6.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间向量的坐标表示及线性运算
(概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用直角坐标系刻画点的位置.
2.能借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)得到顶点的坐标.
3.掌握空间向量线性运算的坐标表示.
逐点清(一) 空间向量的坐标表示
[多维度理解]
1.空间直角坐标系
如图,在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴: ,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个 ,点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为 平面、 平面和 平面.
2.空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,有序实数组 叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a= .
微点助解 点P(a,b,c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标
x轴 (a,-b,-c)
y轴 (-a,b,-c)
z轴 (-a,-b,c)
xOy平面 (a,b,-c)
yOz平面 (-a,b,c)
zOx平面 (a,-b,c)
坐标原点 (-a,-b,-c)
记忆口诀:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反.
[细微点练明]
1.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,点P是棱B1C1的中点,则点P的坐标为 ( )
A.(3,5,4) B.
C. D.
2.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,,的坐标分别为 .
3.在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标;
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标;
(3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标.
逐点清(二) 空间向量的坐标运算
[多维度理解]
(1)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
①a+b= ;
②a-b= ;
③λa= (λ∈R).
(2)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=-= .即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的 .
[细微点练明]
1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则a-b+2c= ( )
A.(-9,-3,0) B.(0,2,-1)
C.(9,3,0) D.(9,0,0)
2.已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,则c= ( )
A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
3.已知i,j,k是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且=3k,=-i+j-k,则点B的坐标为 ( )
A.(1,-1,1) B.(-1,1,1)
C.(1,-1,2) D.(-1,1,2)
4.在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为 ( )
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)
逐点清(三) 空间向量平行的坐标表示
[多维度理解]
已知空间向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),且a≠0,则a∥b b=λa (λ∈R).
[细微点练明]
1.已知向量a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),若a∥b,则实数t的值为 ( )
A.-5 B.-6
C.-4 D.-3
2.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则 ( )
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
3.已知空间两点A(1,2,-1),B(2,0,1),点P(-1,a,b)在直线AB上运动,则ab= .
4.已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),求证:四边形ABCD是一个梯形.
第1课时 空间向量的坐标表示及线性运算
[逐点清(一)]
[多维度理解] 1.x轴、y轴、z轴
空间直角坐标系O-xyz xOy yOz zOx 2.(a1,a2,a3) (a1,a2,a3)
[细微点练明]
1.选C 由题图可知,B1(3,5,4),C1(0,5,4),因为点P是棱B1C1的中点,所以由中点坐标公式可得P.
2.解析:设,,同向的单位方向向量分别为i,j,k.因为=-=-(+)=-=---=-2i-j-4k,所以=(-2,-1,-4).
因为=-=-(+)=--=-4i+2j-4k,所以=(-4,2,-4).
答案:(-2,-1,-4),(-4,2,-4)
3.解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,
所以对称点坐标为P1(-2,-1,-4).
(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,
所以对称点坐标为P2(-2,1,-4).
(3)设对称点为P3(x,y,z),
则点M为线段PP3的中点,
由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,
所以P3的坐标为(6,-3,-12).
[逐点清(二)]
[多维度理解] (1)(x1+x2,y1+y2,z1+z2) (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (λx1,λy1,λz1)
(2)(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 终点坐标减去它的起点坐标
[细微点练明]
1.选C a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0).
2.选B ∵向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,∴c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
3.选D 由题设知=(0,0,3),=(-1,1,-1),∴=-,设B(x,y,z),则(-1,1,-1)=(x,y,z-3),易得x=-1,y=1,z=2,∴B(-1,1,2).
4.选B 如图,取AC中点M,连接ME,MF, 则==,
==,所以=-=(-2,-3,-3).
[逐点清(三)]
[多维度理解] x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1
[细微点练明]
1.选B 因为a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1)且a∥b,所以存在实数m,使得a=mb,
即(t,12,-3)=m(2,t+2,1),所以解得
2.选B 因为a=(1,2,-y),b=(x,1,2),所以a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).因为(a+2b)∥(2a-b),
所以==,解得x=,y=-4.
