，故圆锥的外接球的表面积为.
故答案为：B
【分析】利用圆锥侧面积公式求出底面半径，再算出圆锥的高，接着确定外接球的球心位置（在圆锥的高所在直线上 ），然后根据球心到圆锥顶点和底面圆周上点的距离相等（都等于外接球半径R ），通过勾股定理列方程求出R，最后用球的表面积公式算出结果，关键在于把握圆锥与外接球的几何关系，找到球心位置，利用半径相等建立方程求解 .
9．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；向量在几何中的应用；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】解：
因为，，所以，故A正确；
因为分别为，的中点，所以，故B错误；
设，，，则有，，，解得，故C正确；
由C可知，，所以的面积为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】用中点坐标公式、向量坐标运算以及三角形面积公式来逐一分析选项，先通过已知中点坐标求向量坐标判断 A、B；再设出三角形三个顶点坐标，依据中点坐标公式列方程组求出顶点坐标判断 C；最后通过分割法或直接法求三角形面积判断 D，关键在于熟练运用中点坐标与向量坐标的转换，以及准确计算三角形面积 .
10．【答案】B,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：该组数据的最大值是155，最小值是130，所以极差是，故A错误；将该组数据从小到大排序依次为130，132，135，136，140，145，155，可知中位数是136，故B正确；因为，所以该组数据的40%分位数是第3个数据，即135，故C正确；因为，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】 根据极差、中位数、分位数、平均数的定义和计算方法，对题目中的数据进行处理和判断，先明确各个统计量的概念，再按照对应步骤计算，最后对比选项得出结论 .
11．【答案】A,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，的取值范围为，A选项正确；
，当时，的最小值为，C选项正确；因为，，所以平方和，则若，则，则，当时，所以不一定是0，B选项错误；若，则，则当时，b的最大值为1，D选项正确；
故答案为：ACD.
【分析】围绕a = sin x + cos y、b = cos x + sin y，利用三角函数的性质（值域、辅助角公式、同角关系等），分别对每个选项进行分析判断，通过将a、b相关表达式变形，结合三角函数的取值范围、和角公式等知识，推导各选项的正确性 .
12．【答案】2
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：设复数，因为，所以，即，所以，所以，因为，所以，所以，所以时，最大为.
故答案为：2.
【分析】把复数问题转化为几何问题，利用复数的几何意义（复数对应复平面内的点，表示点到点的距离为，即圆心为，半径为的圆 ），要求的最大值，就是求圆上的点到原点的最大距离，根据圆的性质，最大距离是圆心到原点的距离加上半径，这样就可以通过几何方法快速求解，避免复杂的代数运算 .
13．【答案】4
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设第五个值为，则由该样本的平均数为2，可知，解得.则样本方差.
故答案为：4
【分析】 利用平均数的定义求出丢失的数据，再依据方差的计算公式算出样本方差，关键在于理解平均数是数据总和除以个数，方差是各数据与平均数差的平方和的平均数，通过这两个统计量的定义逐步计算 .
14．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题设，在中，由正弦定理，得
∴m.
故答案为：.
【分析】根据三角形内角和求出的度数，再利用正弦定理建立边与角的关系，从而求出、两点间的距离，关键在于掌握三角形内角和为以及正弦定理（，其中为三角形的边，为对应的角 ），通过已知角和边，借助正弦定理求解未知边 .
15．【答案】（1）解：
因为，所以.因为，，所以，则，所以；
（2）解：
因为，所以，因为，所以，
所以，即，解得．
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）在中，根据向量加法的三角形法则表示，再根据向量模的求法计算即可；
（2）由，在中，根据向量加法的三角形法则表示出，再由，列出方程，即可求出实数的值.先根据三角形内角和求出的度数，再利用正弦定理建立边与角的关系，从而求出、两点间的距离，关键在于掌握三角形内角和为以及正弦定理（，其中为三角形的边，为对应的角 ），通过已知角和边，借助正弦定理求解未知边 .
（1）因为，所以。
因为，，所以，
则，
所以；
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，解得．
16．【答案】（1）解：由图知：，可得
（2）解：因为，所以中位数在区间内，令其为m，则，解得．所以满意度评分的中位数约为86.67．由频率分布直方图可知，平均数为．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据直方图中频率和为求参数即可；
（2）由中位数的定义，结合直方图求中位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出平均数.围绕频率分布直方图展开，解题关键在于理解频率分布直方图的性质：所有矩形面积之和（即频率之和）为1，利用此性质求解未知参数x；对于中位数，要找到使得左右两边频率和均为0.5的分界点；平均数则是每组中点值乘以对应频率后求和，通过这些统计量的定义和性质来计算 .
