第一章_特殊平行四边形_易错题集（含部分解析）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 易错题集 2025-2026学年北师大版九年级数学上册
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

1.如图，中，于点的平分线分别交于两点，为的中点，的延长线交于点，连，下列结论：①； ②为等腰三角形；③平分；④，其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.

2.下列说法正确的是（ ）
A.矩形的对角线互相垂直平分
B.邻边相等的四边形是菱形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

3.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则原四边形是( )
A.平行四边形 B.矩形
C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形

4.已知平行四边形，若，，，分别为平行四边形四边的中点，则要使四边形为矩形，应满足的条件是（ ）
A.⊥ B. C. D.

5.如图，四边形为矩形，过点作对角线的垂线，交的延长线于点，取的中点，连接， ．设，则的值为（ ）
A. B. C. D.

6.如图，在四边形中，，且，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…按此规律进行下去．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当时，四边形是正方形；
结论Ⅱ：当时，四边形的周长是
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对

7.在平面直角坐标系中有两点（，）和（，），点是的中点，则的长为________.

8.如图，在菱形中，，，分别是，上的动点，且，则周长的最小值为________.

9.如图，在平面直角坐标系中，边长为的菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上移动， ，则的最大值是________.

10.如图，在菱形中，，点是的中点，点在对角线上，连接，，则的最小值为________.

11.如图，在中，，，，点是斜边上的任意一点，作于点，于点，连结，则的最小值为________．

12.如图，是矩形纸片， ，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处．对于如下结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时， .
正确的结论的有________

13.如图，平行四边形的对角线、相交于点，，，点在线段上从点以的速度向点运动，点在线段上从点以的速度向点运动．
若点、同时运动，设运动时间为秒，当为何值时，四边形是平行四边形；
在的条件下，当为何值时，平行四边形是菱形；
求中菱形的面积．

14.如图，直线分别与轴、轴交于、两点，已知，，且、满足．
求、两点的坐标；
如图，若点在第一象限，，，点为边中点，以点为顶点的直角两边分别交边于，交边于，求四边形的面积；
如图，若点在轴的正半轴上，是第一象限内的一点，且点的横、纵坐标始终相等，点为直线上一点，，，当点在轴下方时，求出点的坐标．

15.平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
若平分，且，，求矩形的面积．

16.如图，在菱形中，对角线，相交于点．过点作，过点D作交 于点．，∠，求四边形的面积．

17.如图，在正方形中，点，分别在边，上，．
求证：；
连结交于点，延长至，使，连结，，判断四边形是否是菱形，并说明理由．

18.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且 ,连接交于点，连接、．
求证：四边形为矩形；
若菱形的边长为， ，求的长．

19.如图，正方形的边长为，为中点，过顶点作直线与边交于点（点不与、重合），分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．
（1） ________；
（2）求证： ；
（3）连接，当位置变化时，
①的长度是否变化？说明理由；
②直接写出长度的最小值．

20.【模型建立】
如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，．求证：.
【模型应用】
如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，．将绕点逆时针旋转，交的延长线于点，连接．当时，求的长；
【模型迁移】
如图，在菱形中，，点是对角线上一点，连接，．将绕点逆时针旋转，交的延长线于点，连接，与交于点．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由．

21.如图，在菱形中，， ，点为对角线上任一点，过点作分别交、于点、过点作分别交、于点、，、交于点，连接.
（1）求证：;
（2）若AP=2,求证：;
（3）选做题：①沪科版：求的长；
②人教版：的面积．

