6.1.3 共面向量定理(深化课——题型研究式教学)
课时目标
1.了解共面向量的概念.
2.理解空间向量共面的充要条件,会证明空间四点共面.
共面向量定理 (1)共面向量:一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.显然,任意两个空间向量都是共面向量. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.这就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示
向量共面的证明 (1)证明点P在平面ABC内,可以用=x+y,也可以用=+x+y.若用=x+y+z,则必须满足x+y+z=1. (2)判断三个向量共面一般用p=xa+yb,证明三线共面常用=x+y,证明四点共面常用=x+y+z(其中x+y+z=1)
题型(一) 对共面向量概念的理解
[例1] 下列命题正确的是 ( )
A.用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面
B.已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB,BC,CD,DA分别确定的四个向量之和为零向量
C.若存在有序实数组(x,y)使得=x+y,则O,P,A,B四点共面
D.若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面
听课记录:
[思维建模]
(1)任意两个空间向量都是共面向量;
(2)若a,b不共线且同在平面α内,则p与a,b共面的意义是p在α内或p∥α.
[针对训练]
1.[多选]下列说法正确的是 ( )
A.若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行
B.已知空间任意两向量a,b,则向量a,b共面
C.已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc
D.若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0
题型(二) 向量共面的判定与证明
[例2] 如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使====k,求证:E,F,G,H四点共面.
听课记录:
[变式拓展]
若本例条件“====k”变为“==m,==k”,其他条件不变.求证:E,F,G,H四点共面.
[思维建模] 利用向量法证明向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.
(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示.
[针对训练]
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:与,共面.
题型(三) 共面向量定理的应用
[例3] 如图所示,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)用向量法证明E,F,G,H四点共面;
(2)用向量法证明BD∥平面EFGH.
听课记录:
[思维建模]
利用向量判断线面平行有两种方法:一是利用共线向量定理,找出平面内的一个向量与直线上的向量共线;二是利用共面向量定理,找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量.两种方法中注意说明直线不在平面内.
[针对训练]
3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点.
求证:B1C∥平面ODC1.
6.1.3 共面向量定理
[题型(一)]
[例1] 选C A错误,空间中任意两个向量都是共面的;B错误,因为四条线段确定的向量没有强调方向;C正确,因为,,共面,所以O,P,A,B四点共面;D错误,没有强调零向量.
[针对训练]
1.选BD 若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线可以重合,并不一定平行,故A错误;根据共面向量的定义可知,空间中的任意两个向量都是共面的,故B正确;只有当空间的三个向量a,b,c不共面时,对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc成立,若空间中的三个向量共面,此说法并不成立,故C错误;根据向量的加法法则即可判断D正确.
[题型(二)]
[例2] 证明:在平行四边形ABCD中,=+,
得-=(-)+(-),
由已知得(-)=(-)+(-),于是得=+,
∴E,F,G,H四点共面.
[变式拓展]
证明:在平行四边形ABCD中,=+,得-=(-)+(-),
由已知得-=-+-,即=+-,=.
∴E,F,G,H四点共面.
[针对训练]
2.证明:因为=-,
=+=-,
==(+).
所以=-
=(+)-
=(-)+
=+.
所以与,共面.
[题型(三)]
[例3] 证明:(1)如图所示,连接BG,EG,则=+=+(+)=++=+.
由共面向量定理知E,F,G,H四点共面.
(2)设=a,=b,=c,
则=-=c-a.
=+=-+(c+b)
=-a+b+c,
=+=-c+(a+b)
=a+b-c.
假设存在x,y,使=x+y.
即c-a=x+y=a+b+c.
∵a,b,c不共线.∴
解得∴=-.
∴,,是共面向量,
∵BD不在平面EFGH内,
∴BD∥平面EFGH.
[针对训练]
3.证明:设=a,=b,=c,
则=c-a,
又O是B1D1的中点,
所以==(b-a).
因为D1D C1C,所以=c,=+=(b-a)+c.
=-(a+b),假设存在实数x,y,
使=x+y,
所以c-a=x-y·(a+b)=-(x+y)a+xc+b,且a,b,c不共线,
所以x=1,(x+y)=1,且=0,即x=1,y=1.
