第25章 图形的相似 同步测试卷（含部分解析） 2025-2026学年冀教版九年级数学上册-普通用卷

第25章 图形的相似 同步测试卷 2025-2026学年冀教版九年级数学上册
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
2.已知∽，它们的周长分别为和，且，则的长为 ( )
A. B. C. D.
3.在下列条件中，不能判断与相似的是( )
A. ， B. 且
C. D. 且
4.若两个相似三角形的面积之比为：，则它们对应角的平分线之比为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，点，分别在，上，且，，，，那么的值为( )
A. B. C. D.
6.一个多边形的边长为，，，，，另一个和它相似的多边形的最长边为，则这个多边形的最短边长为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知与位似，且与的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，且分别交，于点，，若，则和的面积之比等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知与位似，位似比是，若的周长是，则的周长是 ．
10.如图，在中，，，若，则 ．
11.如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 填一个即可．
12.如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高，测得，，楼高是______
13.为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为的小视力表．如图，如果大视力表中“”的高度是，那么小视力表中相应“”的高度是______．
14.如图，在菱形中，为边上一点，、交于点，若，则： ______．
15.在中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是______．
16.如图，三角形中，、分别为边、上的一点，且平行于，与相似比为：，则： ______．
三、解答题：本题共6小题，共52分。
17.本小题分
如图，在中，，，于求证：∽．
18.本小题分
延时课上，老师布置任务如下：让王林站在点处去观测外的位于点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具、、在直线上已知王林目高，大树高，将平面镜放置在离多远处才能观测到大树的顶端．
19.本小题分
如图，在一阶梯旁的地方树立着一根柱子，其影子的前端刚好到达第三个阶梯图中虚线即为柱子的影子，已知阶梯各台阶的高度和深度都是，小明为了测量柱子的高度，拿来一根的杆子，树立地面，测量影子长度是，请你帮小明求出这根柱子的高度是多少？
20.本小题分
如图，在 中，点在的延长线上，与交于点．
求证：∽；
若的面积为，，求的面积．
21.本小题分
如图，点、分别在的边、上，且．
求证：∽；
已知，：：，，求的长．
22.本小题分
某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度．
如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度．
如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【解答】
解：、由于，所以不成比例，不符合题意；
B、由于，所以不成比例，不符合题意；
C、由于，所以不成比例，不符合题意；
D、由于，所以成比例，符合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：和的周长分别为和，
和的周长比为．
∽，
，
即，
解得，
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：
平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【解答】
解：、，，可以得出∽，故此选项不合题意；
B、，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、，可以得出∽，故此选项不合题意；
D、且，可以得出∽，故此选项不合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对相似三角形性质：相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应角的平分线的比等于相似比计算即可．
【解答】
解：两个相似三角形的面积之比为：，
两个相似三角形的相似比为：，
它们对应角的平分线之比为：，
故选：．
5.【答案】
【解析】证明，利用对应边对应成比例即可求出．
【详解】解：，，，
，．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
根据相似多边形的对应边的比相等可得．
本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，因而最长的边与最长边一定是对应边，最短的边与最短边一定也是对应边．
【解答】
解：两个相似的五边形，一个最长的边是，另一个最大边长为，
则相似比是：：，
根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为，
则：：，
解得：．
即后一个五边形的最短边的长为．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或利用相似的性质得到与的位似之比为：，然后把点的横纵坐标分别乘以得到点的坐标．
【解答】
解：与位似，与的周长之比为：，
与的位似之比为：，
而点的坐标为，
点的坐标为．
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】由，利用“两直线平行，同位角相等”可得出，，进而可得出∽，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．
【详解】，
，，
∽，
．
故选B．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9.【答案】
【解析】本题考查位似图形，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：与位似，位似比是，
与相似，相似比是，
与的周长比为，
的周长是，
周长为；
故答案为：．
10.【答案】
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由，可证明，然后利用对应边成比例即可解决问题．
【详解】解：，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：．
11.【答案】或答案不唯一
【解析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
，
故答案为：或答案不唯一．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
∽，
，
，，
，
，
解得，
楼高是米．
故答案为：．
由题意可得∽，则利用相似三角形的性质得，代入已知数据计算即可．
本题考查了相似三角形的应用，证明三角形相似并正确列出比例式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：，
，
，，，
，
，
故答案为：．
直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．
14.【答案】：
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
∽，
，即：：，
故答案为：：．
由菱形的性质得，，由，得，则，再证明∽，得，即：：，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点的坐标为，
点的对称点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
16.【答案】：
【解析】解：、分别为边、上的一点，且，
∽，
与相似比为：，
，
，
，
，即：：，
故答案为：：．
由，证明∽，则，所以，，求得：：，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明∽，进而求得是解题的关键．
17.【答案】证明：在中，，，
，
，
，
又，
∽．
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．
18.【答案】将平面镜放置在离处才能观测到大树的顶端．
【解析】解：王林站在点处去观测外的位于点处的一棵大树，已知王林目高，大树高，
依题意得：，，，，
，
∽，
，
，
，
，
将平面镜放置在离处才能观测到大树的顶端．
根据题意得到，得出∽，得到，求出，即可得到答案．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19.【答案】柱子的高度是厘米．
【解析】解：米厘米，
设求柱子的高度为厘米，
则：：：，
；
；
答：柱子的高度是厘米．
因为平均每米物体的影长一定，所以物体的影子长度与高度成正比例关系，由此解答即可．
本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是先判断题中给出的两个量是成正比例还是反比例，进而列出比例式解答即可．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
∽；
解四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
：：，
，
．
【解析】根据平行四边形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
根据平行四边形的性质求出，进而推出∽，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】证明见解答；
的长是．
【解析】证明：点、分别在、上，且，
∽．
解：：：，
，
，
∽，，
，
，
的长是．
由，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明∽．
由：：，得，由相似三角形的性质得，而，则．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明∽是解题的关键．
22.【答案】墙的垂直高度为米；
墙的垂直高度为米．
【解析】，
，
∽，
，
，
，
答：墙的垂直高度为米；
，，
，
，
∽，
，
，
，
答：墙的垂直高度为米．
根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论；
根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
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