广东省深圳市2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·深圳三模）代数式成立的条件是( )
A． B． C． D．
2．（2025·深圳三模）涵涵生日那天收到朋友送的一个正六棱柱收纳盒忽略壁厚，如图所示此状态下该收纳盒的俯视图为( )
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳三模）下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
4．（2025·深圳三模）某班名同学在一次“分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为单位：次：，，，，，，这组数据的众数、中位数分别是( )
A．， B．， C．， D．，
5．（2025·深圳三模）如图，直线，直线分别与直线，相交于点，，于点，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
6．（2025·深圳三模）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·深圳三模）如图，菱形中，，，，分别是，的中点，则( )
A． B． C． D．
8．（2025·深圳三模）如图，正五边形的顶点、分别在一把直尺的两边上直尺为长方形，若，则图中的度数为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2025·深圳三模）菏泽牡丹历史悠久，文化底蕴深厚史料记载，菏泽牡丹栽培始于隋代，历经唐宋的蓬勃发展，至明清时期达到鼎盛，至今已有多年的历史清代诗人袁枚的一首诗苔中写到：“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示为 米
10．（2025·深圳三模）若将方程进行配方，则该方程可变形为 ．
11．（2025·深圳三模）如图，点，是一次函数与反比例函数的两个交点，则时自变量的取值范围是 ．
12．（2025·深圳三模）如图，投影仪镜头看成一个点到投影墙的距离为，得到的像为经测量，镜头到像顶端的仰角为，到像底端的俯角为，则像的高度约为 结果精确到参考数据：，
13．（2025·深圳三模）如图，将一张 纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2025·深圳三模）计算：．
15．（2025·深圳三模）先化简，再求代数式的值，其中．
16．（2025·深圳三模）近年来，人工智能深刻改变着人们的日常工作和生活方式有关人员向消费者开展了，两款机器人使用满意度的问卷调查，并从中各随机抽取份问卷，将收集的数据进行整理、描述和分析满意度评分用表示，满分为分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息．
抽取的对款机器人的评分数据中“满意”包含的所有数据：
，，，，，，．
抽取的对款机器人的评分数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的对，两款机器人的评分的统计表
统计量 机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
款
款
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上面图表中 ， ， ．
（2）根据以上信息，你认为哪一款机器人更受消费者欢迎？请说明理由．
17．（2025·深圳三模）我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，，，，如图，在长方形中，，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长．
18．（2025·深圳三模）如图，内接于，，连接．
（1）求证：平分；
（2）如图，过点作的垂线，交于点，垂足为点，连接、，与相交于点，求证：；
（3）如图，在的条件下，延长交于点，交于点，连接，若，，求的长．
19．（2025·深圳三模）如图，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道如图是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中为的中点，隧道的净高度米参考数据：
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如果一货运汽车装载货物后的高度为米，宽度为米隧道内两个行车道用实线隔开实线的宽度忽略不计，不允许车辆随意变道试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由．
20．（2025·深圳三模）在数学活动课上，同学们探究利用正方形纸折出特殊角及利用特殊点折出对称图形，并进一步探究几何图形中线段的长度问题．如图1，在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点 B的对应点为点 E．
（1）【初步感知】当点E在的垂直平分线上时，求的度数；
（2）【探究应用】如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接．若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式成立的条件为，
∴，
解得：-1＜x≤3
故答案为：D.
【分析】代数式成立的条件要代数式有意义，分母不能为零，这样二次根式x+1>0，分子有意义3-x≥0，在求出不等式的解集.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、此图形为左视图，A选项不符合题意；
B、此图形不是三视图，B选项不符合题意；
C、此图为俯视图，C选项符合题意；
D、此图形为正视图，D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据立体图形的三视图，主视图正对着看，俯视图从上往下看，左视图从左边看可知.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2，A不符合题意；
B、6a2-2a2=4a2，B不符合题意；
C、a2·，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项的规则，可以判断A、B选项不符合题意；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可以判断C选项符合题意；根据积的乘方可以判断，D不符合题意.
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意可知，
众数为39，
37，39，39，41，45，49中位数为，
故答案为：39，40.
【分析】根据众数和中位数的概念， 一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数 ； 在给定的一组数据中，将数据按照大小排列后，中位数就是处于中间位置的数值；如果数据元素个数为奇数，则中位数是排序后的中间值；如果数据元素个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值.
