第2课时 空间向量的线性运算与共线向量定理
(深化课——题型研究式教学)
课时目标
进一步学习空间向量的线性运算,掌握空间向量的线性表示及向量共线的充要条件,会证明空间三点共线.
题型(一) 空间向量的线性表示
[例1] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,N,P分别是BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
(2).
听课记录:
[变式拓展]
1.本例增加条件“M是AA1的中点”,试用a,b,c表示+.
2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上,且=”,其他条件不变,如何用a,b,c表示
[思维建模] 空间向量线性运算的解题技巧
数形结合 利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量
明确目标 在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质
[针对训练]
1.若空间中四点A,B,C,D满足4+=4,则= ( )
A. B.3
C. D.
2.[多选]已知三棱锥O-ABC,E,F分别是OA,BC的中点,P为线段EF上一点,且PF=2EP,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是 ( )
A.=b+c
B.=-a+b+c
C.=-a+b+c
D.=a+b+c
题型(二) 向量共线与三点共线问题
[例2] (1)设向量e1,e2,e3不共面,已知=-3e1-e2+2e3,=e1+λe2-6e3,=4e1+2e2+8e3,若A,C,D三点共线,则λ= ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
听课记录:
[变式拓展]
本例变为:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为A1C上一点,且=,BD与AC交于点M.求证:C1,F,M三点共线.
[思维建模] 向量共线的判定及应用
(1)利用向量共线证明线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.
(2)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
(3)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:①存在实数λ,使=λ,②对于空间任一点O,=+t(t∈R),③对于空间任一点O,=x+y(x+y=1).
[针对训练]
3.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且=,=.
求证:四边形EFGH是梯形.
题型(三) 空间共线向量定理的推论及应用
[例3] 已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点(O,A,B三点不共线),且存在实数α,β,使=α+β,求α+β的值.
听课记录:
[思维建模]
空间共线向量定理的推论:在空间中,若A,B,P三点共线,O为空间任意一点,且O,A,B三点不共线,则=x+y(x+y=1).
[针对训练]
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在体对角线D1B上,且D1E=EB,点F在棱D1C1上,若A,E,F三点共线,则D1F= FC1.
5.在空间四边形ABCD中,=3,=-++λ,则λ= .
第2课时 空间向量的线性运算与共线向量定理
[题型(一)]
[例1] 解:(1)∵P是C1D1的中点,∴=++=a++=a+c+=a+c+b.
(2)∵N是BC的中点,∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
[变式拓展]
1.解:∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+=a+b+c.
又=+=+=+=c+a,
∴+=+=a+b+c.
2.解:=+=++=a+c+b.
[针对训练]
1.选A ∵4+=4,∴=4(-)=4,∴+=4,即=3,则=.
2.选ABD 如图,因为F为BC的中点,所以=+=b+c,故A正确;
===-=-×=-a+b+c,故B正确;
=-2=-2=a-b-c,故C错误;
=+=+=a+b+c,故D正确.
[题型(二)]
[例2] 解析:(1)选A 由题意得=+=-2e1+(λ-1)e2-4e3.因为A,C,D三点共线,所以存在唯一的y,使得=y,即4e1+2e2+8e3=y[-2e1+(λ-1)e2-4e3],所以解得
(2)证明:如图,连接EF,FB,∵=-=-=(++)-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,∴∥,又EF∩FB=F,∴E,F,B三点共线.
[变式拓展]
证明:连接MF,MC1(图略).设=a,=b,AA1=c,则=+=+=(+)+(+)=++(++)=++=a+b+c,=+=+=(+)+=a+b+c,∴=3.又直线MC1与直线MF有公共点M,∴C1,F,M三点共线.
[针对训练]
3.证明:∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴=,=,
则=-=-
=(-)==(-)
==(-)=,
∴∥且||=||≠||.
又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.
[题型(三)]
[例3] 解:因为A,B,P三点共线,所以存在m∈R使得=m,即-=m(-),所以=(1+m)-m.
