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人教新版 九上 数学
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人教版九年级数学 阶段性检测讲解课件
九上数学第22章学业质量评价01
范围：22章
（建议用时：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列各项是二次函数的是（ A ）
A. y ＝（ x ＋1）（ x －3） B. y ＝ x3＋1
C. y ＝ x2＋ D. y ＝ x －3
2. 二次函数 y ＝（ x ＋2）2－1的图象的顶点坐标是（ C ）
A. （2，－1） B. （2，1）
C. （－2，－1） D. （－2，1）
3. 抛物线 y ＝－2 x2＋3 x －5的对称轴是直线（ D ）
A. x ＝－ B. x ＝ C. x ＝－ D. x ＝
A
C
D
4. 把抛物线 y ＝ x2＋1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线
的解析式为（ C ）
A. y ＝（ x ＋3）2－1 B. y ＝（ x ＋3）2＋3
C. y ＝（ x －3）2－1 D. y ＝（ x －3）2＋3
5. 若二次函数 y ＝ ax2的图象经过点 P （－1，2），则该图象必经过点（ A ）
A. （1，2） B. （－1，－2）
C. （－2，1） D. （2，－1）
6. 若二次函数 y ＝ x2－2 x ＋ a 有最小值为6，则 a 的值为（ D ）
A. －6 B. 6 C. －7 D. 7
C
A
D
7. 在一次炮弹发射演习中，记录到一枚迫击炮发射的炮弹的飞行高度 y （m）与飞
行时间 x （s）之间的关系式为 y ＝－ x2＋10 x .当炮弹落到地面时，经过的时间为
（ C ）
A. 40 s B. 45 s C. 50 s D. 55 s
8. 已知点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）是抛物线 y ＝（ x －1）2－2上的两点.若 x1＜
x2＜0，则 y1， y2的大小关系是（ B ）
A. y1＜ y2 B. y1＞ y2
C. y1＝ y2 D. 以上都有可能
C
B
9. 已知抛物线 y ＝ x2＋ mx 的对称轴为直线 x ＝2，则关于 x 的方程 x2＋ mx ＝5的根分
别是（ D ）
A. x1＝0， x2＝4 B. x1＝1， x2＝5
C. x1＝1， x2＝－5 D. x1＝－1， x2＝5
10. 已知二次函数 y ＝ ax2－2 ax ＋ c （ a ＞0），当自变量 x ＜ m 时， y 随 x 的增大而
减小，则 m 的取值范围是（ C ）
A. m ＜－1 B. m ≥－1 C. m ≤1 D. m ＞1
D
C
11. 如图是一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20 m的篱笆围成.已知
墙长为15 m，若平行于墙的一边长不小于8 m，则这个苗圃园面积的最大值和最
小值分别为（ C ）
A. 48 m2，37.5 m2 B. 50 m2，32 m2
C. 50 m2，37.5 m2 D. 48 m2，32 m2
第11题图
C
12. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线 x ＝
，且经过点（2，0），以下结论正确的是（ D ）
A. abc ＞0 B. a ＋ c ＞ b
C. b2－4 ac ＜0 D. a ＋ b ＝0
第12题图
D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 抛物线 y ＝－2 x2＋3 x －7与 y 轴的交点坐标为 .
14. 已知二次函数的图象顶点坐标为 A （－1，4），且过点 B （2，－5），则该二次
函数的解析式为 .
15. 如图，直线 y1＝ x ＋1与抛物线 y2＝－ x2＋3交于点 A （－2，－1）， B （1，2）.
当 y1＞ y2时， x 的取值范围为 .
第15题图
（0，－7）
y ＝－ x2－2 x ＋3
x ＜－2或 x ＞1
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋3与 y 轴交于点 A ，过点 A 且与 x
轴平行的直线交抛物线 y ＝ x2于点 B ， C ，则 BC 的长为 .
第16题图
6
三、解答题（本大题共9题，共98分）
17. （10分）如图，在平面直角坐标系中画出二次函数 y ＝ x2－2 x －3的图象.并结合
图象，写出当 y ＜0时， x 的取值范围.
解：图象如图所示.
当 y ＜0时， x 的取值范围是－1＜ x ＜3.
18. （10分）已知 y ＝（ m －1） ＋4 x －5是关于 x 的二次函数，求 m 的值及该
函数图象的对称轴.
