第6章 空间向量与立体几何
6.1.1 空间向量的线性运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算(概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.类比平面向量,理解空间向量的定义及表示方法,掌握几种特殊的空间向量.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.
逐点清(一) 空间向量的概念
[多维度理解]
1.空间向量的定义及表示
定义 在空间,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有 又有 的量,叫作空间向量
长度或模 空间向量的大小叫作空间向量的 或
表示 方法 几何表示 与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示
符号 表示 表示空间向量的有向线段,若以A为起点,B为终点,则记作,其模记作||
空间向量常用一个小写字母表示.如:向量a,b,其模分别记为|a|,|b|
2.几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量
1
相反向量 a的相反向量: 的相反向量:
相等向量 相等 a=b
微点助解 理解空间向量相关概念的注意点
(1)单位向量、零向量都明确规定了向量的模,需注意单位向量有无数个,它们的方向并不确定,因此,它们不一定相等;零向量的方向任意,但规定所有的零向量都相等.
(2)在平面内,若以两个同向向量为对边可构成平行四边形,则这两个向量相等.在空间中,这个结论同样成立.
(3)和平面向量一样,若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,但起点、终点未必相同.
[细微点练明]
1.[多选]下列命题为真命题的是 ( )
A.空间向量就是空间中的一条有向线段
B.所有的零向量相等
C.任一向量与它的相反向量不相等
D.向量与向量的长度相等
2.下列关于空间向量的说法正确的是 ( )
A.单位向量都相等
B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量,满足||>||,则>
D.相等向量其方向必相同
3.如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,
(1)试写出与相等的所有向量;
(2)试写出的相反向量;
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.
逐点清(二) 空间向量及其线性运算
[多维度理解]
1.空间向量的加法、减法与数乘运算
名称 运算法则 特点 图示
加法 运算 三角形法则 首尾相接首尾连(通过平移)
平行四边形法则 起点相同(共起点)(通过平移)
减法 运算 平行四边形法则 起点相同连终点,被减向量定指向
数乘运算 实数λ的作用:正负定方向,数值定模比
2.空间向量的加法和数乘的运算律
(1)加法交换律:a+b= .
(2)加法结合律:(a+b)+c= .
(3)数乘分配律:λ(a+b)= .
[细微点练明]
1.在三棱锥O-ABC中,+-等于 ( )
A. B.
C. D.
2.在四面体ABCD中,E为棱BC的中点,则-(+)= ( )
A.- B.-
C. D.
3.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简得到的向量:
(1)++;
(2)-+;
(3)++(-).
逐点清(三) 共线向量及共线向量定理
[多维度理解]
1.共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行,记作 .
规定零向量与任意向量 .
2.共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使 .
[细微点练明]
1.[多选]下列说法错误的是 ( )
A.在平面内共线的向量在空间内不一定共线
B.在空间内共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间内一定不共线
D.在空间内共线的向量在平面内一定共线
2.与共线是直线AB∥CD的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知空间四边形ABCD,点E,F分别是AB与AD边上的点,M,N分别是BC与CD边上的点,若=λ,=λ,=μ,=μ,则向量与满足的关系为 ( )
A.= B.∥
C.||=|| D.||≠||
4.设向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
第1课时 空间向量的概念及线性运算
[逐点清(一)]
[多维度理解] 1.大小 方向 长度 模
2.相反 相等 -a 相同
[细微点练明]
1.BD 2.D
3.解:(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及,共3个.
(2)向量的相反向量为,,,.
(3)||=
==3.
[逐点清(二)]
[多维度理解] 2.(1)b+a
(2)a+(b+c) (3)λa+λb(λ∈R)
[细微点练明]
1.选C +-=-=+=,故选C.
2.选A -(+)=-(2)=-==-.
3.解:(1)++=++=.向量如图(1)所示.
(2)-+=-(-)=-=.向量如图(2)所示.
(3)++(-)=+(+)=+,设M是线段CB'的中点,则++(-)=+=.向量如图(3)所示.
[逐点清(三)]
[多维度理解] 1.互相平行 重合 a∥b 共线 2.b=λa
[细微点练明]
1.选ABC 在平面内共线的向量在空间内一定共线,故A、C错误;在空间内共线的向量,平移到同一平面内一定共线,故B错误,D正确.
2.选B 若与共线,则∥,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线,所以充分性不成立;而若AB∥CD,则必有与共线,必要性成立.
3.选B 由=λ,=λ,得=-=λ(-)=λ,所以,共线.同理,由=μ,=μ,得=μ,所以,共线,所以,共线,即∥.故选B.