又因为=α+β,所以α+β=(1+m)-m=1.
[针对训练]
4.解析:在正方体中,=+=+,设D1F=λFC1,因为D1E=EB,所以4=+,即=+.因为A,E,F三点共线,所以+=1,解得λ=,即D1F=FC1.
答案:
5.解析:∵=-++λ,∴+=+λ,即=+λ.又=3,∴B,C,M三点共线,∴+λ=1,解得λ=.
答案:
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空间向量的线性运算与共线向量定理
(深化课——题型研究式教学)
第2课时
课时目标
进一步学习空间向量的线性运算,掌握空间向量的线性表示及向量共线的充要条件,会证明空间三点共线.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 空间向量的线性表示
题型(二) 向量共线与三点共线问题
题型(三) 空间共线向量定理的 推论及应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 空间向量的线性表示
[例1] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,
=c,N,P分别是BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
解:∵P是C1D1的中点,∴=++=a++=
a+c+=a+c+b.
(2).
解: ∵N是BC的中点,∴=++=-a+b+=-a+b+=
-a+b+c.
[变式拓展]
1.本例增加条件“M是AA1的中点”,试用a,b,c表示+.
解:∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+=
a+b+c.又=+=+=+=c+a,
∴+=+=a+b+c.
2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上,且=”,其他条件不变,如何用a,b,c表示
解:=+=++=a+c+b.
[思维建模] 空间向量线性运算的解题技巧
数形结合 利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量
明确目标 在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质
针对训练
[针对训练]
1.若空间中四点A,B,C,D满足4+=4,则=( )
A. B.3
C. D.
√
解析:∵4+=4,∴=4(-)=4,∴+=4,即=3,则=.
2.[多选]已知三棱锥O-ABC,E,F分别是OA,BC的中点,P为线段EF上一点,且PF=2EP,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是( )
A.=b+c B.=-a+b+c
C.=-a+b+c D.=a+b+c
√
√
√
解析:如图,因为F为BC的中点,所以=+=b+c,故A正确;
===-=-×=-a+b+c,故B正确;
=-2=-2=a-b-c,故C错误;
=+=+=a+b+c,故D正确.
题型(二) 向量共线与三点共线问题
[例2] (1)设向量e1,e2,e3不共面,已知=-3e1-e2+2e3,=e1+λe2-6e3,=4e1+2e2+8e3,若A,C,D三点共线,则λ=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
√
解析:由题意得=+=-2e1+(λ-1)e2-4e3.因为A,C,D三点共线,
所以存在唯一的y,使得=y,即4e1+2e2+8e3=y[-2e1+(λ-1)e2-4e3],
所以解得
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
解析: 证明:如图,连接EF,FB,
∵=-=-=(++)-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,∴∥,又EF∩FB=F,∴E,F,B三点共线.
[变式拓展]
本例变为:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为A1C上一点,且=
,BD与AC交于点M.求证:C1,F,M三点共线.
证明:连接MF,MC1(图略).设=a,=b,AA1=c,则=+=+=(+)+(+)=++(++)=++=a+b+c,=+=+=
(+)+=a+b+c,∴=3.又直线MC1与直线MF有公共点M,∴C1,F,M三点共线.
[思维建模] 向量共线的判定及应用
(1)利用向量共线证明线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.
(2)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
(3)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:
①存在实数λ,使=λ,
②对于空间任一点O,=+t(t∈R),
③对于空间任一点O,=x+y(x+y=1).
3.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且 = , = .
求证:四边形EFGH是梯形.
证明:∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴ = , = ,则 = - = - =( - )=
=( - )= =( - )= ,
∴ ∥ 且| |=| |≠| |.
又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.
题型(三) 空间共线向量定理的推论及应用
[例3] 已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点(O,A,B三点不共线),且存在实数α,β,使=α+β,求α+β的值.
解:因为A,B,P三点共线,所以存在m∈R使得=m,即-=m(-),所以=(1+m)-m.
又因为=α+β,所以α+β=(1+m)-m=1.
