2024-2025学年上海虹口中学高一下学期数学期末试卷（含详解）

虹口中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（每题4分，共40分）
1.是第 象限角．
2.函数的最小正周期为 ．
3.若为纯虚数（为虚数单位），，则 ．
4.已知向量满足，则 ．
5.如图，在四边形中，和相交于点，设，若，则 ．（用和和示）．
6.已知，则 ．
7.已知，向量，当取到最大值时，的值是 ．
8.若是方程的解，其中，则的取值集合是 ．
9.如果复数满足，那么的最大值是 ．
10.如图，是线段外一点，是线段的垂直平分线上的动点，则的值为 ．
二、单选题（每题4分，共16分）
11．下列说法正确的是（ ）.
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上
D．若，则与方向相同或相反
12．设为复数，则是的（ ）.
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
13．当时，化简的结果是（ ）.
A． B． C． D．
14．设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题
15．（每小题4分，共8分）已知向量；
（1）求的夹角；
（2）若，求头数的值．
16．（每小题4分，共8分）已知复數满足的虚部为2．
（1）求复数：
（2）当复数的虚部大于零，设复数在复平面上对应的点分别为,求的值.
17．（每小题4分、共8分）已知函数，其中.
（1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心；
（2）若在闭区间上实际严格增函数，求正实数的取值范围.
18．（每小题4分，共8分）已知的周长为，且，
（1）求边长的值；
（2）若，求角的大小.
19．（每小题4分，共12分）已知平面上不共线的三点,且是的中点．
（1）若，求的余弦值：
（2）若是线段上任意一点，且，求的量小值；
（3）若是内一点，且，求的最小值．
参考答案
一、填空题
1.三; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.；
9.如果复数满足，那么的最大值是 ．
【答案】
【解析】设，
即，可以看成是以圆心为的圆，所以，
因为，所以，最大值为6．故答案为：6．
10.如图，是线段外一点，是线段的垂直平分线上的动点，则的值为 ．
【答案】
【解析】如图，设与交于，即为的中点，连接，
则，，
，故答案为：．
二、选择题
11.B 12.C 13.B 14.A
13．当时，化简的结果是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，
故，故选：．
三、解答题
15.（1） （2）
16.（1） （2）
17.（1） （2）
18．（每小题4分，共8分）已知的周长为，且，
（1）求边长的值；
（2）若，求角的大小.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵，∴由正弦定理得，
∴解得；
（2）由，得，两边平方式，求得，
由余弦定理，,故．
19．（每小题4分，共12分）已知平面上不共线的三点,且是的中点．
（1）若，求的余弦值：
（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；
（3）若是内一点，且，求的最小值．
【答案】（1） （2）最小值． （3）最小值6．
【解析】（1）
（2）∵，以为原点，的正方向分别为轴、轴建立平面直角坐标系．∵，则，设，
∵当且仅当时，取得最小值．
或者易有,设，则
（3）设，则．
同理得，
,
当且仅当，即时，取得最小值6．