人教A版高中数学选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程 课件（共83张PPT）

(共83张PPT)
人教版2019高一数学（选修一） 第二章 直线和圆的方程
2.4.2 圆的一般式方程
学习目标
1．理解圆的一般方程及其特点，发展数学抽象和数学建模的核心素养。
2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化。发展逻辑推理，直观想象、数学运算的核心素养。
3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．提升数形结合及方程思想，发展逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
情景导入
我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,
刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个一般的二元二次方程:
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数),
请问你能写出一个它分别表示
①直线;②圆;③y关于x的二次函数的必要条件吗
1.圆的一般式方程
新知探究
根据上节课所学的知识，我们知道方程(x-1)2+(y+2) 2=4表示以(1, -2)为圆心 , 2为半径的圆 . 可以将此方程变形为
x2+y2-2x+4y+1=0.
一般地 , 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为
x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式.
那么形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
思考探究
思考探究
那么形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
例如：对于方程x2+y2-2x-4y+6=0 ,
我们对其进行配方 , 得到(x-1)2+(y-2) 2=-1 ,
显然任意一个点的坐标(x, y)都不满足这个方程 ,
所以这个方程不表示任何图形 .
因此形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程。
这表明x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定是圆的方程。
思考探究
那么当x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D，E，F满足什么条件时这个方程表示圆？
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，
我们把它叫做圆的一般方程.
你能说说圆的一般式方程同圆的标准式方程有何处不同吗？
圆的一般式方程同圆的标准式方程有何处不同
我们观察一下这个二元二次方程不难发现：
圆的一般方程突出了代数结构:
(1) x2和y2系数相同，都不等于0.
(2) 没有xy这样的二次项.
(3)当 D2+E2-4F>0 时，方程才表示一个圆.


圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径
圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程．

两种方程的字母间的关系：
圆的一般式方程同圆的标准式方程有何处不同
C
x
o
y
C
x
o
y
C
x
o
y
D=0
E=0
F=0
思考探究
例4 求过三点O(0, 0) , M1(1, 1) , M2 (4, 2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.
课本例题

建：建立直角坐标系
设：用坐标表示有关的量
限：限制条件
课本例题
代：进行有关代数运算
化：化简
概念归纳
求圆的方程常用的待定系数法，其大致步骤是：
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
概念归纳
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、
半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,
一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,
一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出系数D,E,F.
概念归纳
求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明；
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．
例1(1)方程x2＋y2－2x＋6y＋1＝0表示的是 (　　)
A．以(1，－3)为圆心，6为半径的圆
B．以(－1,3)为圆心，6为半径的圆
C．以(1，－3)为圆心，3为半径的圆
D．以(－1,3)为圆心，3为半径的圆
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．
题型1　圆的一般方程的概念
典例剖析
C
9π
典例剖析
归纳总结
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征判断．
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种形式，否则要化为这种形式再求解．
1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心的坐标是________．
(0，－1)
练一练
　例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
题型2　待定系数法求圆的一般方程
典例剖析
先设出圆的一般方程，根据点在圆上列方程组，解方程组求出待定系数，得外接圆方程．
解：因为△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
点M(a,2)在所求的圆上，故点M(a,2)的坐标满足圆的方程，
可得a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
例3.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值 ．
典例剖析
　例4.已知A(2,2)，B(5,3)，圆C过A，B两点且圆关于直线y＝－x对称,
求圆的方程
典例剖析
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一
般方程．
归纳总结
练一练
练一练
例5.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
题型3　求动点的轨迹方程
典例剖析
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ.
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
归纳总结
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．
3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【答案】A
练一练
练一练
4．如图，经过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹．
练一练
练一练
练一练
练一练
典例剖析
　规范解答　求圆的一般方程
1．注意考虑问题的全面性
解决有关圆的问题时，要认真审题，注意隐含条件，如本例中点C在y轴的正半轴上，则其纵坐标大于零．
2．熟练圆的方程的设法
在求解圆的方程时，要根据不同的条件，灵活地设出圆的方程，如本例中根据条件可设出圆的一般方程，有时可设圆的标准方程，利用待定系数法求解即可.
归纳总结
1.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是(　　)
A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0
C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0
2.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)
A.x+y-3=0 B.x-y-3=0
C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0
B
C
随堂练
3.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是　　　　　.
4.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则参数a的值为　　　　　.
-2
随堂练
课本练习
O
A
D
C
B
x
y
E
O
A
D
C
B
x
y
E
O
A
D
C
B
x
y
E
A
B
C
7.等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2),底边一个端点B的坐标是(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它是什么图形.
7.等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2),底边一个端点B的坐标是(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它是什么图形.
根据题意,等腰三角形ABC的另一个端点C在以A(4,2)为圆心,经过B(3,5)的圆上,且除去点B以及B关于A的对称点B’
O
A
M
B
x
y
阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．
易错辨析　忽视圆的条件致错
错因分析
a＞2
错因分析
分层练习-基础
1．已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0
2．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a<1
C．a>1 D．0A
B
分层练习-基础
3．已知圆的圆心为(－2,1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
C．x2＋y2＋4x－2y＝0 D．x2＋y2－4x＋2y＝0
C
A
分层练习-基础
5．已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________．
6．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为________．
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
8．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则a的取值范围是________．
x2＋y2＝16
(2，－3)
a < 1
分层练习-基础
9．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．
分层练习-基础
10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．
分层练习-巩固
11．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
C．(x－2)2＋(y－2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－1)2＝1
A
BC
分层练习-巩固
13．设A为圆C：(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是____________．
14．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是________．
(x－1)2＋y2＝2
2x－y－6＝0
分层练习-巩固
15．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
（1）当 时，
（2）当 时，
表示点
（3）当 时，
不表示任何图形