第三章_概率的进一步认识_易错题追踪卷（含部分解析）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第三章 概率的进一步认识 易错题追踪卷 2025-2026学年北师大版九年级数学上册
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题（本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ，）

1.一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过多次试验后，发现摸到红球的频率稳定在，则摸到红球的概率约为（ ）
A. B. C. D.

2.同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别有到的数，则两个骰子向上的一面点数相同的概率是（ ）
A. B. C. D.

3.现有张卡片，正而分别写着“中”“考”“必”“胜”．它们除字之外完全相同，洗匀后反而向上摆放在桌面上，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“必”“胜”二字的概率是（ ）
A. B. C. D.

4.将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）
A. B. C. D.

5.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字、、．随机摸出一个小球其数字记为，不放回再随机摸出另一个小球其数字记为，则、都是关于的方程的实根的概率是（ ）
A. B. C. D.

6.如图是某公园的进口，，，是三个不同的出口，小明从处进入公园，那么从，，三个出口中恰好在出口出来的概率为（ ）
A. B. C. D.

7.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是( )
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C.暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是

8.两道单选题都含有，，，四个选项，瞎猜这两道题，恰好全部猜对的概率为
A. B. C. D.
二、 填空题（本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ，）

9.小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在附近波动，据此可以估计黑球的个数约是________个．

10.绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数
发芽的粒数
发芽的频率
则该作物种子发芽的概率约为________.

11.班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛．甲同学被选中的概率是________.

12.袋中有个白球和若干个黑球，小华从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了次后，共有次摸出白球，据此估计袋中黑球有________个．

13.不透明的盒中装着大小、外形、质地一样的红色、黑色、白色的乒乓球共个，小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的概率稳定在和，则盒子中白色球的个数很可能是________个．

14.不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是．
所有合理推断的序号是________．

15.如图，电路图上有编号为①②③④⑤共个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为________．

16.从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋袋食盐质量在之间的概率约为________．
三、 解答题（本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ，）

17.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“中国力量”，第三张卡片的正面图案为“文化中国”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的图案都是“中国力量”的概率（图案为“中国力量”的两张卡片分别记为，图案为“文化中国”的卡片记为）．

18.有两个不同形状的计算器（分别记为，）和与之匹配的保护盖（分别记为，）（如图所示）散乱地放在桌子上．
（1）若从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．
（2）若从计算器和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．

19.某中学进行九年级理化生实验操作考查，有、、C三个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，王力、李坤都要参加本次考查．
王力参加实验考查的概率是________.
用列表或画树状图的方法求王力、李坤都不参加实验考查的概率．

20.某中学进行九年级理化生实验操作考查，有、、三个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，王力、李坤都要参加本次考查．
用列表或画树状图的方法求王力、李坤都参加实验考查的概率；
他们两人都不参加实验考查的概率________．（直接写出结果）

21.在一个不透明袋子中有个红球和个白球，这些球除颜色外都相同．
从袋中任意摸出个球，用树状图或列表求摸出的个球颜色不同的概率；
在袋子中再放入个白球后，进行如下实验：从袋中随机摸出个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀．经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，求的值．

22.为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．
若只能从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为________
若从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的名学生中恰好是男女的概率．