4.选C 由=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,因为A,C,D三点共线,所以∥,则存在唯一实数μ,使得=μ,则解得
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空间向量的线性运算
6.1.1
空间向量的概念及线性运算
(概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.类比平面向量,理解空间向量的定义及表示方法,掌握几种特殊的空间向量.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 空间向量的概念
逐点清(二) 空间向量及其线性运算
逐点清(三) 共线向量及共线向量定理
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 空间向量的概念
01
多维度理解
1.空间向量的定义及表示
定义 在空间,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有_____又有______的量,叫作空间向量
长度或模 空间向量的大小叫作空间向量的_____或____
表示方法 几何表示 与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示
大小
方向
长度
模
续表
表示 方法 符号表示 表示空间向量的有向线段,若以A为起点,B为终点,则记作,其模记作||
空间向量常用一个小写字母表示.如:向量a,b,其模分别记为|a|,|b|
2.几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量 1
相反向量 _____ _____ a的相反向量:____
的相反向量:
相等向量 _____ 相等 a=b
相反
相等
-a
相同
微点助解 理解空间向量相关概念的注意点
(1)单位向量、零向量都明确规定了向量的模,需注意单位向量有无数个,它们的方向并不确定,因此,它们不一定相等;零向量的方向任意,但规定所有的零向量都相等.
(2)在平面内,若以两个同向向量为对边可构成平行四边形,则这两个向量相等.在空间中,这个结论同样成立.
(3)和平面向量一样,若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,但起点、终点未必相同.
1.[多选]下列命题为真命题的是 ( )
A.空间向量就是空间中的一条有向线段
B.所有的零向量相等
C.任一向量与它的相反向量不相等
D.向量与向量的长度相等
√
细微点练明
√
解析:有向线段是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来,故A错误;
零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的,故B正确,C错误;
与仅是方向相反,它们的长度是相等的,故D正确.
2.下列关于空间向量的说法正确的是 ( )
A.单位向量都相等
B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量,满足||>||,则>
D.相等向量其方向必相同
√
解析:单位向量长度相等,方向不确定,故A错误;
|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定,故B错误;
向量作为矢量不能比较大小,故C错误;
相等向量方向相同,大小相等,故D正确.
3.如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,
(1)试写出与相等的所有向量;
解:与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及,共3个.
(2)试写出的相反向量;
解: 向量的相反向量为,,,.
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.
解: ||===3.
逐点清(二) 空间向量及其
线性运算
02
多维度理解
1.空间向量的加法、减法与数乘运算
名称 运算法则 特点 图示
加法 运算 三角形法则 首尾相接首尾连(通过平移)
平行四边 形法则 起点相同(共起点)(通过平移)
续表
减法 运算 平行四边形法则 起点相同连终点,被减向量定指向
数乘 运算 实数λ的作用:正负定方向,数值定模比
2.空间向量的加法和数乘的运算律
(1)加法交换律:a+b=______.
(2)加法结合律:(a+b)+c=________.
(3)数乘分配律:λ(a+b)=_____________.
b+a
a+(b+c)
λa+λb(λ∈R)
1.在三棱锥O-ABC中,+-等于( )
A. B.
C. D.
解析:+-=-=+=,故选C.
√
细微点练明
2.在四面体ABCD中,E为棱BC的中点,则-(+)=( )
A.- B.-
C. D.
解析:-(+)=-(2)=-==-.
√
3.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简得到的向量:
(1)++;
解:++=++=.向量如图(1)所示.
(2)-+;
解: -+=-(-)=-=.向量如图(2)所示.
(3)++(-).
解: ++(-)=+(+)=+,设M是线段CB'的中点,则++(-)=+=.向量如图(3)所示.
逐点清(三) 共线向量及共线
向量定理
03
多维度理解
1.共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线_________或_____,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行,记作______.
规定零向量与任意向量______.
2.共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使______.
互相平行
重合
a∥b
共线
b=λa
1.[多选]下列说法错误的是 ( )
A.在平面内共线的向量在空间内不一定共线
B.在空间内共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间内一定不共线
D.在空间内共线的向量在平面内一定共线
√
细微点练明
√
√
解析:在平面内共线的向量在空间内一定共线,故A、C错误;
在空间内共线的向量,平移到同一平面内一定共线,故B错误,D正确.
2.与共线是直线AB∥CD的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若与共线,则∥,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线,所以充分性不成立;而若AB∥CD,则必有与共线,必要性成立.
