6.2.1 空间向量基本定理(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理.掌握判断空间三个向量是否构成基的方法.
2.能通过空间向量的线性运算用基表示向量.会用基证明空间位置关系及直线所成的角.
1.空间向量基本定理
空间向量 基本定理 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=
基底和基 向量 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3 表示,我们把 称为空间的一个基底, 叫作基向量
2.正交基底和单位正交基底
正交基底 如果空间一个基底的三个基向量 ,那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是 时,称这个基底为单位正交基底,通常用 表示
3.推论
设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 .
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底. ( )
(2)若对向量p可找到三个向量a,b,c,使p=xa+yb+zc,则{a,b,c}可构成空间向量的一个基底. ( )
(3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3. ( )
(4)若{a,b,c}为空间向量的一个基底,则a,b,c全不是零向量. ( )
2.正方体ABCD-A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{,,}为基底,=x+y+z,则x,y,z的值是 ( )
A.1,1,1 B.,,
C.,, D.2,2,2
题型(一) 基底的判断
[例1] [多选]若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组能构成空间的一个基底的是 ( )
A.{a+b,a-b,c}
B.{a+b,b+c,c+a}
C.{3a-4b,2b-3c,3a-6c}
D.{a+b,a+b+c,2c}
听课记录:
[思维建模] 判断给出的三个向量能否构成基底的方法
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底,关键是要判断这三个向量是否共面,首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面.
[针对训练]
1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间向量的一个基底的一组向量是 ( )
A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a
C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c
题型(二) 用基底表示向量
[例2] 如图,M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点.用向量,,表示和.
听课记录:
[思维建模] 用基底表示向量的一般步骤
定基底 根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底
找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果
下结论 利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间内所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量
[针对训练]
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
题型(三) 利用空间向量基本定理解决几何问题
[例3] 如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°.
(1)求证:AC1⊥DB;
(2)求异面直线BD1与AC所成角的余弦值.
听课记录:
[思维建模] 用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路
(1)选取恰当的基底.
(2)将所求向量用基底表示.
(3)将几何问题转化为向量问题:
①将距离和线段长转化为向量的模;
②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题;
③将空间角问题转化为向量夹角问题.
[针对训练]
3.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.证明:MN∥平面C1DE.
6.2.1 空间向量基本定理
课前环节
1.xe1+ye2+ze3 线性 {e1,e2,e3}
e1,e2,e3 2.两两互相垂直 单位向量 {i,j,k} 3.=x+y+z
[基点训练]
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.A
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选AB 因为a+b,a-b,c是不共面的向量,所以能构成空间的一个基底,故A正确;
a+b,b+c,c+a是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确;
因为3a-6c=3a-4b+2(2b-3c),所以3a-4b,2b-3c,3a-6c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C错误;
因为a+b=a+b+c-(2c),
所以a+b,a+b+c,2c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D错误.
[针对训练]
1.选C 因为a,b,c不共面,故a,2b,b-c也不共面,能构成空间向量的一个基底.其他选项皆共面.
[题型(二)]
[例2] 解:=+=+=+(-)=+=+×(+)=++.
=+=+++=++.
[针对训练]
2.解:(1)如图,连接AC,EF,D1F,BD1,则=+=-+-=a-b-c,=+=+=-(+)+(+)=-=a-c.
(2)∵=(+)=(-+)=(-c+a-b-c)=a-b-c,又=xa+yb+zc,
∴x=,y=-,z=-1.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)证明:∵以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°,∴·=·=·=1×1×cos 60°=,
∴·=(++)·(-)=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0,∴AC1⊥DB.
(2)∵=+-=+-,=+=+,
∴||2==+++2·-2·-2·=1+1+1+1-1-1=2,
即||=,
||=
=
==,
·=(+-)·(+)=-+·+·=1-1++=1,∴cos<,>===,∴异面直线BD1与AC所成角的余弦值为.
[针对训练]
3.证明:设=a,=b,=c.
因为E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点,
由题意知=++(+)
=-c-a+(b+c)=-a+b,
=+=+
=a-b=-,
所以=-,所以∥.
所以MN∥DE.
又因为MN 平面C1DE,DE 平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.
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6.2.1
空间向量基本定理
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理.掌握判断空间三个向量是否构成基的方法.
2.能通过空间向量的线性运算用基表示向量.会用基证明空间位置关系及直线所成的角.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.空间向量基本定理
空间向量 基本定理 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=____________
基底和 基向量 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3________表示,我们把___________称为空间的一个基底,________ 叫作基向量
xe1+ye2+ze3
线性
{e1,e2,e3}
e1,e2,e3
2.正交基底和单位正交基底
正交 基底 如果空间一个基底的三个基向量_____________,那么这个基底叫作正交基底
单位正 交基底 当一个正交基底的三个基向量都是_________时,称这个基底为单位正交基底,通常用_______表示
两两互相垂直
单位向量
{i,j,k}
3.推论
设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得____________________.
