安徽省芜湖市2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（图片版，含详解）

安徽省芜湖市 2024-2025 学年高一下学期期中联考
数学试卷
一、单选题
1. 设复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
2. 已知 三点，则 等于（ ）
A． B． C． D．1
3. 如图，已知 为平行四边形 内一点， ，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
4. 如图是水平放置的四边形 的斜二测直观图 ，且 轴，，
轴，则原四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
5. 两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是 （ ）
A．一个三棱锥 B．一个四棱锥
C．一个三棱柱 D．一个四棱柱
6. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．若 有
两解，则 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
7. 芜湖中江塔始建于明万历四十六年（1618 年），清代康熙八年（1669 年）续
建落成.古时候，人们把长江的从九江至京口（镇江）一段，称为中江，而芜湖
适得其处，故有中江之名，中江塔也由此得名.中江塔每层每面均有一门，门两
边各有一窗，专供夜间置灯，导航来往船只，故中江塔通常被当作芜湖的城市名
片和地标建筑.如图，某同学为测量中江塔的高度 ，在中江塔的正东方向找
到一座建筑物 ，高约为 ，在地面上点 处（ 三点共线）测得建筑
物顶部 和中江塔顶部 的仰角分别为 和 ，在 处测得塔顶部 的仰角为 ，
则中塔的高度约为（ ）
A． B． C． D．
8. 设 为非零向量， ，两组向量 和 均由 2
个 和 2个 排列而成，若 所有可能取值中的最小值
为 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9. 如果平面向量 ，那么下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C． 的夹角为
D．向量 在 方向上的投影向量为
10. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ，则
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 面积的最大值为 D． 周长的最大值为
11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心 重心 垂心依次在一条直线
上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理
称为欧拉线定理.已知 的外心为 ，重心为 ，垂心为 ，且 ，
以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若 ，则
三、填空题
12. 平面向量 与 的夹角为 ， ，，则 __________．
13. 甲烷分子式为 ，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四
个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，用 表示碳原子的位置，用
表示四个氢原子的位置，设 ，则
__________.
14. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：
“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意
大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于 时，使得
的点 即为费马点；当 有一个内角大于或
等于 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知
的内角 所对的边分别为 ，若 ，设点
为 的费马点，则 __________.
四、解答题
15. 已知 是虚数单位，复数 z 的共轭复数是 ，且满足 ．
(1)求复数 z 的模 ；
(2)若复数 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 m 的取值范围．
16. 如图，在△OAB 中，已知 P为线段 AB 上的一点，且| |=2| |.
（1）试用 ， 表示 ；
（2）若 =3， =2，且∠AOB=60°，求 的值.
17. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 ，
，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
18. 如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为 0.6 千米的正方
形地块 上划出一片三角形地块 建设小型生态园，点 分别在边
上.
（1）当点 分别时边 中点和 靠近 的三等分点时，求 的余弦值；
（2）实地勘察后发现，由于地形等原因， 的周长必须为 1.2 千米，请研
究 是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.
19. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫
做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的
顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式： ，其中 为顶点数， 为棱
数， 为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点 棱 面之间的一些数
量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.
一方面，每个面有 4条边，六个面相加共 24 条边；另一方面，每条棱出现在两
个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有 12 条棱；再根据欧拉公
式， ，可以得到顶点数 .
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与
三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明： 个顶点的凸多面体，至多有 条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均
相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
安徽省芜湖市 2024-2025 学年高一下学期期中联考数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、平面向量、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 1
较易 6
适中 9
较难 1
困难 2
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.85 求复数的实部与虚部；复数的除法运算
2 0.85 平面向量线性运算的坐标表示；数量积的坐标表示
3 0.65 向量加法法则的几何应用；向量减法法则的几何应用
4 0.65 斜二测画法中有关量的计算
5 0.85 棱柱的结构特征和分类；棱锥的结构特征和分类
6 0.85 正弦定理判定三角形解的个数
7 0.65 高度测量问题
8 0.65 向量夹角的计算；数量积的运算律
二、多选题
9 0.85 平行向量（共线向量）；求投影向量；数量积的运算律；坐标计算向量的模
求三角形中的边长或周长的最值或范围；求三角形面积的最值或范围；正弦定理
10 0.65
解三角形；余弦定理边角互化的应用
平面向量数量积的几何意义；数量积的运算律；正弦定理求外接圆半径；余弦定
11 0.15
理解三角形
三、填空题
12 0.94 向量的模
13 0.65 正棱锥及其有关计算；二倍角的余弦公式；线面垂直证明线线垂直
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；用定
14 0.4
义求向量的数量积
四、解答题
求复数的模；复数代数形式的乘法运算；在各象限内点对应复数的特征；共轭复
15 0.65
数的概念及计算
16 0.85 用基底表示向量；用定义求向量的数量积
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；由向
17 0.65
量共线（平行）求参数
几何中的三角函数模型；已知两角的正、余弦，求和、差角的正切；三角函数综
18 0.65
合
19 0.15 多面体的性质探究；棱锥的结构特征和分类
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 复数 1,15
2 平面向量 2,3,8,9,11,12,14,16,17
3 空间向量与立体几何 4,5,13,19
4 三角函数与解三角形 6,7,10,11,13,14,17,18
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：