广东省佛山市南海区2025年中考二模数学卷
一、选择题：共30分
1．（2025·南海模拟）计算的结果等于（ ）
A． B．0 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：原式
。
故答案为：D．
【分析】根据有理数的减法法则，直接进行计算即可得出答案。
2．（2025·南海模拟）年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、该图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项A错误；
、该图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项B错误；
、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C错误；
、该图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D正确；
故选：．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
3．（2025·南海模拟）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为入射光线是平行的，所以∠1=∠3，
由反射定律可知∠3=∠4，
所以∠4=∠1=50°，
故选：B．
【分析】根据平行线的性质可知∠1=∠3，进而根据反射定律即可求得∠4的度数．
4．（2025·南海模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、不是同类项，不能合并，故选项B错误；
C、，故选项C正确；
D、，故选项D错误；
故选：C．
【分析】根据积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则计算，逐项判断即可．
5．（2025·南海模拟）2025年2月3日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房约元，目前这一数据约是以上数据的5倍，则目前《哪吒2之魔童闹海》全球总票房用科学记数法表示约为（ ）
A．元 B．16.5×109元
C．元 D．元
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】根据科学记数法的表示方法的定义即可判断正确选项．
6．（2025·南海模拟）如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象属于化学变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，共有种结果，其中属于化学变化的结果有种，
∴从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象属于化学变化的概率是，
故选：．
【分析】根据概率公式直接计算即可求解．
7．（2025·南海模拟）已知为的直径，点C为上一点，已知半径为5，弦，则弦的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，
∵半径为5，∴直径，
∴，
由勾股定理可知，，
故选：D．
【分析】由直径所对的圆周角等于可知，进而由勾股定理即可求得弦BC的长．
8．（2025·南海模拟）下列不等式中，与不等式组成的不等式组只有一个整数解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：A、解不等式组，得，其整数解是，只有一个，故选项A正确；
B、解不等式组，得，没有整数解，故选项B错误；
C、解不等式组，得，其整数解为，有无数个，故选项C错误；
D、解不等式组，得，其整数解为，有无数个，故选项D错误；
故选：A．
【分析】将不等式与选项中的不等式分别组成不等式组求解，再确定各不等式组的整数解即可．
9．（2025·南海模拟）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4＞0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，
A、当t＜-4时，t+4＜0，
∴t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，故A符合题意；
B、C、当-4＜t＜0时，
∴t+4＞0，
∴y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，故B、C不符合题意；
D、当t＞0时，则t+4＞4，
∴t＜t+4，
∴0＜y2＜y1，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质可证得在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，由t＜-4可得到t+4＜0，即可推出t＜t+4，由此可得到y1，y2，0的大小关系，可对A作出判断；由-4＜t＜0，可推出t+4＞0，可得到y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，可对B、C作出判断；当t＞0时，则t+4＞4，可得到t＜t+4，由此可推出0＜y2＜y1，可对D作出判断.