=x+y+z
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底. ( )
(2)若对向量p可找到三个向量a,b,c,使p=xa+yb+zc,则{a,b,c}可构成空间向量的一个基底. ( )
(3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3. ( )
(4)若{a,b,c}为空间向量的一个基底,则a,b,c全不是零向量.( )
基点训练
×
×
×
√
2.正方体ABCD-A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{,,}为基底, =x+y+z,则x,y,z的值是( )
A.1,1,1 B.,,
C.,, D.2,2,2
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 基底的判断
[例1] [多选]若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组能构成空间的一个基底的是 ( )
A.{a+b,a-b,c} B.{a+b,b+c,c+a}
C.{3a-4b,2b-3c,3a-6c} D.{a+b,a+b+c,2c}
√
√
解析:因为a+b,a-b,c是不共面的向量,所以能构成空间的一个基底,故A正确;
a+b,b+c,c+a是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确;
因为3a-6c=3a-4b+2(2b-3c),所以3a-4b,2b-3c,3a-6c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C错误;
因为a+b=a+b+c-(2c),所以a+b,a+b+c,2c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D错误.
[思维建模] 判断给出的三个向量能否构成基底的方法
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底,关键是要判断这三个向量是否共面,首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面.
针对训练
1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间向量的一个基底的一组向量是 ( )
A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a
C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c
解析:因为a,b,c不共面,故a,2b,b-c也不共面,能构成空间向量的一个基底.其他选项皆共面.
√
题型(二) 用基底表示向量
[例2] 如图,M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点.用向量,,表示和.
解:=+=+=+(-)=+
=+×(+)=++.=+=+++=++.
[思维建模] 用基底表示向量的一般步骤
定基底 根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底
找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果
下结论 利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间内所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量
针对训练
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量a,b,c表示,;
解:如图,连接AC,EF,D1F,BD1,
则=+=-+-=a-b-c,=+=+=-(+)+(+)=-=a-c.
(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
解: ∵=(+)=(-+)=(-c+a-b-c)=a-b-c,
又=xa+yb+zc,∴x=,y=-,z=-1.
题型(三) 利用空间向量基本定理解决几何问题
[例3] 如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°.
(1)求证:AC1⊥DB;
解:证明:∵以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°,∴·=·=·=1×1×cos 60°=,
∴·=(++)·(-)=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0,∴AC1⊥DB.
(2)求异面直线BD1与AC所成角的余弦值.
解: ∵=+-=+-,=+=+,
∴||2==+++2·-2·-2·=1+1+1+1-1-1=2,即||=,
||====,·=(+-)·(+)=-+·+·=1-1++=1,∴cos<,>===,∴异面直线BD1与AC所成角的余弦值为.
[思维建模] 用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路
(1)选取恰当的基底.
(2)将所求向量用基底表示.
(3)将几何问题转化为向量问题:
①将距离和线段长转化为向量的模;
②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题;
③将空间角问题转化为向量夹角问题.
针对训练
3.如图,直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.证明:MN∥平面C1DE.
证明:设=a,=b,=c.因为E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点,
由题意知=++(+)=-c-a+(b+c)=-a+b,
=+=+=a-b=-,
所以=-,所以∥.
所以MN∥DE.又因为MN 平面C1DE,DE 平面C1DE,
所以MN∥平面C1DE.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.[多选]在空间四点O,A,B,C中,若{,,}是空间向量的一个基底,则下列说法正确的是( )
A.O,A,B,C四点不共线
B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点不共面
D.O,A,B,C四点中任意三点不共线
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解析: A正确,若四点共线,则,,共面,构不成基底;
B错误,C正确,若四点共面,则,,共面,构不成基底;
D正确,若有三点共线,则这四点共面,,,构不成基底.
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2.[多选]已知A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线.若{,,}与{,,}均不能构成空间的一个基底,则下列结论正确的是( )
A.{,,}不能构成空间的一个基底
B.{,,}不能构成空间的一个基底
C.{,,}不能构成空间的一个基底
D.{,,}能构成空间的一个基底
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解析:因为{,,}与{,,}均不能构成空间的一个基底,且A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线,所以空间五点A,B,C,D,E共面,所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底,所以A、B、C正确,D错误.
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3.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为( )
A.a-b+2c B.a-b-2c
C.-a+b+c D.a-b+c
解析:=+=+=+(-)=a-b+c.
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4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则MN的长为 ( )
A.a B.a C.a D.a
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解析:设=i,=j,=k,=++=i+j+(-j+k)=i+j+k,故||2=a2+a2+a2=a2,所以MN=a.