5．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
在Rt△MFB中，
∵∠1=40°，
∴∠3=∠2=90°-40°=50°；
故答案为：B.
【分析】根据在直角三角形中，已知一个角的值，可求另一个角，根据两直线平行，同位角相等可得.
6．【答案】A
【知识点】平行投影；列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设竿的长度为尺，
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】本题考查平行投影，由同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，结合“ 影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸”可列出关于的分式方程.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BC=4，
∴AB=AD=BC=4，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴AE =AB = 2，AF=AD = 2，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=120°，
∴∠AEF=∠AFE=（180°-∠EAF）=（180°-120°）= 30°，
过点A作AG⊥EF，如图，
∴EG =FG， AG=AE=1，
∴EG =
∴EF=2EG =2
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，由菱形的性质得AB=AD=BC=4，由E，F分别是AB，AD的中点得AE=AF=2，∠A=120°得∠AEF=∠AFE=30°，过点A作AG⊥EF，得 EF=2EG，AG=AE=1，由勾股定理得EG=，从而可得出EF的值.
8．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵BF∥SD，
∴∠1=∠3=50°，
∵∠C=，
在△SCD中，
∴∠2=180°-∠C-∠3=180°-108°-50°=22°
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质，可以求出∠3的值，根据正多边形的内角和公式求出∠C的角度，根据三角形的内角和，可以求出∠2的值.
9．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据科学记数法的定义，将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数.
10．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将进行配方得，具体步骤如下：
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程配方的方法，加上一次项系数的一半的平方，在减去一次项系数一半的平方可得.
11．【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵A(-6，m)，B（-2，n）在y=ax+b和y=，
∴
解得a=，
∴k=-6m，k=-2n，
∴m=，
∴a=，b=，
把a=，b=，k=-2n，代入得
整理得：
x2+8x+12≥0，
（x+2）(x+6)≥0，
解得：-6≤x≤-2或x＞0；
故答案为：-6≤x≤-2或x＞0.
【分析】把A，B坐标代入一次函数和反比例函数中，推到出a，b，k的值用n的代数式代替，代入到代数式中化为，整理成x2+8x+12≥0，求出自变量的值.
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：
如图，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，tan∠BAD=，∴BD=ADtan30°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=ADtan11.3°，
∴BC=ADtan30°+ADtan11.3°≈3×0.58+3×0.20≈2.3.
则像BC的高度约为2.3m
故答案为：2.3.
【分析】根据锐角三角函数，分别在Rt△ABD和Rt△ACD中求出BD和CD的值，
13．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=2，
∵ 将一张 纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上 ，
∴AB=CD=AF，四边形EFDC是平行四边形，
∴AB=CD=AF=EF=2，
∵∠C=120°，
∴∠EFD=120°，
∴∠AFE=60°
∴△AFE等边三角形，
过E点作ES⊥AF于点S，如图
∴在Rt△SFE中，
Sin∠AFE=，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质和已知条件，可以推断出△AFE等边三角形，根据锐角三角函数，求出SE的值，在根据三角形的面积公式可得.
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算二次根式，三角函数，绝对值，以及零次幂的值，在计算加减，
15．【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对代数式进行化简， ，利用三角函数，求出x的值，代入化简的代数式求值.
16．【答案】（1）15；84；89
（2）解：款机器人设备更受消费者欢迎答案不唯一，理由如下：
依题意，两款机器人的评分数据的平均数相同，但款机器人的评分数据的中位数，众数和“非常满意”所占百分比比款高，
款机器人更受消费者欢迎
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）①∵抽取的对款机器人的评分数据中“满意”包含的所有数据可知，满意占7份，
∴满意占的百分比为：，
根据对A款AI机器人的评分扇形统计图可知，
比较满意占比为：1-40%-10%-35%=15%，
∴a=15；
根据中位数可知，抽取的对款机器人的评分数据中“满意”包含的所有数据可知，
∵，，，，，，．
∴m=84；
根据众数可知， 抽取的对款机器人的评分数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
∴n=89；
故答案为：15，84，89.
【分析】（1）根据“满意”的评分数据除以样本总量20份问卷乘以百分之百求得“满意”的占比，根据扇形统计图，可以计算出比较满意a所占百分比，再根据中位数和众数的概念求得m，n；
（2）根据两组数据中，平均数、中位数、众数的值及“非常满意”所占百分比即可得出结论.