3.解析:依题意得,=(-2,a-2,b+1),=(1,-2,2).因为点P在直线AB上运动,所以存在非零实数λ,使得=λ,即(-2,a-2,b+1)=λ(1,-2,2),则解得所以ab=-30.
答案:-30
4.证明:∵=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),
∴==,
∴与共线,即AB∥CD.
又∵=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2),
∴≠≠,∴与不平行.
∴四边形ABCD为梯形.
1 / 4(共52张PPT)
空间向量的坐标表示
6.2.2
空间向量的坐标表示及线性运算
(概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用直角坐标系刻画点的位置.
2.能借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)得到顶点的坐标.
3.掌握空间向量线性运算的坐标表示.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 空间向量的坐标表示
逐点清(二) 空间向量的坐标运算
逐点清(三) 空间向量平行的
坐标表示
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 空间向量的坐标
表示
01
多维度理解
1.空间直角坐标系
如图,在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:______________,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个____________________,点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为______平面、______平面和_______平面.
x轴、y轴、z轴
空间直角坐标系O-xyz
xOy
yOz
zOx
2.空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,有序实数组___________叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=________.
(a1,a2,a3)
(a1,a2,a3)
微点助解 点P(a,b,c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标
x轴 (a,-b,-c)
y轴 (-a,b,-c)
z轴 (-a,-b,c)
xOy平面 (a,b,-c)
续表
记忆口诀:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反.
yOz平面 (-a,b,c)
zOx平面 (a,-b,c)
坐标原点 (-a,-b,-c)
1.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,点P是棱B1C1的中点,则点P的坐标为 ( )
A.(3,5,4) B.
C. D.
√
细微点练明
解析:由题图可知,B1(3,5,4),C1(0,5,4),因为点P是棱B1C1的中点,所以由中点坐标公式可得P.
2.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,,的坐标分别为 .
(-2,-1,-4),(-4,2,-4)
解析:设,,同向的单位方向向量分别为i,j,k.
因为=-=-(+)=-
=---=-2i-j-4k,所以=(-2,-1,-4).
因为=-=-(+)=--=-4i+2j-4k,
所以=(-4,2,-4).
3.在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标;
解:由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点坐标为P1(-2,-1,-4).
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标;
解:由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点坐标为P2(-2,1,-4).
(3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标.
解: 设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,
由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,
y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3的坐标为(6,-3,-12).
逐点清(二) 空间向量的坐标 运算
02
多维度理解
(1)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
①a+b=_________________;
②a-b=_______________;
③λa=____________ (λ∈R).
(2)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=-=_________________.即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的__________________________.
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
(λx1,λy1,λz1)
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
终点坐标减去它的起点坐标
1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则a-b+2c= ( )
A.(-9,-3,0) B.(0,2,-1)
C.(9,3,0) D.(9,0,0)
解析:a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0).
√
细微点练明
2.已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,则c=( )
A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
解析:∵向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,∴c=4a+2b=
(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
√
3.已知i,j,k是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且=3k,=-i+j-k,则点B的坐标为( )
A.(1,-1,1) B.(-1,1,1)
C.(1,-1,2) D.(-1,1,2)
解析:由题设知=(0,0,3),=(-1,1,-1),∴=-,设B(x,y,z),则(-1,1,-1)=(x,y,z-3),易得x=-1,y=1,z=2,∴B(-1,1,2).
√
4.在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为( )
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)
√
解析:选B 如图,取AC中点M,连接ME,MF, 则==,
==,所以=-=(-2,-3,-3).
