人教A版高中数学选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究距离问题（第1课时） 课件（共93张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究距离问题（第1课时） 课件（共93张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-31 21:30:14 | ||
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文档简介
(共93张PPT)
人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何
第一课时 用空间向量研究距离问题
1.4.2 用空间向量研究距离、
夹角问题
学习目标
1.理解点到直线、点到平面的距离公式及其推导（重点）
2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、两平行直线、直线到平面、两平行平面的距离的思想（难点）
3.能利用距离公式解决相关的距离问题，归纳总结解决立体几何问题的“三部曲”（重点）
情景导入
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计
直线
平面
法向量
方向向量
回忆下：我们中学学习几何主要是研究它的哪些量？
复习回顾
问题1 空间中距离包括哪些具体的内容？
我们该如何用空间向量解决这些距离？
用空间向量探究距离问题
新知探究
空间距离
两点距离、点到直线的距离、两条平行直线的距离
点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面的距离
接下来我们一起探究这些距离公式及推导
追问：我们该如何用向量研究距离？
空间中还有其他的向量长度吗？
向量的投影
探究一：利用向量的方法求直线l外的一点P到直线l的距离。
新知探究
A
P
Q
A
P
Q
点线距
概念归纳
问题3 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
请大家思考一下，它的思路是怎样的？
A
P
Q
在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．
探究二 利用向量的方法求平面 外的一点P到平面 的距离。
新知探究
用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
概念归纳
(1)如何求直线到平面的距离？
(2)如何求平面到平面的距离？
(3)如何求两条异面直线的距离？
在直线（平面）上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为直线到平面的距离、平面到平面的距离、两条异面直线的距离！
点面距
合作探究
新知探究
z
A
C
B
D
y
x
A1
B1
C1
D1
E
F
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
探究3 利用公式在立体图形中求对应的距离
新知探究
建系
设点
取向量
套公式
求法向量
套公式
点线距
概念归纳
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段．
(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点．
(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
建系
求向量
求法向量
得距离
结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系
设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n
求点到平面的距离步骤
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，M是B1C1的中点，N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设P是线段DN上的动点，求线段MP的最小值．
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
题型1 求两点间的距离
典例剖析
概念归纳
练一练
如图，在棱长为1的立方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，H为平面AA1D1D内的点．
(1)若C1H⊥平面BDE，确定点H的位置；
(2)求点C1到平面BDE的距离．
素养点睛：考查直观想象、数学运算的
核心素养．
题型2 求点到直线的距离
典例剖析
概念归纳
2．用向量法求线面距、面面距的方法
线面距
面面距
点面距
转化
概念归纳
2．如图，正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，E，F分别为AB，AD的中点，求点A到平面GEF的距离．
练一练
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心
素养．
典例剖析
典例剖析
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
(1)证明：连接BD，取BD的中点P，连接FP，GP，
∵P，G分别BD，BC是的中点，E，F分别是SA，SB的中点，
∴PG∥CD，EF∥AB．
又∵AB∥CD，∴EF∥PG.∴PG 平面EFG.
∵F，P分别是SB，BD的中点，
∴SD∥FP.又∵SD 平面EFG，FP 平面EFG，
∴SD∥平面EFG.
典例剖析
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB的中点，PC与平面ABCD所成的角为30°.当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2
练一练
解：设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，OD为x轴正半轴，OP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2.
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)求点E到平面PCD的距离．
命题意图：本题考查了线面平行的判定、三棱锥
的等体积法，点到平面的距离等基础知识，考查了空间
想象能力、数学运算能力、转化的数学思想．
方向3 等价转化思想在求空间的距离问题中的应用
典例剖析
知识依托：(1)线线平行判定定理和线面平行判定定理．
(2)棱锥的体积公式．
解：(1)证明：取PC中点G，连接DG，FG，如图．
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( )
答案 B
随堂练
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( )
解析 分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),
则
答案 D
随堂练
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )
答案 B
随堂练
4.Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC= ,则点P到斜边AB的距离是 .
答案 3
随堂练
5.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为 .
随堂练
解析 如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
1
1
1
课本练习
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
错因分析
错因分析
错因分析
错因分析
1．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
【答案】 D
分层练习-基础
分层练习-基础
4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则正三棱柱的侧棱长为________．
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
转化与化归思想在求空间距离中的应用
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,
EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距.
分层练习-拓展
【规范答题】
(1)证明 如图所示以B1为原点,分别以B1A1,B1C1,B1B为
x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),
所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.
分层练习-拓展
所以GF∥AB,EF∥BD.
又GF∩EF=F,AB∩BD=B,
所以平面EGF∥平面ABD.
