山西省山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（图片版，含详解）

山西省山西大学附属中学校 2024-2025 学年高一下
学期期中考试数学试题
一、单选题
1. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，已知 为平行四边形 内一点， ，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
3. 如图所示，在三棱台 中，截去三棱锥 ，则剩余部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
4. 已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5. 在△ABC中，角 A，B，C对边分别为 a，b，c， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
6. 在 中， ， 是 的中点， 与 交于点 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．1
7. 据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，
如图所示，该不倒翁由上底面半径为 2cm、下底面半径为 3cm 且母线为 的
圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的 3倍（圆台与半球均为
实心），圆台的质量为 190g，则该不倒翁的总质量为（ ）
A．370g B．490g C．650g D．730g
8. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折
叠的扇子.某折扇如图 1所示，其平面图为如图 2所示的扇形 AOB，其半径为 3，
，点 E，F分别在 ， 上，且 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9. 已知四边形 用斜二测画法画出的直观图为直角梯形 ，如图所示，
， ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体
底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为 10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．该几何体的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点 爬行到点 ，所经过的最短路程为
11. 在△ABC中， ， ， ，点 在线段 上（不包括端点），下
列结论正确的是（ ）
A．若 是高，则 B．若 是中线，则
C．若 是角平分线，则 D．若 ，则 是线段 的三等分点
三、填空题
12. 复数 z满足 ，则复数 z的模的最大值是______．
13. 已知球 的表面积为 ，平面 截球 所得的截面面积为 ，则以 为顶点，
截面为底面的圆锥的体积为__________．
14. 目前，中国已经建成全球最大的 5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原，
处处都能见到 5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的
一座 5G 基站 ，已知基站高 m，该同学眼高 1.5m（眼睛到地面的距离），
该同学在初始位置 C处（眼睛所在位置）测得基站底部 B的仰角为 37°，测得
基站顶端 A的仰角为 45°.求出山高 ______m（用参考数据进行计算）；
如图，当该同学面向基站 AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位
置 C处（眼睛所在位置）到基站 所在直线的距离 m，且记在 C处观测
基站底部 B的仰角为α，观测基站顶端 A的仰角为β.试问当 _____m时，观测
基站的视角 最大？参考数据： ， ， ，
， .
四、解答题
15. 设 ， ，向量 ， ， ，且 ， ．
(1)求 ；
(2)求向量 与 夹角的余弦值．
16. （1）计算： ；
（2）已知 是虚数单位， 表示 的共轭复数，复数 满足 ，求 的
值．
17. 如图，三棱柱 的侧棱垂直于底面，其高为 2cm，底面三角形的
边长分别为 3cm，4cm，5cm.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积 ；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
18. 在面积为 S的 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且
．
(1)若 ，试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ，则 的面积为 ，求 ， 的值；
(3)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：
在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利
数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于 时，使得
的点 即为费马点；当 有一个内角大于
或等于 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
(1)若 是边长为的 6等边三角形，求该三角形的费马点 到各顶点的距离
之和；
(2) 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，点 为 的
费马点．
（i）若 ，求 ；
（ii）求 的最小值．
山西省山西大学附属中学校 2024-2025 学年高一下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、平面向量、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、等式与不等式
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 2
较易 7
适中 9
较难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 求复数的实部与虚部；复数代数形式的乘法运算
2 0.65 向量加法法则的几何应用；向量减法法则的几何应用
3 0.94 棱锥的结构特征和分类；棱台的结构特征和分类
4 0.85 数量积的坐标表示；求投影向量
5 0.65 余弦定理解三角形；已知模求数量积
向量的线性运算的几何应用；平面向量基本定理的应用；平面向量共线定理的推
6 0.4
论
7 0.85 台体体积的有关计算；球的体积的有关计算；求组合体的体积
8 0.65 求 cosx(型)函数的值域；数量积的运算律；向量加法法则的几何应用
二、多选题
9 0.85 斜二测画法中有关量的计算；由直观图还原几何图形
棱柱的展开图及最短距离问题；正棱锥及其有关计算；求组合多面体的表面积；
10 0.65
求组合体的体积
11 0.65 余弦定理解三角形；用向量解决线段的长度问题
三、填空题
12 0.85 与复数模相关的轨迹（图形）问题
13 0.85 球的截面的性质及计算；锥体体积的有关计算；球的表面积的有关计算
用和、差角的正切公式化简、求值；正弦定理解三角形；高度测量问题；基本不
14 0.65
等式求和的最小值
四、解答题
向量夹角的计算；向量垂直的坐标表示；由向量共线（平行）求参数；坐标计算
15 0.65
向量的模
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算；求复数的模；共轭复数的概念及计
16 0.85
算
多面体与球体内切外接问题；求组合体的体积；柱体体积的有关计算；球的表面
17 0.65
积的有关计算
三角形面积公式及其应用；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；正、
18 0.85
余弦定理判定三角形形状
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；用定义求向量的数量积；基本不
19 0.65
等式求和的最小值
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 复数 1,12,16
2 平面向量 2,4,5,6,8,11,15,19
3 空间向量与立体几何 3,7,9,10,13,17
4 三角函数与解三角形 5,8,11,14,18,19
5 等式与不等式 14,19
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：