10．（2025·南海模拟）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得，平移前，∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为，
如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标是，
故选：A．
【分析】首先根据平移后点B与原点O重合，可得出正方形ABCD的移动方向和移动距离，进而得出平移后的点A的坐标，然后再结合图形，如图E，根据旋转的性质，利用三角形全等求出点E旋转之后的点F的坐标即可。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·南海模拟）分解因式：
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据提公因式法分解因式即可．
12．（2025·南海模拟）2025年4月，我国跳水名将陈芋汐在跳水世界杯夺得金牌，其中一跳的有效得分分别为10，8，8，9，9，则这组数据的中位数是
【答案】9
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：8，8，9，9，10，
∴中位数为9，
故答案为：9．
【分析】根据中位数的定义“把数据从小到大（从大到小）排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．
13．（2025·南海模拟）如图，平分，添加一个条件 ．可以判定．
【答案】（答案不唯一，还可以是，）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵平分，
，
，
∴添加，根据可以判定，
添加，根据可以判定，
添加，根据 可以判定，
故答案为：（答案不唯一，还可以是，）．
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解．
14．（2025·南海模拟）若x、a为实数，则M、N的大小关系为
【答案】
【知识点】整式的大小比较
【解析】【解答】解：由题意可知，
∴，
故答案为：．
【分析】用作差法计算可知，进而即可求得M、N的大小关系．
15．（2025·南海模拟）如图，菱形的周长为24，，以点B为圆心的与分别相切，则图中阴影部分（即扇形）的面积是 （结果保留π）
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为24，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，，
过点作于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质以及已知条件得到，，过点作于点，由圆的切线的性质得到为半径，然后求出，再由扇形面积公式求解即可．
三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分．
16．（2025·南海模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，．
【知识点】平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可．
17．（2025·南海模拟）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
【答案】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人．
根据题意得：，
解答：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲组有名工人，乙组有名工人．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍， 得，解方程求解即可．
18．（2025·南海模拟）广州起义烈士纪念碑位于广州市，它由底部雕塑和顶部雕塑组成，顶部雕塑的造型是手臂紧握系着标志起义的红布带的汉阳造步枪．同学们来到广州起义烈士陵园，了解广州起义的相关历史背景并用无人机收集到以下数据：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示顶部雕塑的高度，点E为点A正上方一点，（米，米．请根据上述数据，计算广州起义烈士纪念碑的高度（结果精确到1米）．
参考数据：．
【答案】解：延长交点所在水平线于点，可得，
设的长为，
在中，，
，
在中，，
，
，
∴，解得，
，
米．
答：广州起义烈士纪念碑的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交点所在水平线于点，可得，设的长为，在和中，利用正切的定义求出和长，再根据列方程求出x的值，即可求得AB的长，进而根据AF=AB+BF即可求得的长，即求得广州起义烈士纪念碑的高度 ．
19．（2025·南海模拟）如图，点E为平行四边形对角线BD上一点．
（1）用尺规作图法作点F为线段BD上的点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）连接CE，若经过A、C、E三点的圆也经过点F，求证：
【答案】（1）解：如图，为所求作的图形.
（2）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
经过三点的圆也经过点，
四边形是圆内接四边形，
，
，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）按照角的作图方法作出 即可；
（2）连接，利用平行四边形的性质即可证得，进而可知，利用全等三角形的判定定理(ASA)证得，根据全等三角形的性质可得到，可得，证得四边形是平行四边形，证明四边形是圆内接四边形，进而可得，即可得到 ．
（1）解：如图，为所求作的图形.
（2）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
经过三点的圆也经过点，
四边形是圆内接四边形，
，
，
.
20．（2025·南海模拟）在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务：
（1）搬运重物、以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）：
甲型机器人：38，39，41，43，39
乙型机器人：50，48，32，33，34
请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人．
（2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好）
功能性 交互性 安全性 采购价格
甲型机器人 10 8 9 8
乙型机器人 8 8 8 10
如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格）
【答案】（1）解：，
，
甲型机器人完成搬运任务时间的极差为，
乙型机器人完成搬运任务时间的极差为，
答：乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好）；
（2）解：我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4，
则，
，
，
按照以上标准采购乙型机器人较合适.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；极差
【解析】【分析】（1）分别求出甲型机器人和乙型机器人的平均数和极差比较即可；
（2）分出功能性、交互性、安全性及采购价格的比重，分别求出权重平均数即可．
（1）解：①，
，
甲型机器人完成搬运任务时间的极差为，
乙型机器人完成搬运任务时间的极差为，
乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好）；
（2）解：我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4，
则，
，
，
按照以上标准采购乙型机器人较合适（答案不唯一）
21．（2025·南海模拟）综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下：
实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N）
1 5 4 24
【问题解决】
（1）保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
（2）保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10．
①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3）
【答案】（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
答： 保持风速不变，若要推力达到48N，此时旋转角速度为.
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
答：现有装置不能产生推力.
