6.3.4 空间距离的计算
第1课时 空间距离的计算(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.
2.体会向量方法在解决几何问题中的作用.
1.点到平面的距离
若P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向量,点P到平面α的距离d= .
2.点到直线的距离
(1)若P为直线l外一点,A是l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,取一个与直线l垂直的向量n,则点P到直线l的距离为d= .
(2)设e是直线l的方向向量,则点P到直线l的距离为d= .
[基点训练]
1.已知A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则点A到直线BC的距离为 ( )
A.2 B.
C.4 D.
2.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为 ( )
A. B.
C. D.
3.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是 ( )
A. B.
C. D.
题型(一) 点到直线的距离
[例1] 如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
听课记录:
[思维建模] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的单位方向向量u.
(3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a.
(4)利用公式PQ=计算点到直线的距离.
[针对训练]
1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,点M是AD的中点,
求点M到直线B'D'的距离.
题型(二) 点到平面的距离
[例2] 如图,P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,AB=AA1=2.
(1)求平面PBC的法向量;
(2)求点O到平面PBC的距离.
听课记录:
[思维建模] 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求出该平面的一个法向量.
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.
[针对训练]
2.如图,将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,求点D到平面ABC的距离.
题型(三) 线面距与面面距
[例3] 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求:
(1)直线MN与平面OCD的距离;
(2)平面MNR与平面OCD的距离.
听课记录:
[思维建模] 用向量法研究空间距离问题的一般步骤
(1)确定法向量;
(2)选择参考向量;
(3)利用公式求解.
[针对训练]
3.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离.
第1课时 空间距离的计算
课前环节
1.
2.(1) (2)||sin<,e>
[基点训练]
1.选B 由题意可得,=(2,-1,0),=(0,-1,2),所以点A到直线BC的距离为==.
2.选A 依题意,=(0,1,2),又a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d===.
3.选C 因为点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),所以=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得y=1,z=,则n=,所以d==,故选C.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0).
直线A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以点B到直线A1C1的距离
d===.
[针对训练]
1.解:连接D'M,建立如图所示的空间直角坐标系,M(1,0,0),D'(0,0,3),B'(2,1,3),=(-1,0,3),=(2,1,0),
所以点M到直线B'D'的距离为==.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)因为P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接OA,OB,OC,OP,所以OA,OB,OP两两互相垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为AB=AA1=2,所以OA=OC=OB=2,OP=AA1=2,
所以B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),所以=(0,2,-2),=(-2,0,-2).
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则
取z=1,则x=-1,y=1,所以m=(-1,1,1),所以平面PBC的一个法向量为(-1,1,1).
(2)由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1,1,1),又=(0,2,0),
所以点O到平面PBC的距离d===,
所以点O到平面PBC的距离为.
[针对训练]
2.解:设O是BD的中点,连接OA,OC,由于折叠前四边形ABCD是正方形,边长为,所以OA=OB=OC=OD=1.依题意,平面ABD⊥平面BCD且交线为BD,
OA 平面ABD,OA⊥BD,所以OA⊥平面BCD,由于OC 平面BCD,所以OA⊥OC,则OA,OC,OD两两相互垂直,以O为原点建立
如图所示的空间直角坐标系,则D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,1),C(1,0,0),=(0,2,0),=(0,1,1),=(1,1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则故可设n=(1,-1,1),
所以点D到平面ABC的距离为==.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),
因为M,R分别为OA,AD的中点,
则MR∥OD,
因为MR 平面OCD,OD 平面OCD,
所以MR∥平面OCD,因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD,
所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD,
因为RN 平面OCD,CD 平面OCD,所以RN∥平面OCD,因为MR∩RN=R,MR,RN 平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
因为MN 平面MNR,所以MN∥平面OCD,
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),
=(2,0,0),=(0,-2,2),则
取y=1,可得n=(0,1,1),=(0,1,0),所以直线MN与平面OCD的距离为d1===.
(2)因为平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD的距离为d2===.
[针对训练]
3.解:∵A1B1∥AB,A1B1 平面ABE,AB 平面ABE,∴A1B1∥平面ABE,
∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.
如图,以D为坐标原点,
分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,,1),C(0,,0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=,∴B(1,2,0),∴=(0,2,0),=(-1,-,1).
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则即
∴y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1).
∵=(0,0,2),∴点A1到平面ABE的距离d===.
∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,
∴直线A1B1与平面ABE的距离为.
4 / 4(共72张PPT)
6.3.4
空间距离的计算
空间距离的计算
(强基课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.