所以=+,
所以,,是共面向量,
又因为不在,所确定的平面ODC1内,所以B1C∥平面ODC1.
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6.1.3
共面向量定理
(深化课——题型研究式教学)
课时目标
1.了解共面向量的概念.
2.理解空间向量共面的充要条件,会证明空间四点共面.
共面向量定理 (1)共面向量:一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.显然,任意两个空间向量都是共面向量.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.这就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示
续表
向量共面的证明 (1)证明点P在平面ABC内,可以用=x+y,也可以用=+x+y.若用=x+y+z,则必须满足x+y+z=1.
(2)判断三个向量共面一般用p=xa+yb,证明三线共面常用=x+y,证明四点共面常用=x+y+z(其中x+y+z=1)
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 对共面向量概念的理解
题型(二) 向量共面的判定与证明
题型(三) 共面向量定理的应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 对共面向量概念的理解
[例1] 下列命题正确的是 ( )
A.用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面
B.已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB,BC,CD,DA分别确定的四个向量之和为零向量
C.若存在有序实数组(x,y)使得=x+y,则O,P,A,B四点共面
D.若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面
√
解析: A错误,空间中任意两个向量都是共面的;
B错误,因为四条线段确定的向量没有强调方向;
C正确,因为,,共面,所以O,P,A,B四点共面;
D错误,没有强调零向量.
[思维建模]
(1)任意两个空间向量都是共面向量;
(2)若a,b不共线且同在平面α内,则p与a,b共面的意义是p在α内或p∥α.
针对训练
1.[多选]下列说法正确的是( )
A.若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行
B.已知空间任意两向量a,b,则向量a,b共面
C.已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc
D.若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0
√
√
解析:若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线可以重合,并不一定平行,故A错误;
根据共面向量的定义可知,空间中的任意两个向量都是共面的,故B正确;
只有当空间的三个向量a,b,c不共面时,对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc成立,若空间中的三个向量共面,此说法并不成立,故C错误;
根据向量的加法法则即可判断D正确.
题型(二) 向量共面的判定与证明
[例2] 如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,
OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使==
==k,求证:E,F,G,H四点共面.
证明:在平行四边形ABCD中,=+,
得-=(-)+(-),
由已知得(-)=(-)+(-),
于是得=+,∴E,F,G,H四点共面.
[变式拓展]
若本例条件“====k”变为“==m,==k”,其他条件不变.求证:E,F,G,H四点共面.
证明:在平行四边形ABCD中,=+,得-=(-)+(-),由已知得-=-+-,
即=+-,=.
∴E,F,G,H四点共面.
[思维建模] 利用向量法证明向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z
(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.
(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示.
针对训练
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:与,共面.
证明:因为=-,=+=-,
==(+).所以=-=(+)-
=(-)+=+.
所以与,共面.
题型(三) 共面向量定理的应用
[例3] 如图所示,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)用向量法证明E,F,G,H四点共面;
证明:如图所示,连接BG,EG,则=+=+(+)
=++=+.由共面向量定理知E,F,G,H四点共面.
(2)用向量法证明BD∥平面EFGH.
证明:设=a,=b,=c,则=-=c-a.
=+=-+(c+b)=-a+b+c,=+=-c+(a+b)=a+b-c.
假设存在x,y,使=x+y.即c-a=x+
y=a+b+c.
∵a,b,c不共线.∴解得
∴=-.∴,,是共面向量,
∵BD不在平面EFGH内,∴BD∥平面EFGH.
[思维建模]
利用向量判断线面平行有两种方法:一是利用共线向量定理,找出平面内的一个向量与直线上的向量共线;二是利用共面向量定理,找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量.两种方法中注意说明直线不在平面内.
针对训练
3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点.
求证:B1C∥平面ODC1.
证明:设=a,=b,=c,则=c-a,又O是B1D1的中点,
所以==(b-a).因为D1D C1C,
所以=c,=+=(b-a)+c.