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5.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是边CB,OA的中点,点G在线段MN上,且使NG=2GM,用向量,,正确表示向量的是( )
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A.=++ B.=++
C.=++ D.=++
解析:根据题意可得=+,由NG=2GM可得=,所以=+=+(+)=+×(+)=×+(+)=++.
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6.已知{a,b,c}是空间的一个基底,向量p=3a+b+c,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,向量p=x(a+b)+y(a-b)+c,则x+y=______.
解析:∵p=x(a+b)+y(a-b)+c=(x+y)a+(x-y)b+c,且p=3a+b+c,∴x+y=3.
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7.在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面),连接对应顶点.设=a,=b,=c,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,用基底{a,b,c}表示向量+的结果为___________.
a+b+c
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解析:如图,+=(+)+(+)=++=b
+(a+b)+(a+c)=a+b+c.
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8.在正四面体PABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若=x+y+z,则x+y+z的值为_____.
解析:如图所示,连接PN,=+=-+(+)=-++,
∴x=-,y=,z=.∴x+y+z=.
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9.如图,已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.
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(1)化简++;
解:∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体,
∴++=++=.
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.
解: ∵=+=+=(-)+(+)=
++,又=α+β+γ,∴α=,β=,γ=.
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10.如图,已知空间四边形ABCD各边的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.
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(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
解:证明:设=p,=q,=r.
由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°.
∵=-=(+)-=(q+r-p),∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0,∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
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(2)求MN的长.
解: 由(1)可知=(q+r-p).∴||2=(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]==×2a2=.
∴||=a,∴MN的长为a.
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B级——应用创新
11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF=DD1,记=x+y+z,若x+y+z=,则等于( )
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A. B. C. D.
解析:设=λ,因为=+++=-λ-++
=-λ-++=-++,所以x=-1,y=1,z=-λ.
因为x+y+z=-λ=,所以λ=.
√
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12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM= ( )
A. B.
C. D.
√
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解析:如图,=++=++(-)=++,故||2==||2+||2+||2+·+
·+·,
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在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知AA1⊥AC,AA1⊥AB,在△ABC中,
由AB=AC=BC,则∠BAC=60°,
由AA1=AB=AC=1,
则=+1++×1×1×=,则AM=.
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13.[多选]如图,已知AO⊥平面OBC,∠BOC=,OA=OB=2,OC=3,E为AB的中点,=3,则以下正确的是( )
A.OF= B.EF=
C.AB与OC夹角的余弦值为 D.OE与OF夹角的余弦值为
√
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解析:因为AO⊥平面OBC,OB,OC 平面OBC,所以OA⊥OB,OA⊥OC,
所以·=0,·=0,·=||·||cos=-3,
在△OAC中,=+=+(-)=+,
所以||==
==,所以A正确;
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在△OEF中,=-=+-(+)=-+ ,||2==++-·+·-·=+1+1+1=,故||=,所以B正确;
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因为=-,·=(-)·=·-·=-3,||==2,cos<,>===-,所以AB与OC夹角的余弦值为,所以C正确;
由以上知OF=,EF=,且OE=AB=,在△OEF中,由余弦定理得cos∠EOF==,所以D错误.
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14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的夹角为______.
90°
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解析:=+,=-=+---=+---=--,
故·=·=-·-·+·--·=×4-×8=0,即⊥,则AM与PM的夹角为90°.
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15.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是A'D',DD',
D'C'的中点,请选择恰当的基向量证明:
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(1)EG∥AC;
证明:取基底{,,}.
因为=+=+,
=+=2,所以∥,
又EG,AC无公共点,所以EG∥AC.
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(2)平面EFG∥平面AB'C.
证明:因为=+=+,=+=2,
所以∥,又FG,AB'无公共点,所以FG∥AB'.
又FG 平面AB'C,AB' 平面AB'C,所以FG∥平面AB'C.
又由(1)知EG∥AC,由EG 平面AB'C,AC 平面AB'C,可得EG∥平面AB'C,
又FG∩EG=G,FG,EG 平面EFG,所以平面EFG∥平面AB'C.课时跟踪检测(五) 空间向量基本定理
A级——综合提能
1.[多选]在空间四点O,A,B,C中,若{,,}是空间向量的一个基底,则下列说法正确的是 ( )
A.O,A,B,C四点不共线
B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点不共面
D.O,A,B,C四点中任意三点不共线
2.[多选]已知A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线.若{,,}与{,,}均不能构成空间的一个基底,则下列结论正确的是 ( )
A.{,,}不能构成空间的一个基底
B.{,,}不能构成空间的一个基底
C.{,,}不能构成空间的一个基底
D.{,,}能构成空间的一个基底
3.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为 ( )
A.a-b+2c B.a-b-2c
C.-a+b+c D.a-b+c
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则MN的长为 ( )
A.a B.a
C.a D.a
5.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是边CB,OA的中点,点G在线段MN上,且使NG=2GM,用向量,,正确表示向量的是 ( )
A.=++
B.=++
C.=++
D.=++
6.已知{a,b,c}是空间的一个基底,向量p=3a+b+c,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,向量p=x(a+b)+y(a-b)+c,则x+y= .