17．【答案】解：在长方形中，，，把沿折叠，点恰好落在的点处，
，，，，
，
，，，，
在中，由勾股定理得：
，
，
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据折叠的性质，可以推断出，，，，根据矩形的性质，可以推断出，，，，在Rt△AFD中，根据勾股定理以及EF，DE，DF的关系可以推断出BE的值.
18．【答案】（1）证明：连接，，则，
，，
≌，
，
平分
（2）证明：设，
由知：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：连接，作交与点，作交的延长线于点，过点作，
则：，，
，平分，
，
，
，
设，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
≌，
，，
设，，则：，
，，
，
由可知：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，即，
在中，，
，
，
，
，，
作，则：，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
又，
，，
，，
在中，，
，
，
，
；
同理：在中，，
，
在中，由勾股定理，得：
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）作辅助线如图，根据全等三角形的判定定理SSS，可以求证；
（2）根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质，DF=DC；
（3）作辅助线如图，根据已知条件，角平分线定义，以及全等三角形的判定ASA，逐步推到出BH和BF的值，在和中根据三角函数和勾股定理求出OP和HP和OH的值，作辅助线，，根据三角形面积公式，勾股定理，三角函数推导出BH，BD值，在和，，根据三角函数和勾股定理推到出DG的值.
19．【答案】（1）解：，
，
，
设，
则，
，
（2）解：，，，，，
，
，
当时，，
左侧车道能通过，
当时，，
右侧车道不能通过
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）求出A点坐标，根据抛物线解析式交点式，求出二次函数的表达式；
（2）根据（1）可知AO=GO的值，CD=DE的值，EF的值，AB=FG的值，BC的值，可以求出OD的值，确定D点的坐标，根据车宽以及货物的高度，判断左侧车道和右侧车道是否可以通过.
20．【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵P 是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据垂直平分线性质可得，再根据折叠性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得，再根据折叠性质可得由折叠的性质可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点M作于N，连接，根据正方形性质可得，根据线段中点可得，再根据等边对等角可得，，再根据三角形中位线定理可得，根据等边对等角可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，设，根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，化简可得，根据题意建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图所示，连接，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵P 是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
∴．
1 / 1广东省深圳市2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·深圳三模）代数式成立的条件是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式成立的条件为，
∴，
解得：-1＜x≤3
故答案为：D.
【分析】代数式成立的条件要代数式有意义，分母不能为零，这样二次根式x+1>0，分子有意义3-x≥0，在求出不等式的解集.
2．（2025·深圳三模）涵涵生日那天收到朋友送的一个正六棱柱收纳盒忽略壁厚，如图所示此状态下该收纳盒的俯视图为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、此图形为左视图，A选项不符合题意；
B、此图形不是三视图，B选项不符合题意；
C、此图为俯视图，C选项符合题意；
D、此图形为正视图，D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据立体图形的三视图，主视图正对着看，俯视图从上往下看，左视图从左边看可知.
3．（2025·深圳三模）下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2，A不符合题意；
B、6a2-2a2=4a2，B不符合题意；
C、a2·，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项的规则，可以判断A、B选项不符合题意；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可以判断C选项符合题意；根据积的乘方可以判断，D不符合题意.
4．（2025·深圳三模）某班名同学在一次“分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为单位：次：，，，，，，这组数据的众数、中位数分别是( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意可知，
众数为39，
37，39，39，41，45，49中位数为，
故答案为：39，40.
【分析】根据众数和中位数的概念， 一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数 ； 在给定的一组数据中，将数据按照大小排列后，中位数就是处于中间位置的数值；如果数据元素个数为奇数，则中位数是排序后的中间值；如果数据元素个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值.
5．（2025·深圳三模）如图，直线，直线分别与直线，相交于点，，于点，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
在Rt△MFB中，
∵∠1=40°，
∴∠3=∠2=90°-40°=50°；
故答案为：B.
【分析】根据在直角三角形中，已知一个角的值，可求另一个角，根据两直线平行，同位角相等可得.
6．（2025·深圳三模）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行投影；列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设竿的长度为尺，
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】本题考查平行投影，由同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，结合“ 影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸”可列出关于的分式方程.