22.数学实验：对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图，①将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．
提出问题：观察所得到的 ，和，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：
如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕．
提出问题：
提出问题：
（2）已知，，求的长．
若点是线段上的一动点，当周长最小时，直接写出________.
参考答案与试题解析
第一章 特殊平行四边形 易错题集 2025-2026学年北师大版九年级数学上册
一、 选择题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的应用
等腰三角形的判定与性质
直角三角形斜边上的中线
【解析】
求出，，，证明即可判断①，证明，推出即可判断④，证明，得，由直角三角形斜边的中线的性质推出，，即可判断③，根据三角形外角性质求出，证明，即可判断②．
【解答】
解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
在和中，
，
，
，
，
，故④正确；
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
平分，故③正确；
，
，
，
是等腰三角形，故②正确．
故选：．
2.
【答案】
C
【考点】
正方形的判定
矩形的判定与性质
菱形的判定与性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
3.
【答案】
C
【考点】
中点四边形
矩形的判定
三角形中位线定理
【解析】
由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，由矩形的性质可知，原四边形应为对角线互相垂直且相等的四边形．
【解答】
解：如图所示，
根据三角形中位线定理得：，，
∵ 四边形是矩形，即，
∴ ．
故选．
4.
【答案】
A
【考点】
平行四边形的性质
矩形的判定
三角形中位线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
5.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
直角三角形斜边上的中线
矩形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
6.
【答案】
A
【考点】
矩形的判定与性质
规律型：图形的变化类
三角形中位线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
7.
【答案】
【考点】
勾股定理
直角三角形斜边上的中线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
在中，点是中点
∴
8.
【答案】
【考点】
轴对称——最短路线问题
菱形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
9.
【答案】
【考点】
直角三角形的性质
菱形的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，取的中点，连接，，，
∵ 边长为的菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ 的中点，
∴ ，
∴ ，
在中，，
∴ ，
∴ 当、、三点共线时最大，最大值为，
故答案为： .
10.
【答案】
【考点】
菱形的性质
等边三角形的性质与判定
线段的性质：两点之间线段最短
【解析】
此题暂无解析
【解答】
11.
【答案】
【考点】
矩形的判定与性质
垂线段最短
勾股定理
【解析】
连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长．
【解答】
解：∵ 在中，，，，
∴ ，
连接，如图所示：
∵ 于点，于点，
∴ 四边形是矩形，
∴ .
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
∴ .
故答案为：．
12.
【答案】
①③
【考点】
翻折变换（折叠问题）
矩形的性质
勾股定理
菱形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
①∶与，与都是原来矩形的对边、的一部分，
∴ ，，
∴ 四边形是平行四边形，
由翻折的性质得，，
∴ 四边形是菱形，故①正确；
②∵ 四边形是菱形，
∴ ∠∠，
∴ 只有∠时平分∠，故②错误；
③点H与点重合时，设，则,
在中，,
即,
解得,
点与点重合时，，∴ ,
∴ 线段的取值范围为，故③正确；
④如图，过点作于，
则,
由勾股定理得，
，故④错误．
综上所述，结论正确的有①③，共个．
三、 解答题（本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ）
13.
【答案】
当为秒时，四边形是平行四边形
当为时，是菱形
【考点】
勾股定理
平行四边形的性质与判定
菱形的判定与性质
【解析】
若是平行四边形，则，由平行四边形的性质以及则，故有，即可求得值；
若是菱形，则垂直于，即有，故可求；
根据四边形是菱形，求得，根据平行四边形的性质得到，可得，列方程求得，可得，于是得到结论．