逐点清(三) 空间向量平行的
坐标表示
03
多维度理解
已知空间向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),且a≠0,则a∥b b=λa
___________________________ (λ∈R).
x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1
1.已知向量a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),若a∥b,则实数t的值为 ( )
A.-5 B.-6
C.-4 D.-3
解析:因为a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1)且a∥b,所以存在实数m,使得a=mb,即(t,12,-3)=m(2,t+2,1),所以解得
√
细微点练明
2.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则 ( )
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
解析:因为a=(1,2,-y),b=(x,1,2),所以a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).因为(a+2b)∥(2a-b),所以==,解得x=,y=-4.
√
3.已知空间两点A(1,2,-1),B(2,0,1),点P(-1,a,b)在直线AB上运动,则ab= .
解析:依题意得,=(-2,a-2,b+1),=(1,-2,2).因为点P在直线AB上运动,所以存在非零实数λ,使得=λ,即(-2,a-2,b+1)=λ(1,-2,2),则解得所以ab=-30.
-30
4.已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),求证:四边形ABCD是一个梯形.
证明:∵=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,
-3)=(4,-6,6),∴==,∴与共线,即AB∥CD.
又∵=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),=(-1,1,-3)-(1,2,-1)
=(-2,-1,-2),∴≠≠,∴与不平行.∴四边形ABCD为梯形.
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1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的 ( )
A.y轴上 B.xOy平面上
C.zOx平面上 D.第一象限内
解析:因为点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在zOx平面上.
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2.在空间直角坐标系中,已知点M(-1,2,3),过该点作x轴的垂线,垂足为H,则H点的坐标为 ( )
A.(-1,2,0) B.(-1,0,3)
C.(-1,0,0) D.(0,2,3)
解析:因为垂足H在 x轴上,故点H与点M的横坐标相同,其余两个坐标分量均为0,故选C.
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3.已知向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),c=(1,-1,2),则向量a-b+4c的坐标为 ( )
A.(5,-1,4) B.(5,1,-4)
C.(-5,1,4) D.(-5,-1,4)
解析:向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),c=(1,-1,2),则向量a-b+4c=(3,5,-1)-(2,2,3)+4(1,-1,2)=(5,-1,4),故选A.
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4.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标是(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,
c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是 ( )
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
解析:设O为坐标原点,则=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+
4(k+i)=12i+14j+10k,故点A在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10).
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5.[多选]下列各组向量中共面的组为 ( )
A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)
B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)
C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)
D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)
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解析: A中,设a=x b+y c,则解得
故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,∴a,b,c共面;
B中,b=-2c,C中,c=a-b,故B、C中三个向量共面;
D中,设a=xb+yc,则显然无解,故a,b,c不共面.
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6.已知空间向量a=(2m-3,n+2,3),b=(2m+1,3n-2,6),若a∥b,则2m+n= ( )
A.11 B.12
C.13 D.14
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解析:因为a=(2m-3,n+2,3),b=(2m+1,3n-2,6),且a∥b,
所以存在实数λ,使得a=λb,所以(2m-3,n+2,3)=λ(2m+1,3n-2,6),
即解得所以2m+n=13.
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7.设e1,e2,e3为空间的三个不同向量,如果λ1e1+λ2e2+λ3e3=0成立的等价条件为λ1=λ2=λ3=0,则称e1,e2,e3线性无关,否则称它们线性相关.若a=(2,1,-3),b=(1,0,2),c=(1,-1,m)线性相关,则m等于 ( )
A.9 B.7
C.5 D.3
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解析:依题意知,三个向量线性相关,则存在不全为0的实数x,y,z,
使得xa+yb+zc=0成立;即由
得x=z,y=-3z,代入-3x+2y+mz=0,得(m-9)z=0.由于x,y,z不全为0,
所以z≠0,所以m=9.
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8.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,AB=2AA1=2AC,=,=3,若=x+y+z,则x+y+z=( )
A. B.
C. D.
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解析:如图,以A1为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨令AB=4,则A(2,0,0),B(2,4,0),
A1(0,0,0),C(2,0,2),M(0,0,1),N.
