6.1.2 空间向量的数量积(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.掌握向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量的数量积求空间两点间的距离.
1.空间两个向量的夹角
(1)夹角
定义 a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,=b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作
图示
表示
范围
(2)空间两个向量的关系
①如果
=0,那么向量a与b ;
②如果=π,那么向量a与b ;
③如果=,那么称a与b ,并记作 .
2.空间向量数量积的定义
定义 设a,b是空间两个非零向量,我们把数量 叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=
规定 零向量与任一向量的数量积为
3.空间向量数量积的运算律
交换律 a·b=
结合律 (λa)·b= (λ∈R)
分配律 (a+b)·c=
4.向量在向量上的投影向量
(1)定义:对于空间任意两个非零向量a,b,设向量=a,=b,如图,过点A作AA1⊥OB,垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为 , 称为向量a在向量b上的投影向量.
(2)几何意义:向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积,即a·b= .
5.向量在平面上的投影向量
(1)定义:设向量m=,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为 , 称为向量m在平面α上的投影向量.
(2)几何意义:空间向量m,n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积,即m·n= .
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量与的夹角等于向量与的夹角. ( )
(2)若a·b=0,则a=0或b=0. ( )
(3)对于非零向量a,b,与<-a,-b>相等. ( )
(4)若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( )
(5)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条件. ( )
2.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,则在AC上的投影向量的模为 ;在平面ABCD内的投影向量的模为 .
3.若a,b,c是空间中两两夹角为的单位向量,=2a-2b,=b-c,则·= .
题型(一) 空间向量数量积的计算
[例1] 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:
(1)·;
(2)·;
(3)·;
(4)·.
听课记录:
[思维建模]
1.空间向量数量积的运算方法
已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算.如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.
2.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积;
(3)根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模;
(4)代入公式a·b=|a||b|cos求解.
[针对训练]
1.已知空间向量|a|=,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为-,则a在b上的投影向量为 ( )
A.-b B.b
C.b D.-b
2.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(b+c)= ,a·(a+b+c)= ,
(a+b)·(b+c)= .
题型(二) 利用数量积求模与夹角
[例2] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,CA=CB=1,棱AA1=2,求cos<,>的值.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例中条件不变,求N为AA1的中点时,与夹角的余弦值.
2.本例变为:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求BD1的长.
[思维建模]
(1)求两个非零向量的夹角可以把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.
(2)利用夹角公式求异面直线所成角的步骤
[针对训练]
3.如图,正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长为 .
4.已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则异面直线OE与BF所成角的余弦值为 .
题型(三) 利用数量积证明垂直问题
[例3] 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证:
(1)AO⊥CD';
(2)AC'⊥平面B'CD'.
听课记录:
[思维建模] 用向量法证明垂直问题的方法
(1)证明线线垂直,只需证明两条直线的方向向量的数量积为0.
(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与该平面内两不共线的向量的数量积分别为0.
(3)证明面面垂直,可利用面面垂直的判定定理,将面面垂直转化为线面垂直,然后利用向量法证明.
[针对训练]
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
6.1.2 空间向量的数量积
课前环节
1.(1)向量a与向量b的夹角
[0,π] (2)同向 反向 互相垂直 a⊥b
2.|a||b|cos |a||b|cos 0
3.b·a λ(a·b) a·c+b·c
4.(1)向量a向向量b投影 向量
(2)·b 5.(1)向量m向平面α投影 向量 (2)·n
[基点训练]
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2. 2 3.-1
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:(1)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 60°=.
(2)·=·
=||||cos<,>
=×1×1×cos 0°=.
(3)·=·
=||||cos<,>
=×1×1×cos 120°=-.
(4)·=(+)·(+)=[·(-)+·(-)+·+·]=[-·-·+(-)·+·]=×=-.
[针对训练]
1.选D a在b上的投影向量为·=·=-·=-b.
2.解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,所以a·b=a·c=b·c=0.
所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c=|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1.
答案:0 1 1
[题型(二)]
[例2] 解:因为=-=+-,=+,
所以||2==(+-)2=++=12+22+12=6,||=,||2==(+)2=+=12+22=5,||=,·=(+-)·(+)=-=22-12=3,
所以cos<,>===.
[变式拓展]
1.解:由例题知,||=,||=,·=·(+)=-=×22-12=1,
所以cos<,>===.
2.解:∵=++,
∴==+++2·+2·+2·=42
+22+22+2×4×2×cos 60°+2×4×2×cos 120°+2×2×2×cos 90°=24,∴BD1的长为2.