【解答】
四边形为平行四边形，
，，
当时，四边形是平行四边形，
，
，
，
当为秒时，四边形是平行四边形；
若四边形是菱形，
则，
，
；
当为时，是菱形；
四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积＝．
14.
【答案】
，
【考点】
全等三角形的应用
勾股定理
平行线的判定与性质
正方形的判定与性质
【解析】
将化简，然后根据绝对值及平方的非负性质求解即可得；
过点作，，根据平行线的判定和性质及垂线的性质可得，，，依据等边对等角得出，，由全等三角形的判定和性质可得，，根据等量代换及正方形的判定定理可得四边形为正方形，再一次利用全等三角形的判定和性质得出，，结合图形可得，由勾股定理及线段中点的性质可得，，，据此求解即可得出结果；
过点作轴，过点作轴，根据各角之间的数量关系可得，依据全等三角形的判定和性质可得，，，由点，可得，，设，则，可得，，即可确定，根据题意可得，求解确定的值，即可得出点的坐标．
解：，
，
，，
，，
解得：，，
，；
解：如图所示：过点作，，
，，，
，，
，
为中点，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
即，
，
，
在与中，
，
，
，
，
由得，，
，，
，
，
，
解得：，
，
四边形的面积为；
解：如图所示：过点作轴，过点作轴，
则，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，，
，
设，则，
，，
，
点的横纵坐标相等，且，
，
解得：，
将代入可得，
点的坐标为．
【解答】
此题暂无解答
15.
【答案】
证明：∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四边形是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ 四边形是矩形．
∵ ，
∴ ，
∵ 平分，
∴ ，
∴ ，
在中，∵ ，，
∴ ，
∴ 矩形的面积为．
【考点】
平行四边形的性质
矩形的判定与性质
勾股定理
【解析】
根据有一个角是度的平行四边形是矩形即可判定．
【解答】
证明：∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四边形是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ 四边形是矩形．
∵ ，
∴ ，
∵ 平分，
∴ ，
∴ ，
在中，∵ ，，
∴ ，
∴ 矩形的面积为．
16.
【答案】
解：∵ 四边形是菱形，
∴
∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴
∴
∵
∴ 四边形是平行四边形，
∵ 四边形是菱形，
∴
∴ ，
∴ 平行四边形为矩形．
∴ 矩形的面积.
【考点】
勾股定理
菱形的性质
矩形的判定与性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 四边形是菱形，
∴
∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴
∴
∵
∴ 四边形是平行四边形，
∵ 四边形是菱形，
∴
∴ ，
∴ 平行四边形为矩形．
∴ 矩形的面积.
17.
【答案】
证明：在正方形中，，，
在和中，
，
∴ ，
∴ ；
解：四边形是菱形．
理由如下：在正方形中，，
∵ ，
∴ ，
即，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分，
∴ .
又∵ ，
∴ 四边形是菱形．
【考点】
正方形的性质
全等三角形的判定
全等三角形的性质
菱形的判定
【解析】
（1）根据正方形的性质可得，，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得；
（2）求出，再求出，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明．
【解答】
证明：在正方形中，，，
在和中，
，
∴ ，
∴ ；
解：四边形是菱形．
理由如下：在正方形中，，
∵ ，
∴ ，
即，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分，
∴ .
又∵ ，
∴ 四边形是菱形．
18.
【答案】
（）证明：∵ 四边形是菱形，
∴ ,,
∵ 且，
∴ ，
∴ 四边形、四边形都是平行四边形，
∵ ，
∴ 四边形是矩形；
（2）解：∵ 在菱形中，，
∴ ，
∴ ，
∴ 在矩形中，，
∴
.
【考点】
菱形的性质
矩形的判定
矩形的判定与性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（）证明：∵ 四边形是菱形，
∴ ,,
∵ 且，
∴ ，
∴ 四边形、四边形都是平行四边形，
∵ ，
∴ 四边形是矩形；
（2）解：∵ 在菱形中，，
∴ ，
∴ ，
∴ 在矩形中，，
∴
.
19.
【答案】
解：（）．
（2）∵ 四边形为正方形，∴ ∠，，
∵ ，、∴ ∠∠，∴ ∠∠，
∴ ∠∠，∴ （）；
（3）①当位置变化时，的长度不发生变化，为定值，
理由如下，∵ 、∴ ，∵ ，为的中点，∴ ，
∴ 当位置变化时，的长度不发生变化；
②
【考点】
勾股定理
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