解：由 y ＝（ m －1） ＋4 x －5是二次函数，
得 m2＋1＝2且 m －1≠0，解得 m ＝－1.
当 m ＝－1时，函数为 y ＝－2 x2＋4 x －5＝－2（ x －1）2－3，
∴该函数图象的对称轴为直线 x ＝1.
19. （10分）已知抛物线 y ＝ mx2－2 mx ＋ n 过点 A （1，－3）， B （－1，1）.
（1）求 m ， n 的值；
解：根据题意，得解得
（2）试判断点 P （2，5）是否在该抛物线上，并说明理由.
解：不在.理由如下：
由（1）得抛物线的解析式为 y ＝ x2－2 x －2.
当 x ＝2时， y ＝ x2－2 x －2＝22－2×2－2＝－2≠5，
∴点 P （2，5）不在该抛物线上.
20. （10分）某涵洞的截面是抛物线的一部分（如图），现测得水面宽 AB 为1.6 m，
涵洞顶点 O 到水面的距离为2.4 m，以顶点 O 为原点， AB 的垂直平分线为 y 轴，
建立平面直角坐标系，求离涵洞顶点1.5 m处的洞宽.
解：设抛物线的解析式为 y ＝ ax2.
由题意，得点 A 的坐标为（－0.8，－2.4）.
∵点 A 在抛物线 y ＝ ax2上，
∴－2.4＝ a ×（－0.8）2，解得 a ＝－ ，∴ y ＝－ x2.
当 y ＝－1.5时，－1.5＝－ x2，解得 x1＝ ， x2＝－ ，
则 －（－ ）＝ （m）.
答：离涵洞顶点1.5 m处的洞宽为 m.
21. （10分）已知抛物线 y ＝2 x2－4 x ＋ c 与 x 轴有两个不同的交点.
（1）求 c 的取值范围；
解：∵抛物线 y ＝2 x2－4 x ＋ c 与 x 轴有两个不同的交点，
∴Δ＝ b2－4 ac ＝（－4）2－4×2 c ＞0，解得 c ＜2.
（2）若抛物线 y ＝2 x2－4 x ＋ c 经过点 A （2， m ）， B （3， n ），试比较 m 与
n 的大小.
解：∵ y ＝2 x2－4 x ＋ c ＝2（ x －1）2－2＋ c ，
∴抛物线的对称轴为直线 x ＝1，
∴点 A （2， m ）， B （3， n ）都在对称轴的右侧，
当 x ≥1时， y 随 x 的增大而增大，∴ m ＜ n .
22. （12分）如图，已知抛物线 y ＝ a （ x －1）（ x －3）（ a ≠0）与 x 轴交于 A ， B
两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴正半轴交于点 C ，且 OC ＝3，求抛物线及直
线 BC 的解析式.
解：∵ OC ＝3，∴ C （0，3）.
把点 C （0，3）代入 y ＝ a （ x －1）（ x －3），
得3 a ＝3，解得 a ＝1，
∴抛物线的解析式为 y ＝（ x －1）（ x －3），
即 y ＝ x2－4 x ＋3.
当 y ＝（ x －1）（ x －3）＝0时，
可得 x1＝1， x2＝3，则点 B 的坐标为（3，0）.
设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx ＋3.
把点 B （3，0）代入，得3 k ＋3＝0，解得 k ＝－1，
∴直线 BC 的解析式为 y ＝－ x ＋3.
23. （12分）某景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知
销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场
调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售价 x （元/件）之间的函数关系如
图所示.
（1）求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
解：设 y 与 x 之间的函数解析式为 y ＝ kx ＋ b .
将点（12，28），（15，25）代入，得
解得
∴ y 与 x 之间的函数解析式为 y ＝－ x ＋40（10≤ x
≤20）.
（2）求每天的销售利润 W （元）与销售价 x （元/件）之间的函数解析式，并求
出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解：根据题意，得 W ＝（ x －10） y ＝（ x －
10）（－ x ＋40）＝－（ x －25）2＋225.
∵－1＜0，∴当 x ＜25时， W 随 x 的增大而增大.
∵10≤ x ≤20，
∴当 x ＝20时， W 取得最大值，最大值为200.
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元.
24. （12分）某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28 m长的
篱笆围成一个矩形花园 ABCD （篱笆只围 AB ， BC 两边），设 AB ＝ x m.
