人教A版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理 课件（共86张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理 课件（共86张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-31 21:24:25 | ||
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文档简介
(共86张PPT)
人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标
1.了解空间向量基本定理及其意义.
2.会用基底表示空间向量
3.掌握空间向量的正交分解
4.掌握用基向量解决立体几何中简单问题的通法
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝______
交换律 a·b＝_____
分配律 a·(b＋c)＝_________
a·b＋a·c
λ(a·b)
b·a
复习回顾
(3)空间向量的夹角
∠AOB
[0，π]
复习回顾
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b _______
②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.
特别地，a·a＝____或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______
④|a·b|≤|a|·|b|
a·b＝0
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|2
复习回顾
情景导入
我们所在的教室是一个立体图形,即一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量.
这三个空间向量是不共面的,那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢
事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形.
空间向量基本定理
新知探究
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论。
O
P
Q
A
D
C
B
A1
B1
C1
D1
b
c
α
O
P
Q
提示：空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．因此空 间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
探究3 空间中怎样的向量能构成基底？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫什么？
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间向量正交分解。
例1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
典例剖析
题型一：基底的判断
答案 C
解析
反思感悟 判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;
若不共面,则能构成基底.
(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;
如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.
概念归纳
若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解 假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.
即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
练一练
例2如图所示,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设
思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的
关系→利用向量运算进行拆分→直至向量
用a,b,c表示
题型二：用基底表示空间向量
典例剖析
解
反思感悟 用基底表示空间向量的解题策略
(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律进行相关计算.
(2)若没给定基底,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
(3)在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底.例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
概念归纳
答案 B
练一练
例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD.
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系
典例剖析
反思感悟 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
概念归纳
延伸探究 设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.
例4如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长;
(2)求BD1与AC所成角的余弦值.
题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角
典例剖析
反思感悟 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
概念归纳
已知空间四边形ABCD,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
练一练
答案 C
1.(2020广东深圳高二检测)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b
C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c
解析 对于A,b= (b+c)+ (b-c),所以A不正确;同理,B不正确;对于D,a+b+c=(a+b)+c,所以D不正确.故选C.
答案 C
随堂练
答案 A
随堂练
3.下列说法正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
解析 A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.
答案 C
随堂练
随堂练
用基底表示向量有三个步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，
结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
P
A
C
B
O
N
M
课本例题
P
A
C
B
O
N
M
本题小结：由空间向量基本定理可知，
如果把三个不共面的向量
作为空间的一个基底，那么
所有空间向量都可以用这
三个向量表示出来。
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
C
A
B
D
E
F
G
C
A
B
D
E
F
G
C
A
B
D
E
F
G
所以
课本练习
（P12）
A
B
C
O
G
A
B
C
O
G
(第3题)
A
B
C
O
（P14）
课本练习
A
B
C
D
A
B
C
O
D
(第3题)
A
B
C
O
D
(第3题)
习题1.2
C
O
A
B
C
M
N
A
B
C
M
N
A
B
C
D
B1
A1
C1
D1
M
A
B
C
D
B1
A1
C1
D1
A
B
C
D
B1
A1
C1
D1
A
B
C
D
F
G
E
B1
A1
C1
D1
A
B
C
D
F
G
E
B1
A1
C1
D1
A
B
C
D
F
G
E
B1
A1
C1
D1
A
B
C
D
F
G
E
B1
A1
C1
D1
S
A
B
C
E
F
M
N
G
H
8．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，
求证：这个四面体相对的棱两两垂直．
S
A
B
C
E
F
M
N
G
H
8．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直．
错因分析
错因分析
错因分析
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( )
C
解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.
分层练习-基础
A
分层练习-基础
3.下列说法正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
C
解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;
B项,空间基底有无数个;
D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.
分层练习-基础
分层练习-基础
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.
即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
分层练习-基础
B
分层练习-巩固
ABD
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
2.用基向量解决立体几何中的线线平行，垂直，角的简单问题的通法
立体几何
定相同的基底
用基底表示向量
向量
向量的解
立体几何的解
1.用平面向量基本定理类比空间向量基本定理（基底、正交基底、正交分解）
课堂小结
人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标
1.了解空间向量基本定理及其意义.