[针对训练]
3.解析:设=a,=b,=c.
由题意,知|a|=|b|=|c|=2,
且=60°,==90°.
因为=++=-++=-a+b+c,
所以||2==a2+b2+c2+2=×22+×22+22+2××2×2×cos 60°=1+1+4-1=5,
所以||=,即EF=.
答案:
4.解析:由已知得=(+),
=-=-,
因此||=|+|= =,
||===.
又因为·=(+)·=×2-×2+×2-2=-2,
所以cos<,>===-.
故异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
答案:
[题型(三)]
[例3] 证明:(1)因为=+=+(+)=(++2),=-,所以·=(++2)·(-)=(·-·+·-·+2·-2·)=(||2-||2)=0,所以⊥,故AO⊥CD'.
(2)设正方体的棱长为a,则·=(++)·(+)=·+·+·+·+·+·=0+0+0+a2-a2+0=0,所以⊥,所以AC'⊥B'C.
同理可证AC'⊥B'D'.
又B'C,B'D' 平面B'CD',B'C∩B'D'=B',
所以AC'⊥平面B'CD'.
[针对训练]
5.证明:设AD=a,则AB=2a.
因为PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥AD,PD⊥AB,
所以·=·=0,
所以·=(+)·(-)
=·-·-+·
=-||2+·
=-a2+||||cos∠DAB
=-a2+2a2×cos 60°=0,
所以⊥,故PA⊥BD.
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6.1.2
空间向量的数量积
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.掌握向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量的数量积求空间两点间的距离.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.空间两个向量的夹角
(1)夹角
定义 a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,
=b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作____________________
向量a与向量b的夹角
续表
图示
表示 ______________
范围 _____________
[0,π]
(2)空间两个向量的关系
①如果=0,那么向量a与b_____;
②如果=π,那么向量a与b_____;
③如果=,那么称a与b_________,并记作______.
同向
反向
互相垂直
a⊥b
2.空间向量数量积的定义
定义 设a,b是空间两个非零向量,我们把数量________________叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=_______________
规定 零向量与任一向量的数量积为____
|a||b|cos
|a||b|cos
0
3.空间向量数量积的运算律
交换律 a·b=______
结合律 (λa)·b=________(λ∈R)
分配律 (a+b)·c=___________
b·a
λ(a·b)
a·c+b·c
4.向量在向量上的投影向量
(1)定义:对于空间任意两个非零向量a,b,设向量=a,=b,如图,过点A作AA1⊥OB,垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为
__________________,_________ 称为向量a在向量b上的投影向量.
向量a向向量b投影
向量
(2)几何意义:向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积,即a·b=_______.
·b
5.向量在平面上的投影向量
(1)定义:设向量m=,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为
__________________,__________ 称为向量m在平面α上的投影向量.
向量m向平面α投影
向量
(2)几何意义:空间向量m,n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积,即m·n=_________.
·n
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量与的夹角等于向量与的夹角. ( )
(2)若a·b=0,则a=0或b=0. ( )
(3)对于非零向量a,b, 与<-a,-b>相等. ( )
(4)若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( )
(5)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条件. ( )
基点训练
×
×
×
×
√
2.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,则在AC上的投影向量的模为____;在平面ABCD内的投影向量的模为____.
2
3.若a,b,c是空间中两两夹角为的单位向量,=2a-2b,=b-c,则·=_____.
解析:由题意得,a·b=b·c=c·a=12×cos=,则·=2(a-b)·(b-c)=2(a·b-a·c-b2+b·c)=2=-1.
-1
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 空间向量数量积的计算
[例1] 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:
(1)·;
解:·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 60°=.
(2)·;
解: ·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 0°=.
(3)·;
解:·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 120°=-.
(4)·.
解: ·=(+)·(+)=[·(-)+·(-)+
·+·]=[-·-·+(-)·+·
]=×=-.
[思维建模]
1.空间向量数量积的运算方法
已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算.如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.
2.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积;
(3)根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模;
(4)代入公式a·b=|a||b|cos求解.
针对训练
1.已知空间向量|a|=,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为-,则a在b上的投影向量为( )
A.-b B.b
C.b D.-b
解析: a在b上的投影向量为·=·=-·=-b.
√
2.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(b+c)=_____,a·(a+b+c)=_____,(a+b)·(b+c)=_____.
0
1
1
解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,所以a·b=a·c=b·c=0.
所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c=|a|2=1,
(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1.
题型(二) 利用数量积求模与夹角
[例2] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,CA=CB=1,棱AA1=2,求cos<,>的值.