（1）若花园的面积为192 m2，求 x 的值；
解：∵ AB ＝ x m， BC ＝（28－ x ）m.
由题意，得 x （28－ x ）＝192，
解得 x1＝12， x2＝16，
∴ x 的值为12或16.
（2）若在 P 处有一棵树与墙 CD ， AD 的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围
在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积 S 的最大值.
解：由（1）知 BC ＝（28－ x ）m.
由题意，得解得6≤ x ≤13.
由题意，得 S ＝ x （28－ x ）＝－ x2＋28 x ＝－（ x －14）2＋196.
∵－1＜0，∴当 x ＜14时， S 随 x 的增大而增大，
∴当 x ＝13时， S 有最大值， S最大＝－（13－14）2＋196＝195.
答：花园面积 S 的最大值为195 m2.
25. （12分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ AOB ， O 为坐标原点， OB ＝1， OA
＝3.将Rt△ AOB 绕点 O 顺时针旋转90°得到Rt△ COD ，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c
过 A ， B ， C 三点.
（1）求此抛物线的解析式及顶点 P 的坐标；
解：由题意，得点 A ， B ， C 的坐标分别为
A （0，3）， B （－1，0）， C （3，0）.
∵抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 经过点 A ， B ， C ，
∴抛物线的解析式为 y ＝－（ x ＋1）（ x －3）＝
－ x2＋2 x ＋3＝－（ x －1）2＋4，
∴点 P 的坐标为（1，4）.
解：设直线 l ： y ＝ kx － k ＋3与抛物线的对称
轴的交点为 F ，
∴点 F 的坐标为（1，3），∴ PF ＝1.
设点 M ， N 的坐标分别为 M（xM，yM ），N（xN，yN），
由得 x2＋（ k －2） x － k ＝0，
∴ xM ＋ xN ＝2－ k ， xMxN ＝－ k .
（2）直线 l ： y ＝ kx － k ＋3与抛物线交于 M ， N 两点.若 ＝2，求
k 的值；
∵ S△ PMN ＝2，∴ PF ·（ xN － xM ）＝2，
∴ xN － xM ＝4，
∴（ xM ＋ xN ）2－4 xMxN ＝16，
即（2－ k ）2－4×（－ k ）＝16，解得 k ＝±2 .
解：存在.设点 Q 的坐标为（1， t ）.
由题意，得点 C ， D 的坐标分别为 C （3，0），
D （0，1），
∴ CD2＝10， CQ2＝22＋ t2， DQ2＝12＋（ t －1）2.
∵△ DCQ 为直角三角形，∴分三种情况讨论：
①若∠ DQC ＝90°，则22＋ t2＋12＋（ t －1）2＝10，
解得 t ＝－1或 t ＝2；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点 Q ，使得△ DCQ 为直角三角形？若存
在，请求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
②若∠ QDC ＝90°，则22＋ t2＝12＋（ t －1）2＋10，
解得 t ＝4；
③若∠ DCQ ＝90°，则22＋ t2＋10＝12＋（ t －1）2，
解得 t ＝－6.
综上所述，存在点 Q ，使得△ DCQ 为直角三角形，
点 Q 的坐标为（1，－1）或（1，2）或（1，4）
或（1，－6）.
Thanks!