[思维建模]
空间共线向量定理的推论:在空间中,若A,B,P三点共线,O为空间任意一点,且O,A,B三点不共线,则=x+y(x+y=1).
针对训练
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在体对角线D1B上,且D1E=EB,点F在棱D1C1上,若A,E,F三点共线,则D1F=____FC1.
解析:在正方体中,=+=+,设D1F=λFC1,因为D1E=EB,所以4=+,即=+.因为A,E,F三点共线,所以+=1,解得λ=,即D1F=FC1.
5.在空间四边形ABCD中,=3,=-++λ,则λ=_____.
解析:∵=-++λ,
∴+=+λ,即=+λ.
又=3,∴B,C,M三点共线,
∴+λ=1,解得λ=.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于( )
A. B.3
C.3 D.2
解析:-+=-(-)=-=+=+2=3.
√
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2.已知非零向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
解析:∵=+=2a+4b=2,∴A,B,D三点共线.
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3.在空间四边形OABC中,若E,F分别是AB,BC的中点,H是EF上的点,且=,记=x+y+z,则x,y,z的值分别为( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
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解析:连接OE,OF(图略),因为=,E,F分别是AB,BC的中点,所以=+=+=+(-)=+=×(+)
+×(+)=++,故x=,y=,z=.
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4.已知A,B,C三点共线,O为空间任一点,则①=2+μ;②存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为( )
A.1,-1 B.-1,0
C.0,1 D.0,0
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解析:∵A,B,C三点共线,=2+μ,∴2+μ=1,解得μ=-1.
由λ+m+n=0,得=--,
由A,B,C三点共线知,--=1,则λ+m+n=0.
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5.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥P-ABCD为阳马,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若=x+y+z,则x+y+z=( )
A.1 B.2 C. D.
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解析:∵EC=2PE,∴=,∴=-=+-
=+-=+(-)-=+-=+-=+-(-)=-+,
∴x=1,y=-,z=,∴x+y+z=1.
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6.设e1,e2是不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为_____.
解析:因为=-=e1-4e2,A,B,D三点共线,所以由向量共线的充要条件,设=λ,即2e1+ke2=λ(e1-4e2),所以解得λ=2,k=-8.
-8
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7.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则和+的关系是_______(填“平行”“相等”或“相反”).
解析:设G是AC的中点,连接EG,FG(图略),则=+=+
=(+),所以2=+,从而∥(+).
平行
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8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AA1的中点,已知=a,=b,
=c,则=_________.(用a,b,c表示)
解析:∵=++=--+,又M是AA1的中点,
∴=,∴=--+=-a-b+c.
-a-b+c
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9.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中点,N是BD的中点,判断与是否共线.
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解:连接AC,如图,∵N是BD的中点,四边形ABCD为平行四边形,
∴N为AC的中点.又M是AD1的中点,∴=-=-=(-)=,∴与共线.
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10.如图,设O为 ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若
=+x+y,求x,y的值.
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解:∵=++=-+--=-+
=-+(+)=-+(+)=-++(-)
=+-,又=+x+y,∴x=,y=-.
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B级——应用创新
11.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( )
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.以上都不对
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解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,则-=n(-),即=n,所以与共线.又,有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈直线AB.
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12.[多选]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,P是CA1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,设=a,=b,=c,则下列结论正确的是( )
A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c)
C.=a+b+c D.=a+b+c
√
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解析:因为P是CA1的中点,所以=(+)=(++)=
(a+b+c),故A正确,B错误;
因为点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,所以=+=
+=+(-)=+=(+)+
=a+b+c,故C错误,D正确.
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13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在体对角线D1B上,且||=||,点F在棱D1C1上,若A,E,F三点共线,则||=_____||.
解析:设||=λ||,因为=+=+,||=||,所以4=+,即=+.因为A,E,F三点共线,所以+=1,解得λ=,即||=||.
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14.利用空间向量的知识证明平行六面体的体对角线交于一点,并且在交点处互相平分.
证明:如图所示,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,设点O是AC'的中点,则==(++).