（1）由图知：，
可得
（2）因为
所以中位数在区间内，令其为m，
则，解得．
所以满意度评分的中位数约为86.67．
由频率分布直方图可知，平均数为
．
17．【答案】（1）解：由题意可知：
，由，得的最小正周期为π．
（2）解：由（1）知意，令，，即，．所以的单调递增区间为 ，．
（3）解：由题意，
又，所以，又，则，即．
又，即所以，即，故的值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，结合周期公式计算即可；
（2）由整体代入法求解即可；
（3）首先求得，即，进一步结合的取值范围即可得解. 围绕向量数量积与三角函数综合展开，解题关键在于利用向量数量积公式化简函数，再结合三角函数的周期、单调性及方程求解相关问题，通过向量运算得到三角函数表达式，运用三角恒等变换转化为标准正弦型函数，进而分析周期、单调区间，最后结合已知条件解方程求角度 .
（1）由题意可知：
，
由，
得的最小正周期为π．
（2）由（1）知意，
令，，
即，．
所以的单调递增区间为 ，．
（3）由题意
，
又，所以，
又，
则，即．
又，即
所以，即，
故的值为．
18．【答案】（1）解：因为，由余弦定理可得，解得．又因为，由正弦定理得，所以．
（2）解：由（1）可知：，，且，由余弦定理得，且，可得，所以的面积．
（3）解：由（1）可知：，，由余弦定理可得，且为锐角三角形，则，解得，因为，可得则，可得，所以的取值范围为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】围绕三角形的边与角关系，利用正、余弦定理及三角恒等变换、向量运算求解，对于（1），通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合已知等式用余弦定理化简求；
（2）用余弦定理求，进而得，结合三角形面积公式计算；
（3）先由余弦定理表示，根据锐角三角形确定范围，再用向量线性运算表示，结合模长公式及范围求取值范围 .
（1）因为，
由余弦定理可得，解得．
又因为，由正弦定理得，所以．
（2）由（1）可知：，，且，
由余弦定理得，
且，可得，
所以的面积．
（3）由（1）可知：，，
由余弦定理可得，
且为锐角三角形，
则，解得，
因为，可得
则，
可得，所以的取值范围为．
19．【答案】（1）证明：如图所示，
连接，交于G，连接，∵是正方体，∴是正方形，∴G为的中点，又∵为的中点，则，∵平面，平面，∴平面；
（2）解：如图所示，
过作交的延长线于，连结．∵平面，∴是在平面内的射影，∵平面，∴，∵∴平面，∵平面，∴，∴为二面角的平面角．设正方体的棱长为1．∵M是的中点，且，则在直角中，，，，，，∴二面角的正切值为．
（3）解：如图所示，
设为的中点，连接交于，设，∵ ，，，∴，∴，∴，即，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴平面，∵平面，∴，又∵平面，∴就是三棱锥的高∴，∵，且，∴，即，∵，∴
当且仅当，即时取等号，此时，解得，即.即三棱锥的体积的最小值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】围绕正方体中的线面平行、二面角、三棱锥体积最值展开，利用正方体的结构特征、线面平行判定定理、三垂线定理（或线面垂直性质）、二面角的平面角定义及三棱锥体积公式求解，对于（1）通过构造中位线找线线平行，进而证线面平行；（2）利用三垂线定理找二面角的平面角，再通过直角三角形计算正切值；
（3）先确定线线垂直关系，找到截面特征，将三棱锥体积转化为与动点相关的表达式，结合动点轨迹求最值 .
（1）如图所示，连接，交于G，连接，
∵是正方体，∴是正方形，∴G为的中点，
又∵为的中点，则，∵平面，平面，
∴平面；
（2）如图所示，过作交的延长线于，连结．
∵平面，∴是在平面内的射影，
∵平面，∴，∵
∴平面，∵平面，∴，
∴为二面角的平面角．
设正方体的棱长为1．
∵M是的中点，且，则在直角中，，，
，，，
∴二面角的正切值为．
（3）如图所示，设为的中点，连接交于，
设，
∵ ，，，
∴，∴，
∴，即，∴，
又∵平面，平面，∴，
又∵，∴平面，
∵平面，∴，
又∵平面，∴就是三棱锥的高
∴，
∵，且，∴，
即，∵，
∴
当且仅当，即时取等号，
此时
，解得，即.
即三棱锥的体积的最小值为.
1 / 1四川省凉山州2024-2025学年高一下学期期末统一检测数学试题
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高一下·凉山期末）已知复数满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以.所以复数的虚部为：.