7.在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面),连接对应顶点.设=a,=b,=c,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,用基底{a,b,c}表示向量+的结果为 .
8.在正四面体PABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若=x+y+z,则x+y+z的值为 .
9.如图,已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.
(1)化简++;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.
10.如图,已知空间四边形ABCD各边的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的长.
B级——应用创新
11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF=DD1,记=x+y+z,若x+y+z=,则等于 ( )
A. B.
C. D.
12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM= ( )
A. B.
C. D.
13.[多选]如图,已知AO⊥平面OBC,∠BOC=,OA=OB=2,OC=3,E为AB的中点,=3,则以下正确的是 ( )
A.OF=
B.EF=
C.AB与OC夹角的余弦值为
D.OE与OF夹角的余弦值为
14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的夹角为 .
15.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是A'D',DD',D'C'的中点,请选择恰当的基向量证明:
(1)EG∥AC;
(2)平面EFG∥平面AB'C.
课时跟踪检测(五)
1.选ACD A正确,若四点共线,则,,共面,构不成基底;B错误,C正确,若四点共面,则,,共面,构不成基底;D正确,若有三点共线,则这四点共面,,,构不成基底.
2.选ABC 因为{,,}与{,,}均不能构成空间的一个基底,且A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线,所以空间五点A,B,C,D,E共面,所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底,所以A、B、C正确,D错误.
3.选D =+=+=+(-)=a-b+c.
4.选A 设=i,=j,=k,=++=i+j+(-j+k)=i+j+k,故||2=a2+a2+a2=a2,所以MN=a.
5.选C 根据题意可得=+,由NG=2GM可得=,所以=+=+(+)=+×(+)=×+(+)=++.
6.解析:∵p=x(a+b)+y(a-b)+c=(x+y)a+(x-y)b+c,且p=3a+b+c,∴x+y=3.
答案:3
7.解析:如图,+=(+)+(+)=++=b+(a+b)+(a+c)=a+b+c.
答案:a+b+c
8.解析:如图所示,连接PN,=+=-+(+)=-++,∴x=-,y=,z=.
∴x+y+z=.
答案:
9.解:(1)∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体,∴++=++=.
(2)∵=+=+=(-)+(+)=++,又=α+β+γ,∴α=,β=,γ=.
10.解:(1)证明:设=p,=q,=r.
由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°.
∵=-=(+)-=(q+r-p),∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0,∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
(2)由(1)可知=(q+r-p).
∴||2=(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]==×2a2=.
∴||=a,∴MN的长为a.
11.选B 设=λ,因为=+++=-λ-++=-λ-++=-++,所以x=-1,y=1,z=-λ.
因为x+y+z=-λ=,所以λ=.
12.选C 如图,=++=++(-)=++,
故||2==||2+||2+||2+·+·+·,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知AA1⊥AC,AA1⊥AB,在△ABC中,由AB=AC=BC,则∠BAC=60°,由AA1=AB=AC=1,则=+1++×1×1×=,则AM=.
13.选ABC 因为AO⊥平面OBC,OB,OC 平面OBC,所以OA⊥OB,OA⊥OC,所以·=0,·=0,·=||·||cos=-3,在△OAC中,=+=+(-)=+,所以||====,所以A正确;在△OEF中,=-=+-(+)=-+ ,||2==++-·+·-·=+1+1+1=,故||=,所以B正确;因为=-,·=(-)·=·-·=-3,||==2,cos<,>===-,所以AB与OC夹角的余弦值为,所以C正确;由以上知OF=,EF=,且OE=AB=,在△OEF中,由余弦定理得cos∠EOF==,所以D错误.
14.解析:=+,=-=+---=+---=--,故·=·=-·-·+·--·=×4-×8=0,即⊥,则AM与PM的夹角为90°.
答案:90°
15.证明:取基底{,,}.
(1)因为=+=+,=+=2,所以∥,
又EG,AC无公共点,所以EG∥AC.
(2)因为=+=+,=+=2,
所以∥,又FG,AB'无公共点,
所以FG∥AB'.
又FG 平面AB'C,AB' 平面AB'C,
所以FG∥平面AB'C.
又由(1)知EG∥AC,由EG 平面AB'C,AC 平面AB'C,可得EG∥平面AB'C,
又FG∩EG=G,FG,EG 平面EFG,
所以平面EFG∥平面AB'C.
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