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
答：当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度；
（2）①根据保持风速不变，求得现有装置能产生的最大推力即可；
②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可．
（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
现有装置不能产生推力；
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
22．（2025·南海模拟）已知均为等腰直角三角形，连接，点M是的中点，连接．
（1）如1图，若点E在下方，且，当时，求的长；
（2）如2图，若点D在内部，连接，点N是中点，连接，求证：；
（3）将2图中．绕点B旋转，使，求的值．
【答案】（1）解：，均为等腰直角三角形，，，，
在中，，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理可知，，
∵点为中点，
∴是斜边上的中线，
；
（2）解：如图所示，连接，
，
，
，
点是的中点，点是中点，
，
，
，
，
，
作，垂足为，
，
，
，
；
（3）解：设，则，∴，，
①若点在上方，作，垂足为，作，垂足为，
，
，
，
，
，
∴，
∴，，
，
，
，
.
②若点在上下方，
则，
作，垂足为，
，
点与点重合，即，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）由已知条件可得 ，进而可得，再求得BC，BD的长，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边中线性质即可求得BM的长；
（2）连接，先证明，再证明，则，那么，作，垂足为，可得，则，那么，即可证得MN=MB；
（3）设，则，，，分两种情况讨论，①若点在上方，②若点在上下方，利用解直角三角形和勾股定理求解即可求得的值．
（1）解：，均为等腰直角三角形，，
，，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
∵点为中点，
∴是斜边上的中线，
；
（2）解：连接，
，
，
，
点是的中点，点是中点，
，
，
，
，
，
作，垂足为，
，
，
，
；
（3）解：设，则，
∴，，
①若点在上方，作，垂足为，作，垂足为，
，
，
，
，
，
∴，
∴，，
，
，
，
.
②若点在上下方，
则，
作，垂足为，
，
点与点重合，即，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
23．（2025·南海模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，已知点、经过矩形的对称中心的直线与线段分别交于点，四边形与关于直线成轴对称，线段交边于点，设．
（1）当时，求直线的表达式；
（2）当是等边三角形时，求点坐标；
（3）如图，连接，分别交于点．记四边形的面积为，的面积为，求（用表示）．
【答案】（1）解：由折叠得，
四边形是矩形，
，，
，
，
如图所示，过作于，
，
四边形是矩形，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，由勾股定理可知，，
，
解得或，
当时，，不合题意，舍去，
∴b=1，
，
∴点
设直线DE的表达式为，把点M、点E的坐标代入得，
，解得，
直线DE的表达式为.
（2）解：∵是等边三角形时，∴，
∵BC∥OA，，
由（）得，
在中，，，
，解得，
点；
（3）解：如图所示，连接，，，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
同理，
由（）知，
，即，
又，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的性质；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称；四边形的综合
【解析】【分析】（）利用折叠可知，根据矩形的性质和平行线的性质可知，进而可得，即得，过作于，可得四边形是矩形，得，又由点为矩形的对称中心，可得点M的坐标，，得到，在中，由勾股定理得，解得，即得，即得到点，设直线，把点M、点E的坐标代入，列方程组，解方程组求得m和n的值即可求得直线DE的表达式；
（）由等边三角形可得，根据平行线的性质可得，由（）得，在利用锐角三角函数可得，，进而列出不等式组，解不等式组求出的值，即可求出点E的坐标；
（）连接，，，由对称可得，，即可得，得到，即得，进而可得，得，得到，可得，再利用相似三角形的性质可得，进而即可求得 ．
（1）解：由折叠得，
四边形是矩形，
，
，
，
过作于，如图，
，
，
，
四边形是矩形，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
，
解得或，
当时，，不合题意，舍去，
，
∴点，
设直线，把点、点的坐标代入得，
，
解得，
直线；
（2）解：当是等边三角形时，可得，
，
由（）得，
在中，，，
，
解得，
点；
（3）解：连接，，，如图，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
同理，
由（）知，
，即，
又，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1广东省佛山市南海区2025年中考二模数学卷
一、选择题：共30分
1．（2025·南海模拟）计算的结果等于（ ）
A． B．0 C．3 D．6
2．（2025·南海模拟）年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·南海模拟）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·南海模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·南海模拟）2025年2月3日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房约元，目前这一数据约是以上数据的5倍，则目前《哪吒2之魔童闹海》全球总票房用科学记数法表示约为（ ）
A．元 B．16.5×109元
C．元 D．元
6．（2025·南海模拟）如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象属于化学变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·南海模拟）已知为的直径，点C为上一点，已知半径为5，弦，则弦的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2025·南海模拟）下列不等式中，与不等式组成的不等式组只有一个整数解的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·南海模拟）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025·南海模拟）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·南海模拟）分解因式：
12．（2025·南海模拟）2025年4月，我国跳水名将陈芋汐在跳水世界杯夺得金牌，其中一跳的有效得分分别为10，8，8，9，9，则这组数据的中位数是
13．（2025·南海模拟）如图，平分，添加一个条件 ．可以判定．
14．（2025·南海模拟）若x、a为实数，则M、N的大小关系为
15．（2025·南海模拟）如图，菱形的周长为24，，以点B为圆心的与分别相切，则图中阴影部分（即扇形）的面积是 （结果保留π）