分层练习-拓展
方法总结 求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
课堂小结
课堂小结
人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何
第一课时 用空间向量研究距离问题
1.4.2 用空间向量研究距离、
夹角问题
学习目标
1.理解点到直线、点到平面的距离公式及其推导（重点）
2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、两平行直线、直线到平面、两平行平面的距离的思想（难点）
3.能利用距离公式解决相关的距离问题，归纳总结解决立体几何问题的“三部曲”（重点）
情景导入
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计
直线
平面
法向量
方向向量
回忆下：我们中学学习几何主要是研究它的哪些量？
复习回顾
问题1 空间中距离包括哪些具体的内容？
我们该如何用空间向量解决这些距离？
用空间向量探究距离问题
新知探究
空间距离
两点距离、点到直线的距离、两条平行直线的距离
点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面的距离
接下来我们一起探究这些距离公式及推导
追问：我们该如何用向量研究距离？
空间中还有其他的向量长度吗？
向量的投影
探究一：利用向量的方法求直线l外的一点P到直线l的距离。
新知探究
A
P
Q
A
P
Q
点线距
概念归纳
问题3 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
请大家思考一下，它的思路是怎样的？
A
P
Q
在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．
探究二 利用向量的方法求平面 外的一点P到平面 的距离。
新知探究
用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
概念归纳
(1)如何求直线到平面的距离？
(2)如何求平面到平面的距离？
(3)如何求两条异面直线的距离？
在直线（平面）上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为直线到平面的距离、平面到平面的距离、两条异面直线的距离！
点面距
合作探究
新知探究
z
A
C
B
D
y
x
A1
B1
C1
D1
E
F
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
探究3 利用公式在立体图形中求对应的距离
新知探究
建系
设点
取向量
套公式
求法向量
套公式
点线距
概念归纳
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段．
(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点．
(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
建系
求向量
求法向量
得距离
结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系
设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n
求点到平面的距离步骤
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，M是B1C1的中点，N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设P是线段DN上的动点，求线段MP的最小值．
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
题型1 求两点间的距离
典例剖析
概念归纳
练一练
如图，在棱长为1的立方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，H为平面AA1D1D内的点．
(1)若C1H⊥平面BDE，确定点H的位置；
(2)求点C1到平面BDE的距离．
素养点睛：考查直观想象、数学运算的
核心素养．
题型2 求点到直线的距离
典例剖析
概念归纳
2．用向量法求线面距、面面距的方法
线面距
面面距
点面距
转化
概念归纳
2．如图，正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，E，F分别为AB，AD的中点，求点A到平面GEF的距离．
练一练
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心
素养．
典例剖析
典例剖析
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
(1)证明：连接BD，取BD的中点P，连接FP，GP，
∵P，G分别BD，BC是的中点，E，F分别是SA，SB的中点，
∴PG∥CD，EF∥AB．
又∵AB∥CD，∴EF∥PG.∴PG 平面EFG.
∵F，P分别是SB，BD的中点，
∴SD∥FP.又∵SD 平面EFG，FP 平面EFG，
∴SD∥平面EFG.
典例剖析
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB的中点，PC与平面ABCD所成的角为30°.当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2
练一练
解：设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，OD为x轴正半轴，OP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2.
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)求点E到平面PCD的距离．
命题意图：本题考查了线面平行的判定、三棱锥
的等体积法，点到平面的距离等基础知识，考查了空间
想象能力、数学运算能力、转化的数学思想．
方向3 等价转化思想在求空间的距离问题中的应用
典例剖析
知识依托：(1)线线平行判定定理和线面平行判定定理．
(2)棱锥的体积公式．
解：(1)证明：取PC中点G，连接DG，FG，如图．
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( )
答案 B
随堂练
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( )
解析 分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),
则
答案 D
随堂练
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )
答案 B
随堂练
4.Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC= ,则点P到斜边AB的距离是 .
答案 3
随堂练
5.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为 .
随堂练
解析 如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
1
1
1
课本练习
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
E
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A
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D
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B1
C1
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E
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A
C
B
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C1
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E
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A
C
B
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A1
B1
C1
D1
E
F
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
x
y
z
A
C
B
D
A1
B1
C1
D1
错因分析
错因分析
错因分析
错因分析
1．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
【答案】 D
分层练习-基础
分层练习-基础
4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则正三棱柱的侧棱长为________．
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
转化与化归思想在求空间距离中的应用
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,
EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距.
分层练习-拓展
【规范答题】
(1)证明 如图所示以B1为原点,分别以B1A1,B1C1,B1B为
x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),
所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.
分层练习-拓展
所以GF∥AB,EF∥BD.
又GF∩EF=F,AB∩BD=B,
所以平面EGF∥平面ABD.
分层练习-拓展
方法总结 求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
课堂小结
课堂小结