2.体会向量方法在解决几何问题中的作用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.点到平面的距离
若P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α
的法向量,点P到平面α的距离d=__________.
2.点到直线的距离
(1)若P为直线l外一点,A是l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,
取一个与直线l垂直的向量n,则点P到直线l的距离为d=________.
(2)设e是直线l的方向向量,则点P到直线l的距离为d=______________.
||sin<,e>
1.已知A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则点A到直线BC的距离为 ( )
A.2 B. C.4 D.
解析:由题意可得,=(2,-1,0),=(0,-1,2),所以点A到直线BC的距离为==.
基点训练
√
2.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为 ( )
A. B.
C. D.
解析:依题意,=(0,1,2),又a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d===.
√
3.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:因为点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),所以=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则
即令x=1,得y=1,z=,则n=,所以d==,故选C.
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 点到直线的距离
[例1] 如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,
∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0).直线A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),
所以点B到直线A1C1的距离d===.
[思维建模] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的单位方向向量u.
(3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a.
(4)利用公式PQ=计算点到直线的距离.
针对训练
1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,点M是AD的中点,求点M到直线B'D'的距离.
解:连接D'M,建立如图所示的空间直角坐标系,M(1,0,0),D'(0,0,3),
B'(2,1,3),=(-1,0,3),=(2,1,0),
所以点M到直线B'D'的距离为==.
题型(二) 点到平面的距离
[例2] 如图,P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,AB=AA1=2.
(1)求平面PBC的法向量;
解:因为P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接OA,OB,OC,OP,所以OA,OB,OP两两互相垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为AB=AA1=2,所以OA=OC=OB=2,OP=AA1=2,
所以B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),所以=(0,2,-2),=(-2,0,-2).
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则
取z=1,则x=-1,y=1,所以m=(-1,1,1),
所以平面PBC的一个法向量为(-1,1,1).
(2)求点O到平面PBC的距离.
解: 由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1,1,1),又=(0,2,0),
所以点O到平面PBC的距离d===,
所以点O到平面PBC的距离为.
[思维建模] 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求出该平面的一个法向量.
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.
针对训练
2.如图,将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,求点D到平面ABC的距离.
解:设O是BD的中点,连接OA,OC,由于折叠前四边形ABCD是正方形,边长为,所以OA=OB=OC=OD=1.依题意,平面ABD⊥平面BCD且交线为BD,OA 平面ABD,OA⊥BD,所以OA⊥平面BCD,由于OC 平面BCD,所以OA⊥OC,则OA,OC,OD两两相互垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,1),C(1,0,0),=(0,2,0),=(0,1,1),=(1,1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则
故可设n=(1,-1,1),
所以点D到平面ABC的距离为==.
题型(三) 线面距与面面距
[例3] 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求:
(1)直线MN与平面OCD的距离;
解:因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD,因为MR 平面OCD,OD 平面OCD,
所以MR∥平面OCD,因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD,所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD,
因为RN 平面OCD,CD 平面OCD,所以RN∥平面OCD,
因为MR∩RN=R,MR,RN 平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
因为MN 平面MNR,所以MN∥平面OCD,
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),=(2,0,0),=(0,-2,2),
取y=1,可得n=(0,1,1),=(0,1,0),
所以直线MN与平面OCD的距离为d1===.
(2)平面MNR与平面OCD的距离.
解: 因为平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD的距离为d2===.
[思维建模] 用向量法研究空间距离问题的一般步骤
(1)确定法向量;
(2)选择参考向量;
(3)利用公式求解.
针对训练
3.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离.
解:∵A1B1∥AB,A1B1 平面ABE,AB 平面ABE,∴A1B1∥平面ABE,
∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,,1),C(0,,0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=,∴B(1,2,0),∴=(0,2,0),=(-1,-,1).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则即
∴y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1).
∵=(0,0,2),∴点A1到平面ABE的距离d===.
∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,
∴直线A1B1与平面ABE的距离为.
课时跟踪检测
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3
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2
A级——综合提能
1.已知A(1,2,0),B(3,1,2),C(2,0,4),则点C到直线AB的距离为( )
A.2 B. C.2 D.2
解析:设点C到直线AB的距离为d,因为=(2,-1,2),=(1,-2,4),所以d===.
√
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2.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1),=(-1,-1,2),A α,B∈α,则点A到平面α的距离为( )
A.1 B. C. D.
解析:因为=(-1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(1,2,1),所以点A到平面α的距离为=.
√
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2
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为 ( )
A. B.
C. D.
√
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2
解析:选C 建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=,=(0,0,1),所以点C1到直线EC的距离d= ==.