三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分．
16．（2025·南海模拟）先化简，再求值：，其中．
17．（2025·南海模拟）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
18．（2025·南海模拟）广州起义烈士纪念碑位于广州市，它由底部雕塑和顶部雕塑组成，顶部雕塑的造型是手臂紧握系着标志起义的红布带的汉阳造步枪．同学们来到广州起义烈士陵园，了解广州起义的相关历史背景并用无人机收集到以下数据：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示顶部雕塑的高度，点E为点A正上方一点，（米，米．请根据上述数据，计算广州起义烈士纪念碑的高度（结果精确到1米）．
参考数据：．
19．（2025·南海模拟）如图，点E为平行四边形对角线BD上一点．
（1）用尺规作图法作点F为线段BD上的点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）连接CE，若经过A、C、E三点的圆也经过点F，求证：
20．（2025·南海模拟）在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务：
（1）搬运重物、以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）：
甲型机器人：38，39，41，43，39
乙型机器人：50，48，32，33，34
请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人．
（2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好）
功能性 交互性 安全性 采购价格
甲型机器人 10 8 9 8
乙型机器人 8 8 8 10
如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格）
21．（2025·南海模拟）综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下：
实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N）
1 5 4 24
【问题解决】
（1）保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
（2）保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10．
①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3）
22．（2025·南海模拟）已知均为等腰直角三角形，连接，点M是的中点，连接．
（1）如1图，若点E在下方，且，当时，求的长；
（2）如2图，若点D在内部，连接，点N是中点，连接，求证：；
（3）将2图中．绕点B旋转，使，求的值．
23．（2025·南海模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，已知点、经过矩形的对称中心的直线与线段分别交于点，四边形与关于直线成轴对称，线段交边于点，设．
（1）当时，求直线的表达式；
（2）当是等边三角形时，求点坐标；
（3）如图，连接，分别交于点．记四边形的面积为，的面积为，求（用表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：原式
。
故答案为：D．
【分析】根据有理数的减法法则，直接进行计算即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、该图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项A错误；
、该图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项B错误；
、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C错误；
、该图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D正确；
故选：．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为入射光线是平行的，所以∠1=∠3，
由反射定律可知∠3=∠4，
所以∠4=∠1=50°，
故选：B．
【分析】根据平行线的性质可知∠1=∠3，进而根据反射定律即可求得∠4的度数．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、不是同类项，不能合并，故选项B错误；
C、，故选项C正确；
D、，故选项D错误；
故选：C．
【分析】根据积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则计算，逐项判断即可．
5．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】根据科学记数法的表示方法的定义即可判断正确选项．
6．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，共有种结果，其中属于化学变化的结果有种，
∴从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象属于化学变化的概率是，
故选：．
【分析】根据概率公式直接计算即可求解．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，
∵半径为5，∴直径，
∴，
由勾股定理可知，，
故选：D．
【分析】由直径所对的圆周角等于可知，进而由勾股定理即可求得弦BC的长．
8．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：A、解不等式组，得，其整数解是，只有一个，故选项A正确；
B、解不等式组，得，没有整数解，故选项B错误；
C、解不等式组，得，其整数解为，有无数个，故选项C错误；
D、解不等式组，得，其整数解为，有无数个，故选项D错误；
故选：A．
【分析】将不等式与选项中的不等式分别组成不等式组求解，再确定各不等式组的整数解即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4＞0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，
A、当t＜-4时，t+4＜0，
∴t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，故A符合题意；
B、C、当-4＜t＜0时，
∴t+4＞0，
∴y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，故B、C不符合题意；
D、当t＞0时，则t+4＞4，
∴t＜t+4，
∴0＜y2＜y1，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质可证得在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，由t＜-4可得到t+4＜0，即可推出t＜t+4，由此可得到y1，y2，0的大小关系，可对A作出判断；由-4＜t＜0，可推出t+4＞0，可得到y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，可对B、C作出判断；当t＞0时，则t+4＞4，可得到t＜t+4，由此可推出0＜y2＜y1，可对D作出判断.