2.会用基底表示空间向量
3.掌握空间向量的正交分解
4.掌握用基向量解决立体几何中简单问题的通法
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝______
交换律 a·b＝_____
分配律 a·(b＋c)＝_________
a·b＋a·c
λ(a·b)
b·a
复习回顾
(3)空间向量的夹角
∠AOB
[0，π]
复习回顾
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b _______
②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.
特别地，a·a＝____或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______
④|a·b|≤|a|·|b|
a·b＝0
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|2
复习回顾
情景导入
我们所在的教室是一个立体图形,即一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量.
这三个空间向量是不共面的,那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢
事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形.
空间向量基本定理
新知探究
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论。
O
P
Q
A
D
C
B
A1
B1
C1
D1
b
c
α
O
P
Q
提示：空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．因此空 间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
探究3 空间中怎样的向量能构成基底？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫什么？
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间向量正交分解。
例1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
典例剖析
题型一：基底的判断
答案 C
解析
反思感悟 判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;
若不共面,则能构成基底.
(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;
如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.
概念归纳
若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解 假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.
即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
练一练
例2如图所示,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设
思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的
关系→利用向量运算进行拆分→直至向量
用a,b,c表示
题型二：用基底表示空间向量
典例剖析
解
反思感悟 用基底表示空间向量的解题策略
(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律进行相关计算.
(2)若没给定基底,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
(3)在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底.例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
概念归纳
答案 B
练一练
例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD.
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系
典例剖析
反思感悟 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
概念归纳
延伸探究 设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.
例4如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长;
(2)求BD1与AC所成角的余弦值.
题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角
典例剖析
反思感悟 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
概念归纳
已知空间四边形ABCD,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
练一练
答案 C
1.(2020广东深圳高二检测)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b
C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c
解析 对于A,b= (b+c)+ (b-c),所以A不正确;同理,B不正确;对于D,a+b+c=(a+b)+c,所以D不正确.故选C.
答案 C
随堂练
答案 A
随堂练
3.下列说法正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
解析 A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.
答案 C
随堂练
随堂练
用基底表示向量有三个步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，
结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
P
A
C
B
O
N
M
课本例题
P
A
C
B
O
N
M
本题小结：由空间向量基本定理可知，
如果把三个不共面的向量
作为空间的一个基底，那么
所有空间向量都可以用这
三个向量表示出来。
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
A
B
C
D
M
N
B1
A1
C1
D1
C
A
B
D
E
F
G
C
A
B
D
E
F
G
C
A
B
D
E
F
G
所以
课本练习
（P12）
A
B
C
O
G
A
B
C
O
G
(第3题)
A
B
C
O
（P14）
课本练习
A
B
C
D
A
B
C
O
D
(第3题)
A
B
C
O
D
(第3题)
习题1.2
C
O
A
B
C
M
N
A
B
C
M
N
A
B
C
D
B1
A1
C1
D1
M
A
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B1
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A
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C
D
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B1
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A
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A1
C1
D1
A
B
C
D
F
G
E
B1
A1
C1
D1
A
B
C
D
F
G
E
B1
A1
C1
D1
S
A
B
C
E
F
M
N
G
H
8．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，
求证：这个四面体相对的棱两两垂直．
S
A
B
C
E
F
M
N
G
H
8．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直．
错因分析
错因分析
错因分析
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( )
C
解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.
分层练习-基础
A
分层练习-基础
3.下列说法正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
C
解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;
B项,空间基底有无数个;
D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.
分层练习-基础
分层练习-基础
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.
即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
分层练习-基础
B
分层练习-巩固
ABD
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
2.用基向量解决立体几何中的线线平行，垂直，角的简单问题的通法
立体几何
定相同的基底
用基底表示向量
向量
向量的解
立体几何的解
1.用平面向量基本定理类比空间向量基本定理（基底、正交基底、正交分解）
课堂小结