解:因为=-=+-,=+,
所以||2==(+-)2=++=12+22+12=6,
||=,||2==(+)2=+=12+22=5,||=,·=(+-)·(+)=-=22-12=3,
所以cos<,>===.
[变式拓展]
1.本例中条件不变,求N为AA1的中点时,与夹角的余弦值.
解:由例题知,||=,||=,·=·
(+)=-=×22-12=1,
所以cos<,>===.
2.本例变为:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求BD1的长.
解:∵=++,∴=
=+++2·+2·+2·
=42+22+22+2×4×2×cos 60°+2×4×2×cos 120°+2×2×2×
cos 90°=24,
∴BD1的长为2.
[思维建模]
(1)求两个非零向量的夹角可以把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.
(2)利用夹角公式求异面直线所成角的步骤
针对训练
[针对训练]
3.如图,正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长为______.
解析:设=a,=b,=c.
由题意,知|a|=|b|=|c|=2,且=60°,==90°.
因为=++=-++=-a+b+c,
所以||2==a2+b2+c2+2
=×22+×22+22+2××2×2×cos 60°=1+1+4-1=5,
所以||=,即EF=.
4.已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC
的中点,则异面直线OE与BF所成角的余弦值为______.
解析:由已知得=(+),=-=-,
因此||=|+|= =,
||===.
又因为·=(+)·=×2-×2+×2-2=-2,
所以cos<,>===-.
故异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
题型(三) 利用数量积证明垂直问题
[例3] 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证:
(1)AO⊥CD';
证明:因为=+=+(+)=(++2),
=-,所以·=(++2)·(-)=(·-·+·-·+2·-2·)=(||2-||2)=0,所以⊥,故AO⊥CD'.
(2)AC'⊥平面B'CD'.
证明: 设正方体的棱长为a,则·=(++)·(+)
=·+·+·+·+·+·=0+0+0+a2-a2+0=0,所以⊥,所以AC'⊥B'C.同理可证AC'⊥B'D'.
又B'C,B'D' 平面B'CD',B'C∩B'D'=B',所以AC'⊥平面B'CD'.
[思维建模] 用向量法证明垂直问题的方法
(1)证明线线垂直,只需证明两条直线的方向向量的数量积为0.
(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与该平面内两不共线的向量的数量积分别为0.
(3)证明面面垂直,可利用面面垂直的判定定理,将面面垂直转化为线面垂直,然后利用向量法证明.
针对训练
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,
AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
证明:设AD=a,则AB=2a.因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB,
所以·=·=0,所以·=(+)·(-)
=·-·-+·=-||2+·
=-a2+||||cos∠DAB=-a2+2a2×cos 60°=0,
所以⊥,故PA⊥BD.
课时跟踪检测
04
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2
A级——综合提能
1.在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:由题意,可得=,所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°.
√
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2.在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则·等于( )
A.-2 B.2 C.-2 D.2
解析:·=·(-)=·-·=2×2cos 90°-2×2cos 60°=-2.
√
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2
3.已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos= ( )
A. B. C.- D.
解析:因为a+b+c=0,所以c=-(a+b),所以|c|=|a+b|,
所以|c|2=|a|2+2|a||b|cos+|b|2,所以16=4+12cos+9,
所以cos=.
√
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4.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
√
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2
解析:设AC=2,BD=1,由·=·=0,=++,
则·=(++)·=||2,
所以在上的投影向量为·=·=.
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5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,CD的中点,则||等于( )
A. B.
C. D.
√
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解析:因为=++=++,所以||2==+++·+·+·,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD,BB1,BC两两互相垂直,所以||==.
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2
6.[多选]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 ( )
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为||·(·)
√
√
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解析:如图所示,(++)2=(++)2==3,故A为真命题;
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2
·(-)=·=0,故B为真命题;
连接CD1,易知与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C为假命题;
正方体的体积为||||||,故D为假命题.
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7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·=_____.
解析:如图,=-,=-=-,∴·=(-)·(-)=·-·-·+||2=0-0-0+a2=a2.
a2
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2
8.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=135°,且m⊥n,则实数λ等于______.
解析:∵m⊥n,∴m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2
=18+λ·3×4·cos 135°+3×4·cos 135°+λ·16
=18-12λ-12+16λ=6+4λ=0,∴λ=-.
-
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9.已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示.
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2
(1)确定向量在直线OB上的投影向量,并求·;
解:如图①,取OB的中点P,连接AP,则AP⊥OB,
因此即为在直线OB上的投影向量.所以·=·
=×1=.