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4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为BB1的中点,则直线FC1到平面AB1E的距离为 ( )
A. B. C. D.
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解析:由题意易知直线FC1∥平面AB1E,所以F到平面AB1E的距离即为直线FC1到平面AB1E的距离.建立如图所示的空间直角坐标系,
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则A(1,0,0),E,B1(1,1,1),F,C1(0,1,1),
所以=,=(0,1,1),=,
设平面AB1E的法向量n=(x,y,z),则即取z=2,则x=1,y=-2,所以n=(1,-2,2),所以F到平面AB1E的距离d===.
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5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=6,点E,F分别为棱BB1,AC的中点,则点C1到平面A1EF的距离为 ( )
A. B.
C. D.
√
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2
解析:如图,取A1C1的中点G,连接FG,以F为坐标原点,FB,FC,FG所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
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2
则F(0,0,0),A1(0,-1,6),E(,0,3),C1(0,1,6),所以=(0,-1,6),=(,0,3),=(0,1,6),设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),
所以令z=1,解得x=-,y=6,所以平面A1EF的一个法向量为n=(-,6,1),所以点C1到平面A1EF的距离d==.
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6.在四棱锥S-ABCD中,=(4,-1,0),=(0,3,0),=(-3,1,-5),则这个四棱锥的高h为 .
解析:设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则所以x=y=0,所以取n=(0,0,1),所以此四棱锥的高h===5.
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7.在空间直角坐标系O-xyz中,A(1,2,1),B(2,1,m),C(0,1,2),若点C到直线AB的距离不小于,写出一个满足条件的m的值:_________________
_______________________.
解析:因为=(1,-1,m-1),=(-1,-1,1),所以点C到直线AB的距离d==≥,解得1-≤m≤1+.
1(答案不唯一,只要
1-≤m≤1+即可)
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8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 .
解析:因为B1D1∥BD,B1D1 平面BDC1,BD 平面BDC1,所以B1D1∥平面BDC1,同理AD1∥平面BDC1,又B1D1∩AD1=D1,所以平面AB1D1∥平面BDC1,则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.
a
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如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
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则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),D1(0,0,a),
则=(0,a,a),=(-a,-a,0),=(0,-a,0).设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=-1,z=1,
则n=(1,-1,1),则点B到平面AB1D1的距离d===a,所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为a.
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9.如图,长方体ABCD-A'B'C'D'的顶点坐标为B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),
A'(0,0,2),B'(1,0,2),D'(0,2,2),E和F分别是棱DD'和BB'的中点,求CE与A'F之间的距离.
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解:因为E和F分别是棱DD'和BB'的中点,则E(0,2,1),F(1,0,1).
又=(-1,0,1),=(1,0,-1),且直线CE与A'F无公共点,所以CE∥A'F.
因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A'F之间的距离.
又因为=(-1,0,1),=(0,2,-1),所以点F到直线CE的距离d===.因此CE与A'F之间的距离为.
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10.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,求点D到平面ACE的距离.
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解:取AB的中点O,连接OE.因为△AEB是等腰直角三角形,所以OE⊥AB,OE=OA=1.由已知得,平面ABCD⊥平面AEB,平面ABCD∩平面AEB=AB,所以OE⊥平面ABCD.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC),
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则C(0,1,2),A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),
所以=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),
则即
令y=1,∴n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d===.
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B级——应用创新
11.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=2,
AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,P是A1B1的中点,则点A到平面MNP的距离为( )
A. B. C. D.
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解析:选D 如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
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连接AM,则A(0,0,0),M(0,2,1),N(1,1,0),P(1,0,2),
所以=(-1,2,-1),=(0,1,-2),=(0,2,1),设平面MNP的法向量为u=(x,y,z),则令y=2,则x=3,z=1,
所以平面MNP的一个法向量u=(3,2,1),所以点A到平面MNP的距离为==.
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12.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,则O到直线EF的距离为 ( )
A.2 B.1 C. D.
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解析:以A为原点,AB,AC,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
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则B(6,0,0),C(0,6,0),D(0,0,6),E(3,0,0),F(0,0,4),得O(2,2,2),=(-3,0,4),
取a==(-1,2,2),u==(-3,0,4)=,则a2=9,a·u=,
所以点O到直线EF的距离为 =.
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13.如图,四棱锥P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,△PBC是等边三角形,M,N分别为AB和PC的中点,则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .