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因为=3,所以G,则=,=(-2,0,0),
=(0,4,0),=(0,0,2),则解得故x+y+z=.
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9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB=AD
=2,BB1=1,则的坐标为 ,的坐标为 .
解析:因为A(0,0,0),D1(0,2,1),C1(2,2,1),所以=(0,2,1),=(2,2,1).
(0,2,1)
(2,2,1)
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10.点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是 ,
, .
解析:P(2,3,4)在x轴上的射影为(2,0,0),在y轴上的射影为(0,3,0),在z轴上的射影为(0,0,4).
(2,0,0)
(0,3,0)
(0,0,4)
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11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n= .
解析:因为=(m-1,1,m-2n-3),=(2,-2,6),A,B,C三点共线,所以==,解得m=0,n=0,故m+n=0.
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12.已知单位向量i,j,k两两的夹角均为θ,若空间向量a满足a=xi+yj+zk,则有序实数组(x,y,z)称为向量a在“仿射”坐标系O-xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作a=(x,y,z)θ.若=
(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1),则三棱锥O-ABC的表面积为 .
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解析:由题意可知,=(1,0,0)=i,则||=1.
同理可得||=||=1.∵=-=(-1,1,0)
=-i+j,∴||====1.同理可得||=||=1,即三棱锥O-ABC为正四面体,棱长为1,其表面积为S=4××=.
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13.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,
AA'=3.求:
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(1)向量,,的坐标;
解:易知A(0,0,0),C'(1,2,3),B(1,0,0),D'(0,2,3),则=(1,2,3),
=(-1,2,3),=(0,2,3).
(2)+2,+-2的坐标.
解: +2=(1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9),+-2=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0).
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14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DC=4,DD1=3,点P是线段BD1上一动点,E是BC的中点,当点P在什么位置时,PE∥A1B
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解:以D为原点,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则A1(4,0,3),
B(4,4,0),
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C(0,4,0),D1(0,0,3).∵E为BC的中点,∴E(2,4,0).∴=
(4,4,0)-(4,0,3)=(0,4,-3),=(0,0,3)-(4,4,0)=(-4,-4,3),
=(4,4,0)-(2,4,0)=(2,0,0).设=λ,则=+=
+λ.∵=(2,0,0),λ=(-4λ,-4λ,3λ),∴=(2-4λ,-4λ,3λ).
由PE∥A1B,得∥,∴∴λ=.
此时点P为BD1的中点.故当点P为BD1的中点时,PE∥A1B.课时跟踪检测(六) 空间向量的坐标表示及线性运算
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的 ( )
A.y轴上 B.xOy平面上
C.zOx平面上 D.第一象限内
2.在空间直角坐标系中,已知点M(-1,2,3),过该点作x轴的垂线,垂足为H,则H点的坐标为 ( )
A.(-1,2,0) B.(-1,0,3)
C.(-1,0,0) D.(0,2,3)
3.已知向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),c=(1,-1,2),则向量a-b+4c的坐标为 ( )
A.(5,-1,4) B.(5,1,-4)
C.(-5,1,4) D.(-5,-1,4)
4.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标是(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是 ( )
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
5.[多选]下列各组向量中共面的组为 ( )
A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)
B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)
C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)
D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)
6.已知空间向量a=(2m-3,n+2,3),b=(2m+1,3n-2,6),若a∥b,则2m+n= ( )
A.11 B.12
C.13 D.14
7.设e1,e2,e3为空间的三个不同向量,如果λ1e1+λ2e2+λ3e3=0成立的等价条件为λ1=λ2=λ3=0,则称e1,e2,e3线性无关,否则称它们线性相关.若a=(2,1,-3),b=(1,0,2),c=(1,-1,m)线性相关,则m等于 ( )
A.9 B.7
C.5 D.3
8.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,AB=2AA1=2AC,=,=3,若=x+y+z,则x+y+z= ( )
A. B.
C. D.
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB=AD=2,BB1=1,则的坐标为 ,的坐标为 .
