阶段质量评价(二)　计数原理（含解析）高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册

阶段质量评价(二)　计数原理
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若=18,则m= (　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
2.某学校开展“五育并举”的选修课,其中体育开设了6门课,分别为篮球、足球、排球、网球、羽毛球、乒乓球,甲、乙两名学生准备从中各选择2门课学习,则甲、乙选修的课中至少有1门相同的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
3.已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等,则含x10项的系数是 (　　)
A.-8 B.8
C.4 D.-4
4.设二项式的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数的和为S.若P+S=272,则n= (　　)
A.4 B.5
C.6 D.8
5.斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,…,这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码,如果数字1与2不相邻,则小李可以设置的不同的密码个数为 (　　)
A.144 B.120
C.108 D.96
6.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n= (　　)
A.3n B.
C. D.
7.现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学,准备在A,B,C三个景点中选择一个去游玩,已知每个景点至少有一位同学会选,五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点,若学生甲和学生乙准备选同一个景点,则不同的选法种数为 (　　)
A.24 B.36
C.48 D.72
8.若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2 017”,则用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”有 (　　)
A.71个 B.66个
C.59个 D.53个
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.在校航天知识展中,航天兴趣小组准备从8名组员(其中男组员4人,女组员4人)中选4人担任讲解员,则下列说法正确的是 (　　)
A.若组员甲和组员乙同时被选中,则共有28种选法
B.若4名讲解员中既有男组员,又有女组员,则共有68种选法
C.若4名讲解员全部安排到A,B,C三个展览区,每个展览区至少1名讲解员,每名讲解员只去一个展览区,则共有5 040种选派方法
D.校航天知识展结束后,若8名组员站成一排拍照留念,且女组员相邻,则共有2 880种排法
10.关于的展开式,下列说法正确的是 (　　)
A.各项系数之和为1
B.第二项与第四项的二项式系数相等
C.常数项为60
D.有理项共有4项
11.定义有n行的“杨辉三角”为n阶杨辉三角,如图就是一个8阶“杨辉三角”.
下列命题正确的是 (　　)
A.记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为aij,则数列{aij}的通项公式为aij=
B.第k行各个数的和是2k
C.n阶“杨辉三角”中共有个数
D.n阶“杨辉三角”的所有数的和是2n-1
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树,垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树,要求2棵银杏树必须相邻,则不同的种植方法共有　　　　种.
13.(2024·上海高考)在(x+1)n的展开式中,若各项系数和为32,则展开式中x2的系数为　　　　.
14.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中个位数字小于百位数字且百位数字小于万位数字的五位数有n个,则(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)n+3的展开式中,x2的系数是　　　.(用数字作答)
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知的展开式中所有项的二项式系数和为128,各项系数和为-1.
(1)求n和a的值;
(2)求的展开式中的常数项.
16.(15分)如图,一个正方形花圃被分成5份.
(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,已知现有5种颜色不同的花,求有多少种不同的种植方法
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的放法
17.(15分)已知在(n∈N*)的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3.求:
(1)展开式中的所有有理项;
(2)展开式中系数绝对值最大的项;
(3)n+9+81+…+9n-1的值.
18.(17分)中华文化源远流长,为了让青少年更好地了解中国的传统文化,某培训中心计划利用暑期开设“围棋”“武术”“书法”“剪纸”“京剧”“刺绣”六门体验课程.
(1)若体验课连续开设六周,每周一门,求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数;
(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程,每人都选两门课程,甲和乙有一门共同的课程,丙和甲、乙的课程都不同,求所有选课的种数;
(3)计划安排A,B,C,D,E五名教师教这六门课程,每门课程只由一名教师任教,每名教师至少任教一门课程,教师A不任教“围棋”课程,教师B只能任教一门课程,求所有课程安排的种数.
19.(17分)规定=,其中x∈R,m是正整数,且=1,这是组合数(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求的值;
(2)组合数的两个性质:①=;②+=是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形 若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由;
(3)已知组合数是正整数,证明:当x∈Z,m是正整数时,∈Z.
阶段质量评价(二)
1.选D　由=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·,得m-3=3,所以m=6.
2.选C　由题意,当甲选了2门后,乙再选课,则甲、乙选修的课中没有相同的科目的概率为==,故甲、乙选修的课中至少有1门相同的概率为1-=.
3.选D　由条件可知=,所以n=12,的展开式的通项为Tr+1=x12-r·=x12-2r,r=0,1,…,12,令12-2r=10,得r=1,所以含x10项的系数是×=-4,故选D.
4.选A　令x=1,得P=4n,又二项式系数的和S=2n,因为P+S=272,所以4n+2n=272,解得2n=16,则n=4.
5.选A　先排数字2,3,5,8,有种排法,4个数字形成5个空当.第一类:若两个1相邻,则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1,有3种排法;第二类:若两个1也不相邻,则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1,有3种排法.所以密码个数为×(3+3)=144.
6.选D　在(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n中,令x=1,得3n=a0+a1+a2+a3+…+a2n,
令x=-1,得1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,
∴3n+1=2(a0+a2+a4+…+a2n),∴a0+a2+a4+…+a2n=.
7.选B　若甲、乙选择的景点没有其他人选,则分组方式为1,2,2的选法为=18种;若甲、乙选择的景点还有其他人选,则分组方式为1,1,3的选法为·=18种;所以总的不同的选法种数为18+18=36.