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解析:连接AC,BD相交于点O,O点为底面ABCD的中心,取BC中点为E,连接EO,EP,则EP⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,则EP⊥平面ABCD,以点E为原点,分别以,,为x,y,z轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
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且底面ABCD的边长为2,△PBC是等边三角形,则D(2,1,0),M(1,-1,0),
C(0,1,0),P(0,0,),则N,O(1,0,0),则=,
=,=(1,1,0).设平面DMN的法向量为n=(x,y,z),
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则解得令z=7,则y=-,x=2,所以n=(2,-,7),且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离,则d===.
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14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,
△PAB是等腰直角三角形,且∠APB=90°,平面PAB⊥平面ABCD,点E是线段PC(不含端点)上的一个动点.
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(1)设平面ADE交PB于点F,求证:EF∥平面PAD;
解:证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AD∥BC.因为AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC.因为AD 平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,所以EF∥AD.
因为EF 平面PAD,AD 平面PAD,所以EF∥平面PAD.
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(2)当点E到平面PAD的距离为时,求平面ADE与平面ABCD所成角的余弦值.
解: 在AB上取中点O,连接PO,OC,因为△PAB是等腰直角三角形,所以PO⊥AB.又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO 平面PAB,所以PO⊥平面ABCD.又OC 平面ABCD,AB 平面ABCD,所以PO⊥OC,PO⊥AB,又底面ABCD是边长为2的菱形,且∠ABC=60°,所以OC⊥AB.
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故以O为原点,以OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
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则O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,,0),D(-2,,0),P(0,0,1),=(1,,0),=
(-1,,0),=(1,0,1),=(0,-,1),设=λ=(1,-λ,λ)(0<λ<1),则=+=(1,-λ,λ).设m=(x,y,z)是平面PAD的法向量,即令y=,得m=(3,,-3),由点E到平面PAD的距离为得=,所以=,解得λ=或λ=(舍去),
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故点E为CP中点,所以E,所以=,又=(-1,,0).
设n=(a,b,c)是平面ADE的法向量,则即
令b=可得n=(3,,-9).又⊥平面ABCD,故=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,得cos<,n>===-,所以平面ADE与平面ABCD所成角的余弦值为.课时跟踪检测(十二) 空间距离的计算
A级——综合提能
1.已知A(1,2,0),B(3,1,2),C(2,0,4),则点C到直线AB的距离为 ( )
A.2 B.
C.2 D.2
2.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1),=(-1,-1,2),A α,B∈α,则点A到平面α的距离为 ( )
A.1 B.
C. D.
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为 ( )
A. B.
C. D.
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为BB1的中点,则直线FC1到平面AB1E的距离为 ( )
A. B.
C. D.
5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=6,点E,F分别为棱BB1,AC的中点,则点C1到平面A1EF的距离为 ( )
A. B.
C. D.
6.在四棱锥S-ABCD中,=(4,-1,0),=(0,3,0),=(-3,1,-5),则这个四棱锥的高h为 .
7.在空间直角坐标系O-xyz中,A(1,2,1),B(2,1,m),C(0,1,2),若点C到直线AB的距离不小于,写出一个满足条件的m的值: .
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 .
9.如图,长方体ABCD-A'B'C'D'的顶点坐标为B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),A'(0,0,2),B'(1,0,2),
D'(0,2,2),E和F分别是棱DD'和BB'的中点,求CE与A'F之间的距离.
10.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,求点D到平面ACE的距离.
B级——应用创新
11.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=2,AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,P是A1B1的中点,则点A到平面MNP的距离为 ( )
A. B.
C. D.
12.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,则O到直线EF的距离为 ( )
A.2 B.1
C. D.
13.如图,四棱锥P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,△PBC是等边三角形,M,N分别为AB和PC的中点,则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,△PAB是等腰直角三角形,且∠APB=90°,平面PAB⊥平面ABCD,点E是线段PC(不含端点)上的一个动点.
(1)设平面ADE交PB于点F,求证:EF∥平面PAD;
(2)当点E到平面PAD的距离为时,求平面ADE与平面ABCD所成角的余弦值.
课时跟踪检测(十二)
1.选B 设点C到直线AB的距离为d,
因为=(2,-1,2),=(1,-2,4),所以d===.
2.选B 因为=(-1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(1,2,1),所以点A到平面α的距离为=.
3.选C 建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=,=(0,0,1),所以点C1到直线EC的距离d= ==.
4.选D 由题意易知直线FC1∥平面AB1E,所以F到平面AB1E的距离即为直线FC1到平面AB1E的距离.建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),E,B1(1,1,1),F,C1(0,1,1),所以=,=(0,1,1),=,设平面AB1E的法向量n=(x,y,z),则即取z=2,则x=1,y=-2,所以n=(1,-2,2),所以F到平面AB1E的距离d===.