7．（2025·深圳三模）如图，菱形中，，，，分别是，的中点，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BC=4，
∴AB=AD=BC=4，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴AE =AB = 2，AF=AD = 2，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=120°，
∴∠AEF=∠AFE=（180°-∠EAF）=（180°-120°）= 30°，
过点A作AG⊥EF，如图，
∴EG =FG， AG=AE=1，
∴EG =
∴EF=2EG =2
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，由菱形的性质得AB=AD=BC=4，由E，F分别是AB，AD的中点得AE=AF=2，∠A=120°得∠AEF=∠AFE=30°，过点A作AG⊥EF，得 EF=2EG，AG=AE=1，由勾股定理得EG=，从而可得出EF的值.
8．（2025·深圳三模）如图，正五边形的顶点、分别在一把直尺的两边上直尺为长方形，若，则图中的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵BF∥SD，
∴∠1=∠3=50°，
∵∠C=，
在△SCD中，
∴∠2=180°-∠C-∠3=180°-108°-50°=22°
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质，可以求出∠3的值，根据正多边形的内角和公式求出∠C的角度，根据三角形的内角和，可以求出∠2的值.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2025·深圳三模）菏泽牡丹历史悠久，文化底蕴深厚史料记载，菏泽牡丹栽培始于隋代，历经唐宋的蓬勃发展，至明清时期达到鼎盛，至今已有多年的历史清代诗人袁枚的一首诗苔中写到：“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示为 米
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据科学记数法的定义，将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数.
10．（2025·深圳三模）若将方程进行配方，则该方程可变形为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将进行配方得，具体步骤如下：
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程配方的方法，加上一次项系数的一半的平方，在减去一次项系数一半的平方可得.
11．（2025·深圳三模）如图，点，是一次函数与反比例函数的两个交点，则时自变量的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵A(-6，m)，B（-2，n）在y=ax+b和y=，
∴
解得a=，
∴k=-6m，k=-2n，
∴m=，
∴a=，b=，
把a=，b=，k=-2n，代入得
整理得：
x2+8x+12≥0，
（x+2）(x+6)≥0，
解得：-6≤x≤-2或x＞0；
故答案为：-6≤x≤-2或x＞0.
【分析】把A，B坐标代入一次函数和反比例函数中，推到出a，b，k的值用n的代数式代替，代入到代数式中化为，整理成x2+8x+12≥0，求出自变量的值.
12．（2025·深圳三模）如图，投影仪镜头看成一个点到投影墙的距离为，得到的像为经测量，镜头到像顶端的仰角为，到像底端的俯角为，则像的高度约为 结果精确到参考数据：，
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：
如图，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，tan∠BAD=，∴BD=ADtan30°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=ADtan11.3°，
∴BC=ADtan30°+ADtan11.3°≈3×0.58+3×0.20≈2.3.
则像BC的高度约为2.3m
故答案为：2.3.
【分析】根据锐角三角函数，分别在Rt△ABD和Rt△ACD中求出BD和CD的值，
13．（2025·深圳三模）如图，将一张 纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=2，
∵ 将一张 纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上 ，
∴AB=CD=AF，四边形EFDC是平行四边形，
∴AB=CD=AF=EF=2，
∵∠C=120°，
∴∠EFD=120°，
∴∠AFE=60°
∴△AFE等边三角形，
过E点作ES⊥AF于点S，如图
∴在Rt△SFE中，
Sin∠AFE=，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质和已知条件，可以推断出△AFE等边三角形，根据锐角三角函数，求出SE的值，在根据三角形的面积公式可得.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2025·深圳三模）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算二次根式，三角函数，绝对值，以及零次幂的值，在计算加减，
15．（2025·深圳三模）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对代数式进行化简， ，利用三角函数，求出x的值，代入化简的代数式求值.