8.选A　根据题意,四个无重复数字且相加和为10的情况有①0,1,3,6,②0,1,4,5,③0,1,2,7,④0,2,3,5,⑤1,2,3,4,共5种,则分5种情况讨论:①当四个数字为0,1,3,6时,千位数字可以为3或6,有2种情况,将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,此时有2×6=12个“完美四位数”;②当四个数字为0,1,4,5时,千位数字可以为4或5,有2种情况,将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,此时有2×6=12个“完美四位数”;③当四个数字为0,1,2,7时,若千位数字为7,则将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,若千位数字为2,则有2 071,2 107,2 170,2 701,2 710,共5种情况,此时有6+5=11个“完美四位数”;④当四个数字为0,2,3,5时,千位数字可以为2或3或5,有3种情况,将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,此时有3×6=18个“完美四位数”;⑤当四个数字为1,2,3,4时,千位数字可以为2或3或4,有3种情况,将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,此时有3×6=18个“完美四位数”.综上,一共有12+12+11+18+18=71个“完美四位数”,故选A.
9.选BD　对于A,由题意,共有=15种选法,故A错误;对于B,由题意,共有--=68种选法,故B正确;对于C,先选好4人,共有=70种选法,然后将4人按要求分到三个展览区,有·=36种,所以共有70×36=2 520种选派方法,故C错误;对于D,由题意,共有=2 880种排法,故D正确.故选BD.
10.选ACD　对于A,令x=1,则展开式中各项系数之和为1,故A正确;
对于B,第二项的二项式系数=6,第四项的二项式系数==20,第二项与第四项的二项式系数不相等,故B错误;对于C,展开式的通项为(-2x)r=(-2)r(r=0,1,2,3,4,5,6),令-+r=0,得r=2,展开式中的常数项为(-2)2=4×15=60,故C正确;对于D,由C可知,当r=0,2,4,6时,-3+∈Z,所以展开式的有理项共有4项,故D正确.
11.选BCD　第i行各个数是(a+b)i的展开式的二项式系数,则数列{aij}的通项公式为aij=,故A错误;
各行的所有数的和是各二项式系数和,第k行各个数的和是2k,故B正确;
第k行共有(k+1)个数,从而n阶“杨辉三角”共有1+2+…+n=个数,故C正确;
n阶“杨辉三角”的所有数的和是1+2+22+…+2n-1=2n-1,故D正确.
12.解析:分两步完成:
第一步,将2棵银杏树看成一个元素,考虑其顺序,有种种植方法;
第二步,将银杏树与4棵桂花树全排列,有种种植方法.
由分步计数原理,得不同的种植方法共有=240(种).
答案:240
13.解析:由题意得2n=32,所以n=5,则(x+1)5的通项Tr+1=x5-r1r,令5-r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为=10.
答案:10
14.解析:用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数中,满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有=20个,即n=20,
当n=20时,不妨设x≠0,则(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)n+3=(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)23===-,
所以x2的系数是-=2 024-1=2 023.
答案:2 023
15.解:(1)由条件可得
解得
(2)由(1)得=(2x-x-2)·(-2x2+x-1)7.
∵(-2x2+x-1)7展开式的通项为
Tk+1=(-2x2)7-k(x-1)k
=(-2)7-kx14-3k.
∴①当14-3k=-1,即k=5时,
2x(-2)2x-1=168;
②当14-3k=2,即k=4时,
-x-2(-2)3x2=280.
∴所求的常数项为168+280=448.
16.解:(1)当种植5种颜色的花,作全排列,则有=120种;
当种植4种颜色的花,5种颜色选4种,{(A,E),(C,E),(B,C)}中选一组种植同颜色的花,余下3种颜色作全排列,则有=360种;
当种植3种颜色的花,5种颜色选3种,D位置任选一种,余下2种在{(A,E),(B,C)}分别种植,则有=60种.所以共有120+360+60=540种不同的种植方法.
(2)7个盆栽有{3,1,1,1,1},{2,2,1,1,1}2种分组方式,
以{3,1,1,1,1}分组,则=4 200种;
以{2,2,1,1,1}分组,则·=12 600种.
所以共有4 200+12 600=16 800种不同的放法.
17.解:(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3,解得n=10(n=-5舍去),
所以=,其展开式的通项为Tr+1==(-2)r·(r=0,1,2,…,10),
当5-为整数时,r可取0,6,所以展开式中的有理项为T1=(-2)0×x5=x5和T7=(-2)6×x0=13 440.
(2)设第k+1项系数的绝对值最大,
则解得≤k≤,又k∈N,所以k=7.所以展开式中系数绝对值最大的项为T8=(-2)7×=-15 360.
(3)10+9+81+…+910-1
=
=
==.
18.解:(1)第一步,先将另外四门课排好,有种情况;
第二步,将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中,有种情况;
所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有×=480种.
(2)第一步,先将甲和乙的不同课程排好,有种情况;
第二步,将甲和乙的相同课程排好,有种情况;
第三步,因为丙和甲、乙的课程都不同,所以丙的排法有种情况;
因此,所有选课种数为××=360.
(3)①当A只任教1科时:先排A任教科目,有种;再从剩下5科中排B的任教科目,有种;接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教,分三组全排列,共有种.所以当A只任教1科时,共有=5×5××3×2×1=900种;
②当A任教2科时:先选A任教的2科有种,将剩余4科平均分为4组,共有=×4×3×2×1=240种.
综上,A不任教“围棋”的课程安排方案有900+240=1 140种.
19.解:(1)==-680.
(2)性质①不能推广,例如当x=时,有定义,但无意义;
性质②能推广,它的推广形式是+=,x∈R,m是正整数,
证明:当m=1时,有+=x+1=,
当m≥2时,+
=
+
=
==.
(3)证明:当x≥m时,组合数∈Z;
当0≤x当x<0时,由x-m+1<0可知-x+m-1>0,
所以=
=(-1)m
=(-1)m.
因为组合数是正整数,
所以(-1)m∈Z.
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