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(2)确定向量在平面ABC上的投影向量,并求·.
解: 如图②,设O在底面ABC内的射影为Q,易知Q为底面中心,则OQ⊥平面ABC,连接AQ并延长交BC于点M,则M为BC的中点,AM⊥BC,
1
5
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且AQ=AM=,所以即为在平面ABC上的投影向量.
所以·=·=×1×cos 30°=.
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10.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,且AB=2AD=2,
PA=2,∠PAB=∠PAD=.
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(1)求线段PC的长度;
解:∵=+=++,∴=+++2·+2·+2·=4+4+1-2×2-2×1=3,
∴||=,
∴线段PC的长度为.
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(2)求异面直线PC与BD夹角的余弦值;
解: ∵·=(++)·(-)=·-·+·-·+·-·=-1×2×-2×2+1×1+2×2×+0-0=-2,||=,∴cos<,>==
=-,故异面直线PC与BD夹角的余弦值为.
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(3)若E为AB的中点,证明:PA⊥ED.
解: 证明:∵E为AB的中点,∴AD=AE,
∵·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0,
∴⊥,即PA⊥ED.
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B级——应用创新
11.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,
Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=·,
i=1,2,3,…,8}中的元素个数为( )
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A.1 B.2
C.4 D.8
解析:由题意可知,=+,则·=·(+)
=+·.因为棱长为1,AB⊥BPi,所以·=0,所以·
=+·=1+0=1,故集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1.
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12.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC
=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
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解析:设AB=BC=CD=1,由题意得=(+)=(++),所以||2=(++)2=(++)=,·=(++)·==.设异面直线BM与CD的夹角为θ,则cos θ=
==.
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13.[多选]在四面体PABC中,下列说法正确的是 ( )
A.若=+,则=3
B.若Q为△ABC的重心,则=++
C.若·=0,·=0,则·=0
D.若四面体PABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1
√
√
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解析:对于A,∵=+,∴3=+2,∴2-2=-,∴2=,∴3=+,即3=,故A正确;
对于B,若Q为△ABC的重心,则++=0,∴3++
+=3,∴3=++,即=++,故B正确;
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对于C,若·=0,·=0,则·+·=0,∴·+
·(+)=0,∴·+·+·=0,∴·+·-·=0,∴(-)·+·=0,∴·+·
=0,∴·+·=0,∴·(+)=0,∴·=0,故C正确;
对于D,∵=-=(+)-=(+-),∴||=|--|.∵|--|2=++-2·-2·+
2·=4+4+4-4-4+4=8,∴||=×=,故D错误.故选ABC.
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14.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则·的取值范围是________.
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解析:设=x+y(0≤x≤1,0≤y≤1),则=-=
+-x-y=+(1-x)-y,=-
=-x-y=(1-y)-x,∴·=[+(1-x)-y]·[(1-y)-x]=-x(1-x)-y(1-y)=+
-,易知当x=y=时,·取得最小值为-;当x=0或x=1,且y=0或y=1时,·取得最大值为0,∴·的取值范围是.
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15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,
AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
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(1)证明:BE⊥PD;
解:证明:∵E为PC的中点,∴=(+)=(-+-)=(+-)=(+),又=-,
∴·=(-)=0,∴BE⊥PD.
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(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长.
解: ∵F为PC上一点,∴可设=λ(0≤λ≤1),∴=+=-+λ=-+λ(+2-)=(1-λ)-(1-2λ)·+λ.又=+2,BF⊥AC,∴·=[(1-λ)-(1-2λ)+λ]·
(+2)=-2(1-2λ)+4λ=0,解得λ=.∵||=
==2,∴PF=PC=,即线段PF的长为.课时跟踪检测(三) 空间向量的数量积
A级——综合提能
1.在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则·等于 ( )
A.-2 B.2
C.-2 D.2
3.已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos= ( )
A. B.
C.- D.
4.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为 ( )
A. B.
C. D.
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,CD的中点,则||等于 ( )
A. B.
C. D.
6.[多选]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 ( )
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为||·(·)
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·= .
8.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=135°,且m⊥n,则实数λ等于 .
9.已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示.
(1)确定向量在直线OB上的投影向量,并求·;
(2)确定向量在平面ABC上的投影向量,并求·.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,且AB=2AD=2,PA=2,∠PAB=∠PAD=.
(1)求线段PC的长度;
(2)求异面直线PC与BD夹角的余弦值;
(3)若E为AB的中点,证明:PA⊥ED.