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九上数学第22章学业质量评价01
范围：22章
（建议用时：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列各项是二次函数的是（ A ）
A. y ＝（ x ＋1）（ x －3） B. y ＝ x3＋1
C. y ＝ x2＋ D. y ＝ x －3
2. 二次函数 y ＝（ x ＋2）2－1的图象的顶点坐标是（ C ）
A. （2，－1） B. （2，1）
C. （－2，－1） D. （－2，1）
3. 抛物线 y ＝－2 x2＋3 x －5的对称轴是直线（ D ）
A. x ＝－ B. x ＝ C. x ＝－ D. x ＝
4. 把抛物线 y ＝ x2＋1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（ C ）
A. y ＝（ x ＋3）2－1 B. y ＝（ x ＋3）2＋3
C. y ＝（ x －3）2－1 D. y ＝（ x －3）2＋3
5. 若二次函数 y ＝ ax2的图象经过点 P （－1，2），则该图象必经过点（ A ）
A. （1，2） B. （－1，－2）
C. （－2，1） D. （2，－1）
6. 若二次函数 y ＝ x2－2 x ＋ a 有最小值为6，则 a 的值为（ D ）
A. －6 B. 6 C. －7 D. 7
7. 在一次炮弹发射演习中，记录到一枚迫击炮发射的炮弹的飞行高度 y （m）与飞行时间 x （s）之间的关系式为 y ＝－ x2＋10 x .当炮弹落到地面时，经过的时间为（ C ）
A. 40 s B. 45 s C. 50 s D. 55 s
8. 已知点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）是抛物线 y ＝（ x －1）2－2上的两点.若 x1＜ x2＜0，则 y1， y2的大小关系是（ B ）
A. y1＜ y2 B. y1＞ y2
C. y1＝ y2 D. 以上都有可能
9. 已知抛物线 y ＝ x2＋ mx 的对称轴为直线 x ＝2，则关于 x 的方程 x2＋ mx ＝5的根分别是（ D ）
A. x1＝0， x2＝4 B. x1＝1， x2＝5
C. x1＝1， x2＝－5 D. x1＝－1， x2＝5
10. 已知二次函数 y ＝ ax2－2 ax ＋ c （ a ＞0），当自变量 x ＜ m 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（ C ）
A. m ＜－1 B. m ≥－1 C. m ≤1 D. m ＞1
11. 如图是一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20 m的篱笆围成.已知墙长为15 m，若平行于墙的一边长不小于8 m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ C ）
A. 48 m2，37.5 m2 B. 50 m2，32 m2
C. 50 m2，37.5 m2 D. 48 m2，32 m2
12. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线 x ＝ ，且经过点（2，0），以下结论正确的是（ D ）
A. abc ＞0 B. a ＋ c ＞ b
C. b2－4 ac ＜0 D. a ＋ b ＝0
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 抛物线 y ＝－2 x2＋3 x －7与 y 轴的交点坐标为 .
（0，－7）
14. 已知二次函数的图象顶点坐标为 A （－1，4），且过点 B （2，－5），则该二次函数的解析式为 .
y ＝－ x2－2 x ＋3
15. 如图，直线 y1＝ x ＋1与抛物线 y2＝－ x2＋3交于点 A （－2，－1）， B （1，2）.当 y1＞ y2时， x 的取值范围为 .
x ＜－2或 x ＞1
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋3与 y 轴交于点 A ，过点 A 且与 x 轴平行的直线交抛物线 y ＝ x2于点 B ， C ，则 BC 的长为 .
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三、解答题（本大题共9题，共98分）
17. （10分）如图，在平面直角坐标系中画出二次函数 y ＝ x2－2 x －3的图象.并结合图象，写出当 y ＜0时， x 的取值范围.
解：图象如图所示.
当 y ＜0时， x 的取值范围是－1＜ x ＜3.
18. （10分）已知 y ＝（ m －1） ＋4 x －5是关于 x 的二次函数，求 m 的值及该函数图象的对称轴.
解：由 y ＝（ m －1） ＋4 x －5是二次函数，
得 m2＋1＝2且 m －1≠0，解得 m ＝－1.
当 m ＝－1时，函数为 y ＝－2 x2＋4 x －5＝－2（ x －1）2－3，
∴该函数图象的对称轴为直线 x ＝1.
19. （10分）已知抛物线 y ＝ mx2－2 mx ＋ n 过点 A （1，－3）， B （－1，1）.
（1）求 m ， n 的值；
解：根据题意，得解得
（2）试判断点 P （2，5）是否在该抛物线上，并说明理由.
解：不在.理由如下：
由（1）得抛物线的解析式为 y ＝ x2－2 x －2.
当 x ＝2时， y ＝ x2－2 x －2＝22－2×2－2＝－2≠5，
∴点 P （2，5）不在该抛物线上.
20. （10分）某涵洞的截面是抛物线的一部分（如图），现测得水面宽 AB 为1.6 m，涵洞顶点 O 到水面的距离为2.4 m，以顶点 O 为原点， AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，求离涵洞顶点1.5 m处的洞宽.
解：设抛物线的解析式为 y ＝ ax2.
由题意，得点 A 的坐标为（－0.8，－2.4）.
∵点 A 在抛物线 y ＝ ax2上，
∴－2.4＝ a ×（－0.8）2，解得 a ＝－ ，∴ y ＝－ x2.