=-(a+b),假设存在实数x,y,使=x+y,
所以c-a=x-y·(a+b)=-(x+y)a+xc+b,
且a,b,c不共线,所以x=1,(x+y)=1,且=0,
即x=1,y=1.所以=+,
所以,,是共面向量,
又因为不在,所确定的平面ODC1内,
所以B1C∥平面ODC1.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.对于空间中的任意三个向量a,b,2a+4b,它们一定是( )
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量
解析:若a,b不共线,则由空间共面向量定理知,a,b,2a+4b共面;若a,b共线,则a,b,2a+4b共线,也共面.
√
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2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x+
+,则x的值为( )
A.1 B.0 C.3 D.
解析:∵=x++,且M,A,B,C四点共面,∴x++=1,∴x=,故选D.
√
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3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是( )
A.有相同起点的向量 B.等模的向量
C.共面向量 D.不共面向量
√
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解析:如图所示,向量,,显然不是有相同起点的向量,故A错误;
由该平行六面体不一定是正方体可知,这三个向量不一定是等模的向量,故B错误;
因为=,,,共面,所以,,共面,故C正确,D错误.
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4.[多选]若向量a,b,c不共面,则下列选项中的三个向量共面的是 ( )
A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c
C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a
√
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解析:向量a,b,c不共面,b-c=2b-(b+c),因此三个向量共面;a+b+c=
a+(b+c),因此三个向量共面;若a+b,a-c,c共面,则存在实数s,t,使得a+b=s(a-c)+tc,故b=(s-1)a+(t-s)c,这与a,b,c不共面矛盾,故三个向量不共面;a-b=2a-(a+b),因此三个向量一定共面.
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5.已知点M在平面ABC内,对空间任一点O,若2=x-+4,则x=______.
解析:因为2=x-+4,所以=-+2,又点M在平面ABC内,所以-+2=1,解得x=-1.
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6.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为______________________________.
解析:由=λ+μ(λ,μ∈R)及共面向量定理可知,向量与向量,共面,即直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.
AB 平面CDE或AB∥平面CDE
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7.已知i,j,k不共面,=i-2j+2k,=2i+j-3k,=λi+3j-5k,且A,B,C,D四点共面,则λ的值为_____.
解析:由题意得=+=3i-j-k,=+=(3+λ)i+2j-6k.因为A,B,C,D四点共面,所以存在唯一的(x,y),使得=x+y,即(3+λ)i+2j-6k=x(i-2j+2k)+y(3i-j-k),则解得
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8.已知两个非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,
=3e1-3e2.求证:A,B,C,D四点共面.
证明:∵+=5e1+5e2=5,∴=(+)=+,
又与不共线,∴,,共面,又它们有一个公共起点A.
∴A,B,C,D四点共面.
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9.H为四棱锥P-ABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC.点G在AH上,AG=
mAH,四边形ABCD为平行四边形.若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.
解:如图,∵H为棱PC的三等分点,且PH=HC,∴=,∴=.
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又∵点G在AH上,AG=mAH,∴=m=
m(+)=m=m=m=++.又∵B,G,P,D四点共面,且,,不共面,∴++=1,解得m=.
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B级——应用创新
10.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则=______.
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解析:由题可设=λ(0<λ<1),因为=++=2
+3+,所以=2λ+3λ+λ.因为M,E,F,G四点共面,所以2λ+3λ+λ=1,解得λ=.
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11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足=+x+y,其中x,y∈R,则点P可以是正方体表面上的点________________________________.(答案不唯一)
B1(或C或△ACB1边上的任意一点)
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解析:因为点P满足=+x+y=+x(-)+y(-)
=(1-x-y)+x+y,其中1-x-y+x+y=1,所以点A,M,N,P四点共面,因为点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,如图,则MN∥AB1,所以△ACB1即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故点P可以是正方体表面上的点B1(或C或△ACB1边上的任意一点).
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12.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.
证明:如图,过B1作l3∥l1,取点C2∈l3且BC=B1C2,取CC2的中点P1.
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因为=,=,所以=2,=2.
因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线,
所以=λ=2λ,=μ=2μ.