16．（2025·深圳三模）近年来，人工智能深刻改变着人们的日常工作和生活方式有关人员向消费者开展了，两款机器人使用满意度的问卷调查，并从中各随机抽取份问卷，将收集的数据进行整理、描述和分析满意度评分用表示，满分为分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息．
抽取的对款机器人的评分数据中“满意”包含的所有数据：
，，，，，，．
抽取的对款机器人的评分数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的对，两款机器人的评分的统计表
统计量 机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
款
款
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上面图表中 ， ， ．
（2）根据以上信息，你认为哪一款机器人更受消费者欢迎？请说明理由．
【答案】（1）15；84；89
（2）解：款机器人设备更受消费者欢迎答案不唯一，理由如下：
依题意，两款机器人的评分数据的平均数相同，但款机器人的评分数据的中位数，众数和“非常满意”所占百分比比款高，
款机器人更受消费者欢迎
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）①∵抽取的对款机器人的评分数据中“满意”包含的所有数据可知，满意占7份，
∴满意占的百分比为：，
根据对A款AI机器人的评分扇形统计图可知，
比较满意占比为：1-40%-10%-35%=15%，
∴a=15；
根据中位数可知，抽取的对款机器人的评分数据中“满意”包含的所有数据可知，
∵，，，，，，．
∴m=84；
根据众数可知， 抽取的对款机器人的评分数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
∴n=89；
故答案为：15，84，89.
【分析】（1）根据“满意”的评分数据除以样本总量20份问卷乘以百分之百求得“满意”的占比，根据扇形统计图，可以计算出比较满意a所占百分比，再根据中位数和众数的概念求得m，n；
（2）根据两组数据中，平均数、中位数、众数的值及“非常满意”所占百分比即可得出结论.
17．（2025·深圳三模）我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，，，，如图，在长方形中，，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长．
【答案】解：在长方形中，，，把沿折叠，点恰好落在的点处，
，，，，
，
，，，，
在中，由勾股定理得：
，
，
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据折叠的性质，可以推断出，，，，根据矩形的性质，可以推断出，，，，在Rt△AFD中，根据勾股定理以及EF，DE，DF的关系可以推断出BE的值.
18．（2025·深圳三模）如图，内接于，，连接．
（1）求证：平分；
（2）如图，过点作的垂线，交于点，垂足为点，连接、，与相交于点，求证：；
（3）如图，在的条件下，延长交于点，交于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，则，
，，
≌，
，
平分
（2）证明：设，
由知：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：连接，作交与点，作交的延长线于点，过点作，
则：，，
，平分，
，
，
，
设，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
≌，
，，
设，，则：，
，，
，
由可知：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，即，
在中，，
，
，
，
，，
作，则：，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
又，
，，
，，
在中，，
，
，
，
；
同理：在中，，
，
在中，由勾股定理，得：
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）作辅助线如图，根据全等三角形的判定定理SSS，可以求证；
（2）根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质，DF=DC；
（3）作辅助线如图，根据已知条件，角平分线定义，以及全等三角形的判定ASA，逐步推到出BH和BF的值，在和中根据三角函数和勾股定理求出OP和HP和OH的值，作辅助线，，根据三角形面积公式，勾股定理，三角函数推导出BH，BD值，在和，，根据三角函数和勾股定理推到出DG的值.
19．（2025·深圳三模）如图，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道如图是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中为的中点，隧道的净高度米参考数据：
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如果一货运汽车装载货物后的高度为米，宽度为米隧道内两个行车道用实线隔开实线的宽度忽略不计，不允许车辆随意变道试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
设，
则，
，
（2）解：，，，，，
，
，
当时，，
左侧车道能通过，
当时，，
右侧车道不能通过
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）求出A点坐标，根据抛物线解析式交点式，求出二次函数的表达式；
（2）根据（1）可知AO=GO的值，CD=DE的值，EF的值，AB=FG的值，BC的值，可以求出OD的值，确定D点的坐标，根据车宽以及货物的高度，判断左侧车道和右侧车道是否可以通过.
20．（2025·深圳三模）在数学活动课上，同学们探究利用正方形纸折出特殊角及利用特殊点折出对称图形，并进一步探究几何图形中线段的长度问题．如图1，在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点 B的对应点为点 E．
（1）【初步感知】当点E在的垂直平分线上时，求的度数；
（2）【探究应用】如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接．若，求的值．
【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵P 是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据垂直平分线性质可得，再根据折叠性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得，再根据折叠性质可得由折叠的性质可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点M作于N，连接，根据正方形性质可得，根据线段中点可得，再根据等边对等角可得，，再根据三角形中位线定理可得，根据等边对等角可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，设，根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，化简可得，根据题意建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图所示，连接，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵P 是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
∴．
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