当 y ＝－1.5时，－1.5＝－ x2，解得 x1＝ ， x2＝－ ，
则 －（－ ）＝ （m）.
答：离涵洞顶点1.5 m处的洞宽为 m.
21. （10分）已知抛物线 y ＝2 x2－4 x ＋ c 与 x 轴有两个不同的交点.
（1）求 c 的取值范围；
解：∵抛物线 y ＝2 x2－4 x ＋ c 与 x 轴有两个不同的交点，
∴Δ＝ b2－4 ac ＝（－4）2－4×2 c ＞0，解得 c ＜2.
（2）若抛物线 y ＝2 x2－4 x ＋ c 经过点 A （2， m ）， B （3， n ），试比较 m 与 n 的大小.
解：∵ y ＝2 x2－4 x ＋ c ＝2（ x －1）2－2＋ c ，
∴抛物线的对称轴为直线 x ＝1，
∴点 A （2， m ）， B （3， n ）都在对称轴的右侧，
当 x ≥1时， y 随 x 的增大而增大，∴ m ＜ n .
22. （12分）如图，已知抛物线 y ＝ a （ x －1）（ x －3）（ a ≠0）与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴正半轴交于点 C ，且 OC ＝3，求抛物线及直线 BC 的解析式.
解：∵ OC ＝3，∴ C （0，3）.
把点 C （0，3）代入 y ＝ a （ x －1）（ x －3），
得3 a ＝3，解得 a ＝1，
∴抛物线的解析式为 y ＝（ x －1）（ x －3），
即 y ＝ x2－4 x ＋3.
当 y ＝（ x －1）（ x －3）＝0时，
可得 x1＝1， x2＝3，则点 B 的坐标为（3，0）.
设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx ＋3.
把点 B （3，0）代入，得3 k ＋3＝0，解得 k ＝－1，
∴直线 BC 的解析式为 y ＝－ x ＋3.
23. （12分）某景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售价 x （元/件）之间的函数关系如图所示.
（1）求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
解：设 y 与 x 之间的函数解析式为 y ＝ kx ＋ b .
将点（12，28），（15，25）代入，得
解得
∴ y 与 x 之间的函数解析式为 y ＝－ x ＋40（10≤ x ≤20）.
（2）求每天的销售利润 W （元）与销售价 x （元/件）之间的函数解析式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解：根据题意，得 W ＝（ x －10） y ＝（ x －10）（－ x ＋40）＝－（ x －25）2＋225.
∵－1＜0，∴当 x ＜25时， W 随 x 的增大而增大.
∵10≤ x ≤20，
∴当 x ＝20时， W 取得最大值，最大值为200.
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元.
24. （12分）某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD （篱笆只围 AB ， BC 两边），设 AB ＝ x m.
（1）若花园的面积为192 m2，求 x 的值；
解：∵ AB ＝ x m， BC ＝（28－ x ）m.
由题意，得 x （28－ x ）＝192，
解得 x1＝12， x2＝16，
∴ x 的值为12或16.
（2）若在 P 处有一棵树与墙 CD ， AD 的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积 S 的最大值.
解：由（1）知 BC ＝（28－ x ）m.
由题意，得解得6≤ x ≤13.
由题意，得 S ＝ x （28－ x ）＝－ x2＋28 x ＝－（ x －14）2＋196.
∵－1＜0，∴当 x ＜14时， S 随 x 的增大而增大，
∴当 x ＝13时， S 有最大值， S最大＝－（13－14）2＋196＝195.
答：花园面积 S 的最大值为195 m2.
25. （12分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ AOB ， O 为坐标原点， OB ＝1， OA ＝3.将Rt△ AOB 绕点 O 顺时针旋转90°得到Rt△ COD ，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 过 A ， B ， C 三点.
（1）求此抛物线的解析式及顶点 P 的坐标；
解：由题意，得点 A ， B ， C 的坐标分别为
A （0，3）， B （－1，0）， C （3，0）.
∵抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 经过点 A ， B ， C ，
∴抛物线的解析式为 y ＝－（ x ＋1）（ x －3）＝
－ x2＋2 x ＋3＝－（ x －1）2＋4，
∴点 P 的坐标为（1，4）.