B级——应用创新
11.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.8
12.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
13.[多选]在四面体PABC中,下列说法正确的是 ( )
A.若=+,则=3
B.若Q为△ABC的重心,则=++
C.若·=0,·=0,则·=0
D.若四面体PABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1
14.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则·的取值范围是 .
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥PD;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长.
课时跟踪检测(三)
1.选C 由题意,可得=,所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°.
2.选A ·=·(-)=·-·=2×2cos 90°-2×2cos 60°=-2.
3.选D 因为a+b+c=0,所以c=-(a+b),所以|c|=|a+b|,所以|c|2=|a|2+2|a||b|cos+|b|2,所以16=4+12cos+9,所以cos=.
4.选B 设AC=2,BD=1,由·=·=0,=++,则·=(++)·=||2,所以在上的投影向量为·=·=.
5.选A 因为=++=++,所以||2==+++·+·+·,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD,BB1,BC两两互相垂直,所以||==.
6.选AB 如图所示,(++)2=(++)2==3,故A为真命题;
·(-)=·=0,故B为真命题;连接CD1,易知与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C为假命题;正方体的体积为||||||,故D为假命题.
7.解析:如图,=-,=-=-,∴·=(-)·(-)=·-·-·+||2=0-0-0+a2=a2.
答案:a2
8.解析:∵m⊥n,∴m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2=18+λ·3×4·cos 135°+3×4·cos 135°+λ·16=18-12λ-12+16λ=6+4λ=0,∴λ=-.
答案:-
9.解:(1)如图①,取OB的中点P,连接AP,则AP⊥OB,
因此即为在直线OB上的投影向量.所以·=·=×1=.
(2)如图②,设O在底面ABC内的射影为Q,易知Q为底面中心,则OQ⊥平面ABC,
连接AQ并延长交BC于点M,则M为BC的中点,AM⊥BC,
且AQ=AM=,所以即为在平面ABC上的投影向量.
所以·=·=×1×cos 30°=.
10.解:(1)∵=+=++,∴=+++2·+2·+2·=4+4+1-2×2-2×1=3,∴||=,∴线段PC的长度为.
(2)∵·=(++)·(-)=·-·+·-·+·-·=-1×2×-2×2+1×1+2×2×+0-0=-2,||=,
∴cos<,>===-,
故异面直线PC与BD夹角的余弦值为.
(3)证明:∵E为AB的中点,∴AD=AE,
∵·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0,∴⊥,即PA⊥ED.
11.选A 由题意可知,=+,则·=·(+)=+·.因为棱长为1,AB⊥BPi,所以·=0,所以·=+·=1+0=1,故集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1.
12.选C 设AB=BC=CD=1,由题意得=(+)=(++),所以||2=(++)2=(++)=,·=(++)·==.设异面直线BM与CD的夹角为θ,则cos θ===.
13.选ABC 对于A,∵=+,∴3=+2,∴2-2=-,∴2=,∴3=+,即3=,故A正确;对于B,若Q为△ABC的重心,则++=0,∴3+++=3,∴3=++,即=++,故B正确;对于C,若·=0,·=0,则·+·=0,∴·+·(+)=0,∴·+·+·=0,∴·+·-·=0,∴(-)·+·=0,∴·+·=0,∴·+·=0,∴·(+)=0,∴·=0,故C正确;对于D,∵=-=(+)-=(+-),∴||=|--|.∵|--|2=++-2·-2·+2·=4+4+4-4-4+4=8,∴||=×=,故D错误.故选ABC.
14.解析:设=x+y(0≤x≤1,0≤y≤1),则=-=+-x-y=+(1-x)·-y,=-=-x-y=(1-y)-x,∴·=[+(1-x)·-y]·[(1-y)-x]=-x(1-x)-y(1-y)=+-,易知当x=y=时,·取得最小值为-;当x=0或x=1,且y=0或y=1时,·取得最大值为0,
∴·的取值范围是.
答案:
15.解:(1)证明:∵E为PC的中点,
∴=(+)=(-+-)=(+-)=(+),又=-,
∴·=(-)=0,
∴BE⊥PD.
(2)∵F为PC上一点,∴可设=λ(0≤λ≤1),∴=+=-+λ=-+λ(+2-)=(1-λ)-(1-2λ)+λ.又=+2,BF⊥AC,
∴·=[(1-λ)-(1-2λ)+λ]·(+2)=-2(1-2λ)+4λ=0,解得λ=.
∵||=
==2,
∴PF=PC=,即线段PF的长为.
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