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设P,M,N分别是BD',CA',DB'的中点,
则=+=+=+(++)=+(-+
+)=(++).同理可得=(++),=(++).由此可知O,P,M,N四点重合.
故平行六面体的体对角线相交于一点,且在交点处互相平分.课时跟踪检测(二) 空间向量的线性运算与共线向量定理
A级——综合提能
1.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于 ( )
A. B.3
C.3 D.2
2.已知非零向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是 ( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
3.在空间四边形OABC中,若E,F分别是AB,BC的中点,H是EF上的点,且=,记=x+y+z,则x,y,z的值分别为 ( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
4.已知A,B,C三点共线,O为空间任一点,则①=2+μ;②存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为 ( )
A.1,-1 B.-1,0
C.0,1 D.0,0
5.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥P-ABCD为阳马,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若=x+y+z,则x+y+z= ( )
A.1 B.2
C. D.
6.设e1,e2是不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为 .
7.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则和+的关系是 (填“平行”“相等”或“相反”).
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AA1的中点,已知=a,=b,=c,则= .(用a,b,c表示)
9.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中点,N是BD的中点,判断与是否共线.
10.如图,设O为 ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若=+x+y,求x,y的值.
B级——应用创新
11.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则 ( )
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.以上都不对
12.[多选]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,P是CA1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,设=a,=b,=c,则下列结论正确的是 ( )
A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c)
C.=a+b+c D.=a+b+c
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在体对角线D1B上,且||=||,点F在棱D1C1上,若A,E,F三点共线,则||= ||.
14.利用空间向量的知识证明平行六面体的体对角线交于一点,并且在交点处互相平分.
课时跟踪检测(二)
1.选B -+=-(-)=-=+=+2=3.
2.选A ∵=+=2a+4b=2,∴A,B,D三点共线.
3.选A 连接OE,OF(图略),因为=,E,F分别是AB,BC的中点,所以=+=+=+(-)=+=×(+)+×(+)=++,故x=,y=,z=.
4.选B ∵A,B,C三点共线,=2+μ,∴2+μ=1,解得μ=-1.由λ+m+n=0,得=--,由A,B,C三点共线知,--=1,则λ+m+n=0.
5.选A ∵EC=2PE,∴=,
∴=-=+-=+-=+(-)-=+-=+-=+-(-)=-+,∴x=1,y=-,z=,∴x+y+z=1.
6.解析:因为=-=e1-4e2,A,B,D三点共线,所以由向量共线的充要条件,设=λ,即2e1+ke2=λ(e1-4e2),所以解得λ=2,k=-8.
答案:-8
7.解析:设G是AC的中点,连接EG,FG(图略),则=+=+=(+),所以2=+,从而∥(+).
答案:平行
8.解析:∵=++=--+,又M是AA1的中点,∴=,∴=--+=-a-b+c.
答案:-a-b+c
9.解:连接AC,如图,∵N是BD的中点,四边形ABCD为平行四边形,
∴N为AC的中点.又M是AD1的中点,∴=-=-=(-)=,∴与共线.
10.解:∵=++=-+--=-+=-+(+)=-+(+)=-++(-)=+-,又=+x+y,∴x=,y=-.
11.选A 因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,则-=n(-),即=n,所以与共线.又,有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈直线AB.
12.选AD 因为P是CA1的中点,所以=(+)=(++)=(a+b+c),故A正确,B错误;因为点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,所以=+=+=+(-)=+=(+)+=a+b+c,故C错误,D正确.
13.解析:设||=λ||,因为=+=+,||=||,所以4=+,即=+.因为A,E,F三点共线,所以+=1,解得λ=,即||=||.
答案:
14.证明:如图所示,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,设点O是AC'的中点,则==(++).
设P,M,N分别是BD',CA',DB'的中点,
则=+=+=+(++)=+(-++)=(++).同理可得=(++),=(++).由此可知O,P,M,N四点重合.
故平行六面体的体对角线相交于一点,且在交点处互相平分.
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