（2）直线 l ： y ＝ kx － k ＋3与抛物线交于 M ， N 两点.若 ＝2，求 k 的值；
解：设直线 l ： y ＝ kx － k ＋3与抛物线的对称轴的交点为 F ，
∴点 F 的坐标为（1，3），∴ PF ＝1.
设点 M ， N 的坐标分别为 M（xM，yM ），N（xN，yN），
由得 x2＋（ k －2） x － k ＝0，
∴ xM ＋ xN ＝2－ k ， xMxN ＝－ k .
∵ S△ PMN ＝2，∴ PF ·（ xN － xM ）＝2，
∴ xN － xM ＝4，
∴（ xM ＋ xN ）2－4 xMxN ＝16，
即（2－ k ）2－4×（－ k ）＝16，解得 k ＝±2 .
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点 Q ，使得△ DCQ 为直角三角形？若存在，请求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在.设点 Q 的坐标为（1， t ）.
由题意，得点 C ， D 的坐标分别为 C （3，0），
D （0，1），
∴ CD2＝10， CQ2＝22＋ t2， DQ2＝12＋（ t －1）2.
∵△ DCQ 为直角三角形，∴分三种情况讨论：
①若∠ DQC ＝90°，则22＋ t2＋12＋（ t －1）2＝10，解得 t ＝－1或 t ＝2；
②若∠ QDC ＝90°，则22＋ t2＝12＋（ t －1）2＋10，解得 t ＝4；
③若∠ DCQ ＝90°，则22＋ t2＋10＝12＋（ t －1）2，解得 t ＝－6.
综上所述，存在点 Q ，使得△ DCQ 为直角三角形，
点 Q 的坐标为（1，－1）或（1，2）或（1，4）
或（1，－6）.
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九上数学第22章学业质量评价01
范围：22章
（建议用时：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列各项是二次函数的是（ A ）
A. y ＝（ x ＋1）（ x －3） B. y ＝ x3＋1
C. y ＝ x2＋ D. y ＝ x －3
2. 二次函数 y ＝（ x ＋2）2－1的图象的顶点坐标是（ C ）
A. （2，－1） B. （2，1）
C. （－2，－1） D. （－2，1）
3. 抛物线 y ＝－2 x2＋3 x －5的对称轴是直线（ D ）
A. x ＝－ B. x ＝ C. x ＝－ D. x ＝
4. 把抛物线 y ＝ x2＋1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（ C ）
A. y ＝（ x ＋3）2－1 B. y ＝（ x ＋3）2＋3
C. y ＝（ x －3）2－1 D. y ＝（ x －3）2＋3
5. 若二次函数 y ＝ ax2的图象经过点 P （－1，2），则该图象必经过点（ A ）
A. （1，2） B. （－1，－2）
C. （－2，1） D. （2，－1）
6. 若二次函数 y ＝ x2－2 x ＋ a 有最小值为6，则 a 的值为（ D ）
A. －6 B. 6 C. －7 D. 7
7. 在一次炮弹发射演习中，记录到一枚迫击炮发射的炮弹的飞行高度 y （m）与飞行时间 x （s）之间的关系式为 y ＝－ x2＋10 x .当炮弹落到地面时，经过的时间为（ C ）
A. 40 s B. 45 s C. 50 s D. 55 s
8. 已知点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）是抛物线 y ＝（ x －1）2－2上的两点.若 x1＜ x2＜0，则 y1， y2的大小关系是（ B ）
A. y1＜ y2 B. y1＞ y2
C. y1＝ y2 D. 以上都有可能
9. 已知抛物线 y ＝ x2＋ mx 的对称轴为直线 x ＝2，则关于 x 的方程 x2＋ mx ＝5的根分别是（ D ）
A. x1＝0， x2＝4 B. x1＝1， x2＝5
C. x1＝1， x2＝－5 D. x1＝－1， x2＝5
10. 已知二次函数 y ＝ ax2－2 ax ＋ c （ a ＞0），当自变量 x ＜ m 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（ C ）
A. m ＜－1 B. m ≥－1 C. m ≤1 D. m ＞1
11. 如图是一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20 m的篱笆围成.已知墙长为15 m，若平行于墙的一边长不小于8 m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ C ）
A. 48 m2，37.5 m2 B. 50 m2，32 m2
C. 50 m2，37.5 m2 D. 48 m2，32 m2
12. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线 x ＝ ，且经过点（2，0），以下结论正确的是（ D ）
A. abc ＞0 B. a ＋ c ＞ b
C. b2－4 ac ＜0 D. a ＋ b ＝0
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 抛物线 y ＝－2 x2＋3 x －7与 y 轴的交点坐标为 .