5.选C 如图,取A1C1的中点G,连接FG,以F为坐标原点,FB,FC,FG所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则F(0,0,0),A1(0,-1,6),E(,0,3),C1(0,1,6),所以=(0,-1,6),=(,0,3),=(0,1,6),设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),所以令z=1,解得x=-,y=6,所以平面A1EF的一个法向量为n=(-,6,1),所以点C1到平面A1EF的距离d==.
6.解析:设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则所以x=y=0,所以取n=(0,0,1),所以此四棱锥的高h===5.
答案:5
7.解析:因为=(1,-1,m-1),=(-1,-1,1),所以点C到直线AB的距离d==≥,解得1-≤m≤1+.
答案:1(答案不唯一,只要1-≤m≤1+即可)
8.解析:因为B1D1∥BD,B1D1 平面BDC1,BD 平面BDC1,所以B1D1∥平面BDC1,同理AD1∥平面BDC1,又B1D1∩AD1=D1,所以平面AB1D1∥平面BDC1,则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.
如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),D1(0,0,a),则=(0,a,a),=(-a,-a,0),=(0,-a,0).设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=-1,z=1,则n=(1,-1,1),则点B到平面AB1D1的距离d===a,所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为a.
答案:a
9.解:因为E和F分别是棱DD'和BB'的中点,则E(0,2,1),F(1,0,1).又=(-1,0,1),=(1,0,-1),且直线CE与A'F无公共点,
所以CE∥A'F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A'F之间的距离.
又因为=(-1,0,1),=(0,2,-1),
所以点F到直线CE的距离d===.
因此CE与A'F之间的距离为.
10.解:取AB的中点O,连接OE.
因为△AEB是等腰直角三角形,所以OE⊥AB,OE=OA=1.
由已知得,平面ABCD⊥平面AEB,平面ABCD∩平面AEB=AB,
所以OE⊥平面ABCD.
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC),
则C(0,1,2),A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),所以=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,∴n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d===.
11.选D 如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接AM,
则A(0,0,0),M(0,2,1),N(1,1,0),P(1,0,2),所以=(-1,2,-1),=(0,1,-2),=(0,2,1),设平面MNP的法向量为u=(x,y,z),则令y=2,则x=3,z=1,
所以平面MNP的一个法向量u=(3,2,1),所以点A到平面MNP的距离为==.
12.选C 以A为原点,AB,AC,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(6,0,0),C(0,6,0),D(0,0,6),E(3,0,0),F(0,0,4),得O(2,2,2),=(-3,0,4),取a==(-1,2,2),u==(-3,0,4)=,则a2=9,a·u=,所以点O到直线EF的距离为 =.
13.解析:连接AC,BD相交于点O,O点为底面ABCD的中心,取BC中点为E,连接EO,EP,则EP⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,则EP⊥平面ABCD,以点E为原点,分别以,,为x,y,z轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
且底面ABCD的边长为2,△PBC是等边三角形,则D(2,1,0),M(1,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,),则N,O(1,0,0),则=,=,=(1,1,0).设平面DMN的法向量为n=(x,y,z),
则
解得令z=7,则y=-,x=2,所以n=(2,-,7),且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离,则d===.
答案:
14.解:(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AD∥BC.因为AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC.
因为AD 平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,所以EF∥AD.
因为EF 平面PAD,AD 平面PAD,所以EF∥平面PAD.
(2)在AB上取中点O,连接PO,OC,因为△PAB是等腰直角三角形,所以PO⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO 平面PAB,所以PO⊥平面ABCD.又OC 平面ABCD,AB 平面ABCD,所以PO⊥OC,PO⊥AB,又底面ABCD是边长为2的菱形,且∠ABC=60°,所以OC⊥AB.
故以O为原点,以OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,,0),D(-2,,0),P(0,0,1),
=(1,,0),=(-1,,0),=(1,0,1),=(0,-,1),设=λ=(1,-λ,λ)(0<λ<1),则=+=(1,-λ,λ).
设m=(x,y,z)是平面PAD的法向量,则即
令y=,得m=(3,,-3),由点E到平面PAD的距离为得=,所以=,解得λ=或λ=(舍去),
故点E为CP中点,所以E,所以=,又=(-1,,0).
设n=(a,b,c)是平面ADE的法向量,
则即
令b=可得n=(3,,-9).
又⊥平面ABCD,故=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,
得cos<,n>===-,所以平面ADE与平面ABCD所成角的余弦值为.
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