23.某公园游戏场举行了一场活动，有一种游戏的规则是：在一个装有个红球和若干个白球（所有的球除颜色外其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到个红球就得到一个玩具．已知共有人次参加了这种游戏活动，游戏场共发放了个玩具．
求参加一次这种游戏活动得到玩具的概率；
请你估计袋中白球有多少个．
参考答案与试题解析
第三章 概率的进一步认识 易错题追踪卷 2025-2026学年北师大版九年级数学上册
一、 选择题（本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
2.
【答案】
D
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
3.
【答案】
C
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
4.
【答案】
B
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
5.
【答案】
A
【考点】
列表法与树状图法
概率公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
6.
【答案】
B
【考点】
列表法与树状图法
概率公式
【解析】
根据题意可得到所有等可能的结果数及恰好在出口出来的情况数，然后利用概率公式可求解．
【解答】
B
7.
【答案】
D
【考点】
利用频率估计概率
折线统计图
【解析】
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
【解答】
解：，在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故错误；
，一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：；故错误；
，暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故错误；
，掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故正确．
故选．
8.
【答案】
D
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
分别求出每一道题猜对的概率，再把两道题猜对的概率相乘即可．
【解答】
解：列表得
共有种情况，正确得只有其中得一种，故猜对得概率为：.
故选．
二、 填空题（本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
9.
【答案】
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
因为摸到黑球的频率在附近波动，所以摸出黑球的概率为，再设出黑球的个数，根据概率公式列方程解答即可．
【解答】
解：设黑球的个数为，
∵ 黑球的频率在附近波动，
∴ 摸出黑球的概率为，即，解得．
故答案为：.
10.
【答案】
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此可估计发芽的机会大约是．
【解答】
解：当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是．
故答案为：．
11.
【答案】
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
12.
【答案】
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
根据共摸球次，其中次摸到红球，则摸到红球与摸到黑球的次数之比为，由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为；即可计算出黑球数．
【解答】
解：∵ 共摸了次，其中次摸到白球，
∴ 有次摸到黑球，
∴ 摸到白球与摸到黑球的次数之比为，
∴ 口袋中白球和黑球个数之比为，
黑球的个数（个）．
故答案为：.
13.
【答案】
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
通过多次摸球实验摸到红色、黑色球的概率稳定在和，说明红球、黑球各占整体的、，进而得出白球占整体的＝，求的即可．
【解答】
＝个，
14.
【答案】
②③
【考点】
利用频率估计概率
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
15.
【答案】
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】
解：由题意列表得：
-
-
-
-
-
∴ 一共有种情况，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光有种情况，
∴ 任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为．
故答案为：.
16.
【答案】
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
统计表格可知：有个数据在之间，故其概率为．
【解答】
解：从表中可以看出，有个数据在之间．即个数据中，符合条件的有个，即概率为．
三、 解答题（本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）
17.
【答案】
解：画树状图如图．
由树状图知共有种可能的结果，其中两次抽取的卡片上的图案都是“中国力量”的结果数为，所以两次抽取的卡片上的图案都是“中国力量”的概率.
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：画树状图如图．
由树状图知共有种可能的结果，其中两次抽取的卡片上的图案都是“中国力量”的结果数为，所以两次抽取的卡片上的图案都是“中国力量”的概率.
18.
【答案】
解：（1）从计算器中随机抽取一个，再从保护盖中随机取一个，有，，，四种情况．
恰好匹配的有，两种情况，
∴ （恰好匹配）．
（2）用树形图法表示：
所有可能的结果，，，，，，，，，，，
可见，从计算器和保护盖中随机取两个，共有种不同的情况．
其中恰好匹配的有种，分别是，，，，
∴ （恰好匹配）．
或用列表法表示：
-
-
-
-
-
可见，从计算器和保护盖中随机取两个，共有种不同的情况．
其中恰好匹配的有种，分别是，，，，
∴ （恰好匹配）．
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
（1）采用列举法比较简单，要注意不重不漏；
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于不放回实验．
【解答】
解：（1）从计算器中随机抽取一个，再从保护盖中随机取一个，有，，，四种情况．
恰好匹配的有，两种情况，
∴ （恰好匹配）．
（2）用树形图法表示：
所有可能的结果，，，，，，，，，，，
可见，从计算器和保护盖中随机取两个，共有种不同的情况．
其中恰好匹配的有种，分别是，，，，
∴ （恰好匹配）．
或用列表法表示：
-
-
-
-
-
可见，从计算器和保护盖中随机取两个，共有种不同的情况．
其中恰好匹配的有种，分别是，，，，
∴ （恰好匹配）．
19.
【答案】
（2）画树状图如图所示．
∵ 两人的参加实验考查共有种可能结果，而两人都不参加实验考查有种，
∴ 两人都不参加实验考查的概率为.
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）
（2）画树状图如图所示．
∵ 两人的参加实验考查共有种可能结果，而两人都不参加实验考查有种，
∴ 两人都不参加实验考查的概率为.
20.
【答案】
解：（）画树状图如图所示：
∵ 两人的参加实验考查共有种等可能结果，而两人均参加实验考查有种，
∴ 都参加实验考查的概率为.
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）画树状图如图所示：
∵ 两人的参加实验考查共有种等可能结果，而两人均参加实验考查有种，
∴ 都参加实验考查的概率为.
（2）∵ 两人的参加实验考查共有种等可能结果，而两人不参加实验考查有种，
∴ 两人都不参加实验考查的概率为.
21.
【答案】
解：树状图如下所示：
由树形图可知所有可能情况共种，其中个球颜色不同的数目有种，
所以个球颜色不同的概率；
由题意可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
所有的值为．
【考点】
利用频率估计概率
列表法与树状图法
【解析】
（1）画出树形图，得到所有可能结果，找到个球颜色不同的数目，即可求出其概率．
（2）根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，由白球的频率，即可求出的值．
【解答】
解：树状图如下所示：
由树形图可知所有可能情况共种，其中个球颜色不同的数目有种，
所以个球颜色不同的概率；
由题意可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
所有的值为．
22.
【答案】
解：（）
（2）画树状图如下：
由图可知，共有种等可能结果，
其中恰为男女的结果出现次，
则选取的名学生恰为男女的概率为
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）
（2）画树状图如下：
由图可知，共有种等可能结果，
其中恰为男女的结果出现次，
则选取的名学生恰为男女的概率为
23.
【答案】
解：根据题意可得：
参加这种游戏活动为人次，公园游戏场发放的玩具为；
故参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率为，
∴ 参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率是；
∵ 试验次数很多，频率接近于理论概率，
∴ 估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是，
设袋中白球有个，根据题意得：，
解得：，经检验，是方程的解．
∴ 估计袋中白球有个.
【考点】
利用频率估计概率
概率公式
【解析】
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】
解：根据题意可得：
参加这种游戏活动为人次，公园游戏场发放的玩具为；
故参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率为，
∴ 参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率是；
∵ 试验次数很多，频率接近于理论概率，
∴ 估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是，
设袋中白球有个，根据题意得：，
解得：，经检验，是方程的解．
∴ 估计袋中白球有个.
试卷第4页，总9页
试卷第5页，总9页