（0，－7）
14. 已知二次函数的图象顶点坐标为 A （－1，4），且过点 B （2，－5），则该二次函数的解析式为 .
y ＝－ x2－2 x ＋3
15. 如图，直线 y1＝ x ＋1与抛物线 y2＝－ x2＋3交于点 A （－2，－1）， B （1，2）.当 y1＞ y2时， x 的取值范围为 .
x ＜－2或 x ＞1
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋3与 y 轴交于点 A ，过点 A 且与 x 轴平行的直线交抛物线 y ＝ x2于点 B ， C ，则 BC 的长为 .
6
三、解答题（本大题共9题，共98分）
17. （10分）如图，在平面直角坐标系中画出二次函数 y ＝ x2－2 x －3的图象.并结合图象，写出当 y ＜0时， x 的取值范围.
解：图象如图所示.
当 y ＜0时， x 的取值范围是－1＜ x ＜3.
18. （10分）已知 y ＝（ m －1） ＋4 x －5是关于 x 的二次函数，求 m 的值及该函数图象的对称轴.
解：由 y ＝（ m －1） ＋4 x －5是二次函数，
得 m2＋1＝2且 m －1≠0，解得 m ＝－1.
当 m ＝－1时，函数为 y ＝－2 x2＋4 x －5＝－2（ x －1）2－3，
∴该函数图象的对称轴为直线 x ＝1.
19. （10分）已知抛物线 y ＝ mx2－2 mx ＋ n 过点 A （1，－3）， B （－1，1）.
（1）求 m ， n 的值；
解：根据题意，得解得
（2）试判断点 P （2，5）是否在该抛物线上，并说明理由.
解：不在.理由如下：
由（1）得抛物线的解析式为 y ＝ x2－2 x －2.
当 x ＝2时， y ＝ x2－2 x －2＝22－2×2－2＝－2≠5，
∴点 P （2，5）不在该抛物线上.
20. （10分）某涵洞的截面是抛物线的一部分（如图），现测得水面宽 AB 为1.6 m，涵洞顶点 O 到水面的距离为2.4 m，以顶点 O 为原点， AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，求离涵洞顶点1.5 m处的洞宽.
解：设抛物线的解析式为 y ＝ ax2.
由题意，得点 A 的坐标为（－0.8，－2.4）.
∵点 A 在抛物线 y ＝ ax2上，
∴－2.4＝ a ×（－0.8）2，解得 a ＝－ ，∴ y ＝－ x2.
当 y ＝－1.5时，－1.5＝－ x2，解得 x1＝ ， x2＝－ ，
则 －（－ ）＝ （m）.
答：离涵洞顶点1.5 m处的洞宽为 m.
21. （10分）已知抛物线 y ＝2 x2－4 x ＋ c 与 x 轴有两个不同的交点.
（1）求 c 的取值范围；
解：∵抛物线 y ＝2 x2－4 x ＋ c 与 x 轴有两个不同的交点，
∴Δ＝ b2－4 ac ＝（－4）2－4×2 c ＞0，解得 c ＜2.
（2）若抛物线 y ＝2 x2－4 x ＋ c 经过点 A （2， m ）， B （3， n ），试比较 m 与 n 的大小.
解：∵ y ＝2 x2－4 x ＋ c ＝2（ x －1）2－2＋ c ，
∴抛物线的对称轴为直线 x ＝1，
∴点 A （2， m ）， B （3， n ）都在对称轴的右侧，
当 x ≥1时， y 随 x 的增大而增大，∴ m ＜ n .
22. （12分）如图，已知抛物线 y ＝ a （ x －1）（ x －3）（ a ≠0）与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴正半轴交于点 C ，且 OC ＝3，求抛物线及直线 BC 的解析式.
解：∵ OC ＝3，∴ C （0，3）.
把点 C （0，3）代入 y ＝ a （ x －1）（ x －3），
得3 a ＝3，解得 a ＝1，
∴抛物线的解析式为 y ＝（ x －1）（ x －3），
即 y ＝ x2－4 x ＋3.