故答案为：B
【分析】先把求复数的问题，通过复数的除法运算来处理，将从中解出来，再依据复数虚部的定义确定虚部 .要利用这个性质，把分母的消掉，转化为标准的复数形式（为实数 ）.
2．（2025高一下·凉山期末）某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．50
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为.
故答案为：C.
【分析】 先明确分层抽样的本质，它是按比例从不同层（选不同名著的学生群体 ）中抽取样本，要计算选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取人数，需先算出这两类学生在总体中的占比，再用抽取的总人数乘以该占比，关键在于确定“选《西游记》或《红楼梦》”的学生总数，以及理解分层抽样是按比例抽样的核心逻辑.
3．（2025高一下·凉山期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，，则，所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】先明确投影向量的计算方法，要得到向量在向量上的投影向量，需先算出的模长、与的数量积，再依据投影向量的定义，用数量积与模长平方的比值乘以来计算.核心是理解投影向量是与共线的向量，通过向量的坐标运算和投影向量定义来求解 .
4．（2025高一下·凉山期末）已知四棱锥的高为2，其底面水平放置时的斜二测画法直观图为平行四边形，如图所示，已知，，则四棱锥的体积为（ ）
A． B．4 C． D．12
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形为矩形，因为直观图中，，所以，，所以矩形的面积为，所以四棱锥的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据斜二测画法的规则，把直观图还原成底面的实际图形，确定其形状和尺寸，再算出底面积，最后用四棱锥体积公式（，是底面积，是高 ）求出体积，关键在于理解斜二测画法中直观图和实际图的边长转换关系，尤其是与轴平行的边的长度变化，从而准确还原底面形状并计算面积 .
5．（2025高一下·凉山期末）若点是的外心，，则（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算；三角形五心
【解析】【解答】解：取的中点，连接，因为点是的外心，所以，所以.因为
，因为，所以.
故答案为：D
【分析】解题思路是利用三角形外心的性质（外心是三角形外接圆的圆心，外心与边中点的连线垂直于该边 ），通过取AB中点M，将所求向量表达式进行转化，逐步化简，最终利用向量数量积运算求出结果，关键在于借助外心性质构建垂直关系，把复杂的向量乘积转化为与已知边AB相关的简单运算 .
6．（2025高一下·凉山期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小.因为，所以设，则由余弦定理可得，又因为，所以；因为，所以，所以三角形的最大角与最小角之和为.
故答案为：A
【分析】依据 “大边对大角，小边对小角” 确定最大角和最小角，再通过设边长的参数形式，利用余弦定理求出中间角的大小，最后根据三角形内角和为，求出最大角与最小角的和，关键在于利用边长比例关系设参数，借助余弦定理计算角度，再结合内角和定理推导结果 .
7．（2025高一下·凉山期末）若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：函数关于轴对称的函数的解析式为：，又，所以将向右平移个单位可得的图象.则的最小正值是
故答案为：B
【分析】找出与y = f(x)关于y轴对称的函数解析式，再通过对比平移前后函数的形式，依据三角函数图象平移规律（“左加右减” 针对x ），确定平移的单位，关键在于理解关于y轴对称的函数变换规则，以及三角函数图象平移时自变量的变化关系，从而建立起原函数与对称函数的联系，求出的最小正值 .
8．（2025高一下·凉山期末）已知圆锥的侧面面积为，母线长为，则圆锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：圆锥母线长，设圆锥底面圆半径为，则，解得，圆锥的高为，设圆锥的外接球的球心为，则在上，设半径为，则，，，即，解得，故圆锥的外接球的表面积为.
故答案为：B
【分析】利用圆锥侧面积公式求出底面半径，再算出圆锥的高，接着确定外接球的球心位置（在圆锥的高所在直线上 ），然后根据球心到圆锥顶点和底面圆周上点的距离相等（都等于外接球半径R ），通过勾股定理列方程求出R，最后用球的表面积公式算出结果，关键在于把握圆锥与外接球的几何关系，找到球心位置，利用半径相等建立方程求解 .
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．（2025高一下·凉山期末）已知中，点，，分别为，，的中点，则（ ）
A． B．
C．点A的坐标为 D．的面积为4
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；向量在几何中的应用；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】解：
因为，，所以，故A正确；
因为分别为，的中点，所以，故B错误；
设，，，则有，，，解得，故C正确；
由C可知，，所以的面积为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】用中点坐标公式、向量坐标运算以及三角形面积公式来逐一分析选项，先通过已知中点坐标求向量坐标判断 A、B；再设出三角形三个顶点坐标，依据中点坐标公式列方程组求出顶点坐标判断 C；最后通过分割法或直接法求三角形面积判断 D，关键在于熟练运用中点坐标与向量坐标的转换，以及准确计算三角形面积 .
