2025届上海闵行区高二下学期数学期末区统考试卷（2025.06）（含答案）

闵行区2024~2025学年高二下学期期末考试
2025.6
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．双曲线的两条渐近线的夹角为_______________．
2．正方休中，____________．（用表示）
3．抛物线的准线方程为____________．
4．已知，若，则____________．
5．的二项展开式中，常数项为____________．（用数字作答）
6．从5名同学中选2名分别去两个不同地点做志愿者，不同的安排方案种数为____________．
7．双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率为____________．
8．已知，随机选取，则直线不经过第二象限的概率是____________．
9．已知点在圆上，则过点的圆的切线方程为____________．
10．是空间向量，其中，与的夹角都是，且，．则____________．
11．如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到貝台寻找小狗．已知矩形与曲边图形为视线遮挡物，其中线段，曲线．小狗沿线段以每秒1米的速度从跑到，则小明能看到小狗的最长时间为____________秒．（精确到0.01）
12．已知正四面体的棱长为3，空间中的动点满足，则的取值范围是____________．
二、选择糜（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）.
13．函数的驻点为（ ）.
A． B． C．1 D．2
14．抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）.
A．1 B．2 C．4 D．8
15．北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（ ）.
A．12种 B．13种 C．19种 D．21种
16．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线.他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线.
如图，四面体中，两两垂直，，点为底面内的一个动点.
①若，则点的轨迹是椭则的一部分；
②若，则点的轨迹是双曲线的一部分；
③若，则点的轨迹是抛物线的一部分．
以上几个命题中，真命题的个数为（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题（本大题个5题，满分78分）
17．（本施满分）已知函数，其导函数为．
（1）若，求的值：
（2）若的图像过点与，求原点到直线的距离．
18．（本施满分）设正方体的棱长为2，的中点分别为．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求点到面的距离．
19．（本施满分）已知，其中i为虚数单位.将组合数作为元素构成集合，将展开式的项的系数作为元素构成集合.
（1）求的值；
（2）在中随机选取三个数，求最大数与最小数至少有一个被选中的选取方案的种数：
（3）设，求的概率．
20．（本施满分）在直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于两点．
（1）求的标准方程；
（2）若的斜率为1，且，求的值：
（3）是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由．
21．（本施满分）已知函数的定义域为．若存在非空集合和，使得对任意的，都有，且成立，则称函数具有“”性质.
（1）若．试判断是否具有“”性质；
（2）若．求证：具有“”性质；
（3）若，中元素的最小值为．求所有使具有“”性质的集合的并集．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.；
7.； 8.； 9.； 10.； 11. 12..
二、选择题
13.B 14.A 15.C 16.B
三、解答题
17.【答案】（1）；（2）.
18.【答案】（1）；（2）.
19.【答案】（1）令得；
（2），此时集合中共有6个元素，分别为，其中最小数为，最大数为. 若最大数和最小数均没被选中，有种方案，所以最大数与最小数至少有一个被选中有种；
（3）时，集合中共有21个元素，分别为（全为实数）；
集合中共有41个元素，分别为（其中有21个实数，20个虚数）.
当时，即，故.
此时符合条件的情况为：任取中任意一个数时，均可对应的取2个数和满足，此时共有种；其概率为.
20．【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
21．【答案】（1）任取，此时，，并不满足，
故不具有“”性质；
（2）此时任取，，，
则
.
∴具有“”性质；