当 y ＝（ x －1）（ x －3）＝0时，
可得 x1＝1， x2＝3，则点 B 的坐标为（3，0）.
设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx ＋3.
把点 B （3，0）代入，得3 k ＋3＝0，解得 k ＝－1，
∴直线 BC 的解析式为 y ＝－ x ＋3.
23. （12分）某景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售价 x （元/件）之间的函数关系如图所示.
（1）求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
解：设 y 与 x 之间的函数解析式为 y ＝ kx ＋ b .
将点（12，28），（15，25）代入，得
解得
∴ y 与 x 之间的函数解析式为 y ＝－ x ＋40（10≤ x ≤20）.
（2）求每天的销售利润 W （元）与销售价 x （元/件）之间的函数解析式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解：根据题意，得 W ＝（ x －10） y ＝（ x －10）（－ x ＋40）＝－（ x －25）2＋225.
∵－1＜0，∴当 x ＜25时， W 随 x 的增大而增大.
∵10≤ x ≤20，
∴当 x ＝20时， W 取得最大值，最大值为200.
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元.
24. （12分）某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD （篱笆只围 AB ， BC 两边），设 AB ＝ x m.
（1）若花园的面积为192 m2，求 x 的值；
解：∵ AB ＝ x m， BC ＝（28－ x ）m.
由题意，得 x （28－ x ）＝192，
解得 x1＝12， x2＝16，
∴ x 的值为12或16.
（2）若在 P 处有一棵树与墙 CD ， AD 的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积 S 的最大值.
解：由（1）知 BC ＝（28－ x ）m.
由题意，得解得6≤ x ≤13.
由题意，得 S ＝ x （28－ x ）＝－ x2＋28 x ＝－（ x －14）2＋196.
∵－1＜0，∴当 x ＜14时， S 随 x 的增大而增大，
∴当 x ＝13时， S 有最大值， S最大＝－（13－14）2＋196＝195.
答：花园面积 S 的最大值为195 m2.
25. （12分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ AOB ， O 为坐标原点， OB ＝1， OA ＝3.将Rt△ AOB 绕点 O 顺时针旋转90°得到Rt△ COD ，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 过 A ， B ， C 三点.
（1）求此抛物线的解析式及顶点 P 的坐标；
解：由题意，得点 A ， B ， C 的坐标分别为
A （0，3）， B （－1，0）， C （3，0）.
∵抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 经过点 A ， B ， C ，
∴抛物线的解析式为 y ＝－（ x ＋1）（ x －3）＝
－ x2＋2 x ＋3＝－（ x －1）2＋4，
∴点 P 的坐标为（1，4）.
（2）直线 l ： y ＝ kx － k ＋3与抛物线交于 M ， N 两点.若 ＝2，求 k 的值；
解：设直线 l ： y ＝ kx － k ＋3与抛物线的对称轴的交点为 F ，
∴点 F 的坐标为（1，3），∴ PF ＝1.
设点 M ， N 的坐标分别为 M（xM，yM ），N（xN，yN），
由得 x2＋（ k －2） x － k ＝0，
∴ xM ＋ xN ＝2－ k ， xMxN ＝－ k .
∵ S△ PMN ＝2，∴ PF ·（ xN － xM ）＝2，
∴ xN － xM ＝4，
∴（ xM ＋ xN ）2－4 xMxN ＝16，
即（2－ k ）2－4×（－ k ）＝16，解得 k ＝±2 .
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点 Q ，使得△ DCQ 为直角三角形？若存在，请求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在.设点 Q 的坐标为（1， t ）.
由题意，得点 C ， D 的坐标分别为 C （3，0），
D （0，1），
∴ CD2＝10， CQ2＝22＋ t2， DQ2＝12＋（ t －1）2.
∵△ DCQ 为直角三角形，∴分三种情况讨论：
①若∠ DQC ＝90°，则22＋ t2＋12＋（ t －1）2＝10，解得 t ＝－1或 t ＝2；
②若∠ QDC ＝90°，则22＋ t2＝12＋（ t －1）2＋10，解得 t ＝4；
③若∠ DCQ ＝90°，则22＋ t2＋10＝12＋（ t －1）2，解得 t ＝－6.
综上所述，存在点 Q ，使得△ DCQ 为直角三角形，
点 Q 的坐标为（1，－1）或（1，2）或（1，4）
或（1，－6）.
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