10．（2025高一下·凉山期末）某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩（单位：厘米）为：145，155，132，135，140，130，136，则（ ）
A．该组数据的极差是35 B．该组数据的中位数是136
C．该组数据的40%分位数是135 D．该组数据的平均数为139
【答案】B,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：该组数据的最大值是155，最小值是130，所以极差是，故A错误；将该组数据从小到大排序依次为130，132，135，136，140，145，155，可知中位数是136，故B正确；因为，所以该组数据的40%分位数是第3个数据，即135，故C正确；因为，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】 根据极差、中位数、分位数、平均数的定义和计算方法，对题目中的数据进行处理和判断，先明确各个统计量的概念，再按照对应步骤计算，最后对比选项得出结论 .
11．（2025高一下·凉山期末）记，，则（ ）
A．的取值范围为 B．若，则
C．的最小值为 D．若，则b的最大值为1
【答案】A,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，的取值范围为，A选项正确；
，当时，的最小值为，C选项正确；因为，，所以平方和，则若，则，则，当时，所以不一定是0，B选项错误；若，则，则当时，b的最大值为1，D选项正确；
故答案为：ACD.
【分析】围绕a = sin x + cos y、b = cos x + sin y，利用三角函数的性质（值域、辅助角公式、同角关系等），分别对每个选项进行分析判断，通过将a、b相关表达式变形，结合三角函数的取值范围、和角公式等知识，推导各选项的正确性 .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·凉山期末）若复数满足，则的最大值为 ．
【答案】2
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：设复数，因为，所以，即，所以，所以，因为，所以，所以，所以时，最大为.
故答案为：2.
【分析】把复数问题转化为几何问题，利用复数的几何意义（复数对应复平面内的点，表示点到点的距离为，即圆心为，半径为的圆 ），要求的最大值，就是求圆上的点到原点的最大距离，根据圆的性质，最大距离是圆心到原点的距离加上半径，这样就可以通过几何方法快速求解，避免复杂的代数运算 .
13．（2025高一下·凉山期末）样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为 ．
【答案】4
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设第五个值为，则由该样本的平均数为2，可知，解得.则样本方差.
故答案为：4
【分析】 利用平均数的定义求出丢失的数据，再依据方差的计算公式算出样本方差，关键在于理解平均数是数据总和除以个数，方差是各数据与平均数差的平方和的平均数，通过这两个统计量的定义逐步计算 .
14．（2025高一下·凉山期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m．
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题设，在中，由正弦定理，得
∴m.
故答案为：.
【分析】根据三角形内角和求出的度数，再利用正弦定理建立边与角的关系，从而求出、两点间的距离，关键在于掌握三角形内角和为以及正弦定理（，其中为三角形的边，为对应的角 ），通过已知角和边，借助正弦定理求解未知边 .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·凉山期末）在边长为1的菱形中，，，设，．
（1）用，，表示，并求；
（2）若，，求实数的值．
【答案】（1）解：
因为，所以.因为，，所以，则，所以；
（2）解：
因为，所以，因为，所以，
所以，即，解得．
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）在中，根据向量加法的三角形法则表示，再根据向量模的求法计算即可；
（2）由，在中，根据向量加法的三角形法则表示出，再由，列出方程，即可求出实数的值.先根据三角形内角和求出的度数，再利用正弦定理建立边与角的关系，从而求出、两点间的距离，关键在于掌握三角形内角和为以及正弦定理（，其中为三角形的边，为对应的角 ），通过已知角和边，借助正弦定理求解未知边 .
（1）因为，所以。
因为，，所以，
则，
所以；
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，解得．
16．（2025高一下·凉山期末）某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求的值；
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）．
【答案】（1）解：由图知：，可得
（2）解：因为，所以中位数在区间内，令其为m，则，解得．所以满意度评分的中位数约为86.67．由频率分布直方图可知，平均数为．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据直方图中频率和为求参数即可；
（2）由中位数的定义，结合直方图求中位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出平均数.围绕频率分布直方图展开，解题关键在于理解频率分布直方图的性质：所有矩形面积之和（即频率之和）为1，利用此性质求解未知参数x；对于中位数，要找到使得左右两边频率和均为0.5的分界点；平均数则是每组中点值乘以对应频率后求和，通过这些统计量的定义和性质来计算 .