√
3.已知空间四边形ABCD,点E,F分别是AB与AD边上的点,M,N分别是BC与CD边上的点,若=λ,=λ,=μ,=μ,则向量与满足的关系为( )
A.= B.∥
C.||=|| D.||≠||
√
解析:由=λ,=λ,得=-=λ(-)=λ,所以,共线.同理,由=μ,=μ,得=μ,所以,共线,所以,共线,即∥.故选B.
4.设向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+
8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
√
解析:由=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,因为A,C,D三点共线,所以∥,则存在唯一实数μ,使得=μ,
则解得
课时跟踪检测
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1.下列命题中,假命题是 ( )
A.任意两个空间向量的模能比较大小
B.两个共线向量,它们的方向相同或相反
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
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解析:空间向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小;共线向量的方向相同或相反;零向量的模等于0;单位向量模相等,方向不一定相同.
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2.化简(a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)为( )
A.2a+b-2c B.2a+b-2c
C.2a-b-2c D.2a-b-2c
解析:原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c.故选B.
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3.下列说法正确的是 ( )
A.空间中共线的向量必在同一条直线上
B.不相等的两个空间向量的模必不相等
C.数乘运算中,λ既决定大小又决定方向
D.在四边形ABCD中,一定有+=
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解析:空间中共线的向量不一定在同一条直线上,有可能两向量所在的直线平行,所以A错误;
两个向量不相等,有可能方向不同,模相等,所以B错误;
向量数乘运算中,λ既决定大小又决定方向,所以C正确;
在平行四边形ABCD中,才有+=,所以D错误.
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4.对于空间中的非零向量,,,其中一定不成立的是( )
A.+= B.-=
C.||+||=|| D.||-||=||
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解析:对于A,+=恒成立;
对于C,当,方向相同时,有||+||=||;
对于D,当,方向相同且||≥||时,有||-||=||;
对于B,由向量减法可知-=,又为非零向量,所以B一定不成立.
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5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列四对向量:①与;②与;③与;④与.其中互为相反向量的有n对,则n等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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解析:对于①与,
③与中的两向量,长度相等,方向相反,均互为相反向量;
对于②与长度相等,方向不相反;
对于④与长度相等,方向相同.故互为相反向量的有2对.
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6.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是( )
A.空间四边形 B.平行四边形
C.等腰梯形 D.矩形
解析:由已知可得=,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,无法判断其是不是矩形.故选B
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7.[多选]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,则 ( )
A.-= B.-=2
C.= D.=
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解析:-=+=,A正确,B不正确.
=,C正确,D不正确.
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8.[多选]若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是( )
A.=-a-b B.=a+b
C.=-a+b D.=a
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解析:∵=a,=b,∴=+=-+=--=-a-b,故A正确;
=+=+=a+b,故B正确;
∵=+=-b-a,∴=+=+=b+(-b-a)=-a+b,故C正确;
==-a,故D错误.
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9.[多选]已知四面体ABCD,E,F分别是BC,CD的中点,则=( )
A.(-) B.(-)
C.-(+) D.+(+)
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解析:对于A,因为E,F分别是BC,CD的中点,所以==(-),正确;
对于B,==(+)=(-),错误;
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对于C,=-=-(+),正确;
对于D,=-(+)=+-(+)=+(+)-(+),错误.
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10.已知m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c),若m∥n,则=( )
A.-3 B.-
C.3 D.
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解析:由题意知m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x-y)b
+(3-y)c.因为m∥n,所以存在实数λ,使n=λm,所以(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c
=λ(a+2b-3c),所以即解得x=-,y=-,所以=3.故选C.
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11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,-+=______.
解析:-+=+-=+=.
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12.已知在四面体O-ABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC中点,设=a,=b,=c,则等于______________.
解析:如图可知=+=-+(+)=-a+b+c.
-a+b+c
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13.已知空间向量c,d不共线,设向量a=kc+d,b=c-k2d,且a与b共线,则实数k的值为______.
解析:因为c,d不共线,所以c≠0,且d≠0.
由a与b共线知,存在λ∈R使a=λb成立,
即kc+d=λ(c-k2d),整理得(k-λ)c+(1+λk2)d=0,
所以解得k=λ=-1.
-1
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14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的向量,写出:
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(1)的相等向量,的相反向量;
解:根据正方体棱与棱之间的关系,的相等向量有,,;
的相反向量有,.
(2)用另外两个向量的和或差表示;
解:用“首尾规则”求解,如果只在含的三角形中考虑,有
=+,=+,=-,=-.(答案不唯一)
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(3)用三个或三个以上向量的和表示.