于是=+=+=+(-)=(+)=(2λ+2μ)=λ+μ.
因此,,共面.故M,N,P,Q四点共面.课时跟踪检测(四) 共面向量定理
A级——综合提能
1.对于空间中的任意三个向量a,b,2a+4b,它们一定是 ( )
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为 ( )
A.1 B.0
C.3 D.
3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是 ( )
A.有相同起点的向量 B.等模的向量
C.共面向量 D.不共面向量
4.[多选]若向量a,b,c不共面,则下列选项中的三个向量共面的是 ( )
A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c
C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a
5.已知点M在平面ABC内,对空间任一点O,若2=x-+4,则x= .
6.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为 .
7.已知i,j,k不共面,=i-2j+2k,=2i+j-3k,=λi+3j-5k,且A,B,C,D四点共面,则λ的值为 .
8.已知两个非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2.求证:A,B,C,D四点共面.
9.H为四棱锥P-ABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC.点G在AH上,AG=mAH,四边形ABCD为平行四边形.若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.
B级——应用创新
10.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则= .
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足=+x+y,其中x,y∈R,则点P可以是正方体表面上的点 .(答案不唯一)
12.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.
课时跟踪检测(四)
1.选A 若a,b不共线,则由空间共面向量定理知,a,b,2a+4b共面;若a,b共线,则a,b,2a+4b共线,也共面.
2.选D ∵=x++,且M,A,B,C四点共面,∴x++=1,∴x=,故选D.
3.选C 如图所示,向量,,显然不是有相同起点的向量,故A错误;由该平行六面体不一定是正方体可知,这三个向量不一定是等模的向量,故B错误;因为=,,,共面,所以,,共面,故C正确,D错误.
4.选ABD 向量a,b,c不共面,
b-c=2b-(b+c),因此三个向量共面;
a+b+c=a+(b+c),因此三个向量共面;
若a+b,a-c,c共面,则存在实数s,t,使得a+b=s(a-c)+tc,故b=(s-1)a+(t-s)c,这与a,b,c不共面矛盾,故三个向量不共面;
a-b=2a-(a+b),因此三个向量一定共面.
5.解析:因为2=x-+4,
所以=-+2,
又点M在平面ABC内,
所以-+2=1,解得x=-1.
答案:-1
6.解析:由=λ+μ(λ,μ∈R)及共面向量定理可知,向量与向量,共面,即直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.
答案:AB 平面CDE或AB∥平面CDE
7.解析:由题意得=+=3i-j-k,=+=(3+λ)i+2j-6k.因为A,B,C,D四点共面,所以存在唯一的(x,y),使得=x+y,即(3+λ)i+2j-6k=x(i-2j+2k)+y(3i-j-k),则解得
答案:1
8.证明:∵+=5e1+5e2=5,
∴=(+)=+,
又与不共线,
∴,,共面,又它们有一个公共起点A.
∴A,B,C,D四点共面.
9.解:如图,∵H为棱PC的三等分点,且PH=HC,∴=,∴=.
又∵点G在AH上,AG=mAH,∴=m=m(+)=m=m=m=++.又∵B,G,P,D四点共面,且,,不共面,∴++=1,解得m=.
10.解析:由题可设=λ(0<λ<1),因为=++=2+3+,所以=2λ+3λ+λ.因为M,E,F,G四点共面,所以2λ+3λ+λ=1,解得λ=.
答案:
11.解析:因为点P满足=+x+y=+x(-)+y(-)=(1-x-y)+x+y,其中1-x-y+x+y=1,所以点A,M,N,P四点共面,因为点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,如图,则MN∥AB1,所以△ACB1即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故点P可以是正方体表面上的点B1(或C或△ACB1边上的任意一点).
答案:B1(或C或△ACB1边上的任意一点)
12.证明:如图,过B1作l3∥l1,取点C2∈l3且BC=B1C2,取CC2的中点P1.因为=,=,
所以=2,=2.
因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线,
所以=λ=2λ,=μ=2μ.
于是=+=+=+(-)=(+)=(2λ+2μ)=λ+μ.
因此,,共面.故M,N,P,Q四点共面.
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