（1）由图知：，
可得
（2）因为
所以中位数在区间内，令其为m，
则，解得．
所以满意度评分的中位数约为86.67．
由频率分布直方图可知，平均数为
．
17．（2025高一下·凉山期末）已知向量，，设函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）设，且，，求的值．
【答案】（1）解：由题意可知：
，由，得的最小正周期为π．
（2）解：由（1）知意，令，，即，．所以的单调递增区间为 ，．
（3）解：由题意，
又，所以，又，则，即．
又，即所以，即，故的值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，结合周期公式计算即可；
（2）由整体代入法求解即可；
（3）首先求得，即，进一步结合的取值范围即可得解. 围绕向量数量积与三角函数综合展开，解题关键在于利用向量数量积公式化简函数，再结合三角函数的周期、单调性及方程求解相关问题，通过向量运算得到三角函数表达式，运用三角恒等变换转化为标准正弦型函数，进而分析周期、单调区间，最后结合已知条件解方程求角度 .
（1）由题意可知：
，
由，
得的最小正周期为π．
（2）由（1）知意，
令，，
即，．
所以的单调递增区间为 ，．
（3）由题意
，
又，所以，
又，
则，即．
又，即
所以，即，
故的值为．
18．（2025高一下·凉山期末）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，．
（1）求b；
（2）若，求的面积；
（3）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，由余弦定理可得，解得．又因为，由正弦定理得，所以．
（2）解：由（1）可知：，，且，由余弦定理得，且，可得，所以的面积．
（3）解：由（1）可知：，，由余弦定理可得，且为锐角三角形，则，解得，因为，可得则，可得，所以的取值范围为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】围绕三角形的边与角关系，利用正、余弦定理及三角恒等变换、向量运算求解，对于（1），通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合已知等式用余弦定理化简求；
（2）用余弦定理求，进而得，结合三角形面积公式计算；
（3）先由余弦定理表示，根据锐角三角形确定范围，再用向量线性运算表示，结合模长公式及范围求取值范围 .
（1）因为，
由余弦定理可得，解得．
又因为，由正弦定理得，所以．
（2）由（1）可知：，，且，
由余弦定理得，
且，可得，
所以的面积．
（3）由（1）可知：，，
由余弦定理可得，
且为锐角三角形，
则，解得，
因为，可得
则，
可得，所以的取值范围为．
19．（2025高一下·凉山期末）如图1，图2，在正方体中，M为的中点．
（1）图1中求证：平面；
（2）图1中求二面角的正切值；
（3）图2中，已知，为的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，求三棱锥的体积的最小值．
【答案】（1）证明：如图所示，
连接，交于G，连接，∵是正方体，∴是正方形，∴G为的中点，又∵为的中点，则，∵平面，平面，∴平面；
（2）解：如图所示，
过作交的延长线于，连结．∵平面，∴是在平面内的射影，∵平面，∴，∵∴平面，∵平面，∴，∴为二面角的平面角．设正方体的棱长为1．∵M是的中点，且，则在直角中，，，，，，∴二面角的正切值为．
（3）解：如图所示，
设为的中点，连接交于，设，∵ ，，，∴，∴，∴，即，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴平面，∵平面，∴，又∵平面，∴就是三棱锥的高∴，∵，且，∴，即，∵，∴
当且仅当，即时取等号，此时，解得，即.即三棱锥的体积的最小值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】围绕正方体中的线面平行、二面角、三棱锥体积最值展开，利用正方体的结构特征、线面平行判定定理、三垂线定理（或线面垂直性质）、二面角的平面角定义及三棱锥体积公式求解，对于（1）通过构造中位线找线线平行，进而证线面平行；（2）利用三垂线定理找二面角的平面角，再通过直角三角形计算正切值；
（3）先确定线线垂直关系，找到截面特征，将三棱锥体积转化为与动点相关的表达式，结合动点轨迹求最值 .
（1）如图所示，连接，交于G，连接，
∵是正方体，∴是正方形，∴G为的中点，
又∵为的中点，则，∵平面，平面，
∴平面；
（2）如图所示，过作交的延长线于，连结．
∵平面，∴是在平面内的射影，
∵平面，∴，∵
∴平面，∵平面，∴，
∴为二面角的平面角．
设正方体的棱长为1．
∵M是的中点，且，则在直角中，，，
，，，
∴二面角的正切值为．
（3）如图所示，设为的中点，连接交于，
设，
∵ ，，，
∴，∴，
∴，即，∴，
又∵平面，平面，∴，
又∵，∴平面，
∵平面，∴，
又∵平面，∴就是三棱锥的高
∴，
∵，且，∴，
即，∵，
∴
当且仅当，即时取等号，
此时
，解得，即.
即三棱锥的体积的最小值为.
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