10.点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是 , , .
11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n= .
12.已知单位向量i,j,k两两的夹角均为θ,若空间向量a满足a=xi+yj+zk,则有序实数组(x,y,z)称为向量a在“仿射”坐标系O-xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作a=(x,y,z)θ.若=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1),则三棱锥O-ABC的表面积为 .
13.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.求:
(1)向量,,的坐标;
(2)+2,+-2的坐标.
14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DC=4,DD1=3,点P是线段BD1上一动点,E是BC的中点,当点P在什么位置时,PE∥A1B
课时跟踪检测(六)
1.选C 因为点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在zOx平面上.
2.选C 因为垂足H在 x轴上,故点H与点M的横坐标相同,其余两个坐标分量均为0,故选C.
3.选A 向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),c=(1,-1,2),则向量a-b+4c=(3,5,-1)-(2,2,3)+4(1,-1,2)=(5,-1,4),故选A.
4.选A 设O为坐标原点,则=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故点A在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10).
5.选ABC A中,设a=x b+y c,
则解得
故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,∴a,b,c共面;B中,b=-2c,C中,c=a-b,故B、C中三个向量共面;D中,设a=xb+yc,则显然无解,故a,b,c不共面.
6.选C 因为a=(2m-3,n+2,3),b=(2m+1,3n-2,6),且a∥b,所以存在实数λ,使得a=λb,所以(2m-3,n+2,3)=λ(2m+1,3n-2,6),
即解得所以2m+n=13.
7.选A 依题意知,三个向量线性相关,则存在不全为0的实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0成立;
即由
得x=z,y=-3z,
代入-3x+2y+mz=0,得(m-9)z=0.
由于x,y,z不全为0,
所以z≠0,所以m=9.
8.选C 如图,以A1为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
不妨令AB=4,则A(2,0,0),B(2,4,0),A1(0,0,0),C(2,0,2),M(0,0,1),N.因为=3,所以G,则=,=(-2,0,0),=(0,4,0),=(0,0,2),则解得故x+y+z=.
9.解析:因为A(0,0,0),D1(0,2,1),C1(2,2,1),所以=(0,2,1),=(2,2,1).
答案:(0,2,1) (2,2,1)
10.解析:P(2,3,4)在x轴上的射影为(2,0,0),在y轴上的射影为(0,3,0),在z轴上的射影为(0,0,4).
答案:(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)
11.解析:因为=(m-1,1,m-2n-3),=(2,-2,6),A,B,C三点共线,所以==,解得m=0,n=0,故m+n=0.
答案:0
12.解析:由题意可知,=(1,0,0)=i,则||=1.同理可得||=||=1.∵=-=(-1,1,0)=-i+j,∴||====1.同理可得||=||=1,即三棱锥O-ABC为正四面体,棱长为1,其表面积为S=4××=.
答案:
13.解:(1)易知A(0,0,0),C'(1,2,3),B(1,0,0),D'(0,2,3),则=(1,2,3),=(-1,2,3),=(0,2,3).
(2)+2=(1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9),+-2=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0).
14.解:以D为原点,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则A1(4,0,3),B(4,4,0), C(0,4,0),D1(0,0,3).
∵E为BC的中点,
∴E(2,4,0).
∴=(4,4,0)-(4,0,3)=(0,4,-3),
=(0,0,3)-(4,4,0)=(-4,-4,3),
=(4,4,0)-(2,4,0)=(2,0,0).
设=λ,则=+=+λ.
∵=(2,0,0),λ=(-4λ,-4λ,3λ),
∴=(2-4λ,-4λ,3λ).
由PE∥A1B,得∥,
∴∴λ=.
此时点P为BD1的中点.故当点P为BD1的中点时,PE∥A1B.
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