轴对称——最短路线问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）．
（2）∵ 四边形为正方形，∴ ∠，，
∵ ，、∴ ∠∠，∴ ∠∠，
∴ ∠∠，∴ （）；
（3）①当位置变化时，的长度不发生变化，为定值，
理由如下，∵ 、∴ ，∵ ，为的中点，∴ ，
∴ 当位置变化时，的长度不发生变化；
②
20.
【答案】
（1）证明：如图中，
∵ 四边形是正方形，
∴ ，
在和中，
∴
（2）解：如图中，由（）知，
∴
∵ 是绕点逆时针旋转得到的，
∴
在中，
（3）解：结论：
理由：如图中，
∵ 四边形是菱形，
∴ ，
在和中，
∴ （ ，∴
∵ 是绕点逆时针旋转得到的，∴
∴ 是等边三角形，
∴
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
旋转的性质
菱形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：如图中，
∵ 四边形是正方形，
∴ ，
在和中，
∴
（2）解：如图中，由（）知，
∴
∵ 是绕点逆时针旋转得到的，
∴
在中，
（3）解：结论：
理由：如图中，
∵ 四边形是菱形，
∴ ，
在和中，
∴ （ ，∴
∵ 是绕点逆时针旋转得到的，∴
∴ 是等边三角形，
∴
21.
【答案】
（1）∵ 四边形是菱形， ,
∴ ,
∵ 是对角线,
∴ ,
∴ 是等边三角形.
∴ ,
又∵ ,
∴ 四边形、四边形均为平行四边形,
且,
∴ 为等边三角形.
同理可证： 为等边三角形,
∴ ,
在和中：
∴ .
（2）由（）得：
∵ ,
∴ ∠∠，,
∶,
∴ ∠ ∠ .
∴ ∠∠,
由外角性质可知：
∠∠∠∠,
∴ ∠∠,
∴ ∠,
在△和△中：
∴ △ ，
过点作⊥于点，⊥于点，
则有，
∴ 平分∠，
∵ ∠,
∴ ∠.
（3）①求：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
过作与，
在中，，
∴ ，
，
∴ ，
在中，由勾股定理得：
，
,
∴ ,
∴ .
在中，设
则，由勾股定理得：
,
即,
解得： （舍去）,
∴ .
②求
过点作于,
∵ 为等边三角形，
∴ 为中点，
∴ ，
在中，，
由勾股定理得： ，
∴
【考点】
三角形的面积
全等三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定
菱形的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）∵ 四边形是菱形， ,
∴ ,
∵ 是对角线,
∴ ,
∴ 是等边三角形.
∴ ,
又∵ ,
∴ 四边形、四边形均为平行四边形,
且,
∴ 为等边三角形.
同理可证： 为等边三角形,
∴ ,
在和中：
∴ .
（2）由（）得：
∵ ,
∴ ∠∠，,
∶,
∴ ∠ ∠ .
∴ ∠∠,
由外角性质可知：
∠∠∠∠,
∴ ∠∠,
∴ ∠,
在△和△中：
∴ △ ，
过点作⊥于点，⊥于点，
则有，
∴ 平分∠，
∵ ∠,
∴ ∠.
（3）①求：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
过作与，
在中，，
∴ ，
，
∴ ，
在中，由勾股定理得：
，
,
∴ ,
∴ .
在中，设
则，由勾股定理得：
,
即,
解得： （舍去）,
∴ .
②求
过点作于,
∵ 为等边三角形，
∴ 为中点，
∴ ，
在中，，
由勾股定理得： ，
∴
22.
【答案】
（1）猜想： ,
理由如下：如图，连接，
∵ 四边形是矩形，
∴
∵ 将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，
∴ 垂直平分，
∴
∵ 再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点得到折痕，同时得到线段，
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∴
∴
（2）如图，
由折叠可知：
∴
∵
∴ 四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴
由折叠可知：
∵
在中，
根据勾股定理得：
∴
∴
（3）如图，连接，
由（）知：垂直平分，
∴
∴
当、、三点共线时，
最小，
此时周长最小，
在和中，
∴
∴
∴
【考点】
等边三角形的性质与判定
勾股定理
翻折变换（折叠问题）
矩形的判定与性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）猜想： ,
理由如下：如图，连接，
∵ 四边形是矩形，
∴
∵ 将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，
∴ 垂直平分，
∴
∵ 再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点得到折痕，同时得到线段，
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∴
∴
（2）如图，
由折叠可知：
∴
∵
∴ 四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴
由折叠可知：
∵
在中，
根据勾股定理得：
∴
∴
（3）如图，连接，
由（）知：垂直平分，
∴
∴
当、、三点共线时，
最小，
此时周长最小，
在和中，
∴
∴
∴
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