解:用“首尾规则”求解,则=++,=
++++.(答案不唯一)
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15.如图,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线.
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解:因为M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
所以=++=++.又=+++=
-+--,所以++=-+--.所以=+2+=2(++)=2,即与共线.课时跟踪检测(一) 空间向量的概念及线性运算
1.下列命题中,假命题是 ( )
A.任意两个空间向量的模能比较大小
B.两个共线向量,它们的方向相同或相反
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
2.化简(a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)为 ( )
A.2a+b-2c B.2a+b-2c
C.2a-b-2c D.2a-b-2c
3.下列说法正确的是 ( )
A.空间中共线的向量必在同一条直线上
B.不相等的两个空间向量的模必不相等
C.数乘运算中,λ既决定大小又决定方向
D.在四边形ABCD中,一定有+=
4.对于空间中的非零向量,,,其中一定不成立的是 ( )
A.+= B.-=
C.||+||=|| D.||-||=||
5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列四对向量:①与;②与;③与;④与.其中互为相反向量的有n对,则n等于 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是 ( )
A.空间四边形 B.平行四边形
C.等腰梯形 D.矩形
7.[多选]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,则 ( )
A.-=
B.-=2
C.=
D.=
8.[多选]若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是 ( )
A.=-a-b B.=a+b
C.=-a+b D.=a
9.[多选]已知四面体ABCD,E,F分别是BC,CD的中点,则= ( )
A.(-) B.(-)
C.-(+) D.+(+)
10.已知m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c),若m∥n,则= ( )
A.-3 B.-
C.3 D.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,-+= .
12.已知在四面体O-ABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC中点,设=a,=b,=c,则等于 .
13.已知空间向量c,d不共线,设向量a=kc+d,b=c-k2d,且a与b共线,则实数k的值为 .
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的向量,写出:
(1)的相等向量,的相反向量;
(2)用另外两个向量的和或差表示;
(3)用三个或三个以上向量的和表示.
15.如图,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线.
课时跟踪检测(一)
1.选D 空间向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小;共线向量的方向相同或相反;零向量的模等于0;单位向量模相等,方向不一定相同.
2.选B 原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c.故选B.
3.选C 空间中共线的向量不一定在同一条直线上,有可能两向量所在的直线平行,所以A错误;两个向量不相等,有可能方向不同,模相等,所以B错误;向量数乘运算中,λ既决定大小又决定方向,所以C正确;在平行四边形ABCD中,才有+=,所以D错误.
4.选B 对于A,+=恒成立;对于C,当,方向相同时,有||+||=||;对于D,当,方向相同且||≥||时,有||-||=||;对于B,由向量减法可知-=,又为非零向量,所以B一定不成立.
5.选B 对于①与,③与中的两向量,长度相等,方向相反,均互为相反向量;对于②与长度相等,方向不相反;对于④与长度相等,方向相同.故互为相反向量的有2对.
6.选B 由已知可得=,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,无法判断其是不是矩形.故选B.
7.选AC -=+=,A正确,B不正确.=,C正确,D不正确.
8.选ABC ∵=a,=b,∴=+=-+=--=-a-b,故A正确;=+=+=a+b,故B正确;∵=+=-b-a,∴=+=+=b+(-b-a)=-a+b,故C正确;==-a,故D错误.
9.选AC 对于A,因为E,F分别是BC,CD的中点,所以==(-),正确;对于B,==(+)=(-),错误;对于C,=-=-(+),正确;对于D,=-(+)=+-(+)=+(+)-(+),错误.
10.选C 由题意知m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c.因为m∥n,所以存在实数λ,使n=λm,所以(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c=λ(a+2b-3c),所以即解得x=-,y=-,所以=3.故选C.
11.解析:-+=+-=+=.
答案:
12.解析:如图可知=+=-+(+)=-a+b+c.
答案:-a+b+c
13.解析:因为c,d不共线,所以c≠0,且d≠0.
由a与b共线知,存在λ∈R使a=λb成立,即kc+d=λ(c-k2d),
整理得(k-λ)c+(1+λk2)d=0,
所以解得k=λ=-1.
答案:-1
14.解:(1)根据正方体棱与棱之间的关系,的相等向量有,,;的相反向量有,.
(2)用“首尾规则”求解,如果只在含的三角形中考虑,有=+,=+,=-,=-.(答案不唯一)
(3)用“首尾规则”求解,则=++,=++++.(答案不唯一)
15.解:因为M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
所以=++=++.又=+++=-+--,所以++=-+--.所以=+2+=2(++)=2,即与共线.
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