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得，平移前，∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为，
如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标是，
故选：A．
【分析】首先根据平移后点B与原点O重合，可得出正方形ABCD的移动方向和移动距离，进而得出平移后的点A的坐标，然后再结合图形，如图E，根据旋转的性质，利用三角形全等求出点E旋转之后的点F的坐标即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据提公因式法分解因式即可．
12．【答案】9
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：8，8，9，9，10，
∴中位数为9，
故答案为：9．
【分析】根据中位数的定义“把数据从小到大（从大到小）排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．
13．【答案】（答案不唯一，还可以是，）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵平分，
，
，
∴添加，根据可以判定，
添加，根据可以判定，
添加，根据 可以判定，
故答案为：（答案不唯一，还可以是，）．
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解．
14．【答案】
【知识点】整式的大小比较
【解析】【解答】解：由题意可知，
∴，
故答案为：．
【分析】用作差法计算可知，进而即可求得M、N的大小关系．
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为24，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，，
过点作于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质以及已知条件得到，，过点作于点，由圆的切线的性质得到为半径，然后求出，再由扇形面积公式求解即可．
16．【答案】解：原式
；
当时，．
【知识点】平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可．
17．【答案】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人．
根据题意得：，
解答：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲组有名工人，乙组有名工人．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍， 得，解方程求解即可．
18．【答案】解：延长交点所在水平线于点，可得，
设的长为，
在中，，
，
在中，，
，
，
∴，解得，
，
米．
答：广州起义烈士纪念碑的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交点所在水平线于点，可得，设的长为，在和中，利用正切的定义求出和长，再根据列方程求出x的值，即可求得AB的长，进而根据AF=AB+BF即可求得的长，即求得广州起义烈士纪念碑的高度 ．
19．【答案】（1）解：如图，为所求作的图形.
（2）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
经过三点的圆也经过点，
四边形是圆内接四边形，
，
，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）按照角的作图方法作出 即可；
（2）连接，利用平行四边形的性质即可证得，进而可知，利用全等三角形的判定定理(ASA)证得，根据全等三角形的性质可得到，可得，证得四边形是平行四边形，证明四边形是圆内接四边形，进而可得，即可得到 ．
（1）解：如图，为所求作的图形.
（2）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
经过三点的圆也经过点，
四边形是圆内接四边形，
，
，
.
20．【答案】（1）解：，
，
甲型机器人完成搬运任务时间的极差为，
乙型机器人完成搬运任务时间的极差为，
答：乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好）；
（2）解：我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4，
则，
，
，
按照以上标准采购乙型机器人较合适.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；极差
【解析】【分析】（1）分别求出甲型机器人和乙型机器人的平均数和极差比较即可；
（2）分出功能性、交互性、安全性及采购价格的比重，分别求出权重平均数即可．
（1）解：①，
，
甲型机器人完成搬运任务时间的极差为，
乙型机器人完成搬运任务时间的极差为，
乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好）；
（2）解：我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4，
则，
，
，
按照以上标准采购乙型机器人较合适（答案不唯一）
21．【答案】（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
答： 保持风速不变，若要推力达到48N，此时旋转角速度为.
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
答：现有装置不能产生推力.
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
答：当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度；
（2）①根据保持风速不变，求得现有装置能产生的最大推力即可；
②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可．
（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
现有装置不能产生推力；
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
22．【答案】（1）解：，均为等腰直角三角形，，，，
在中，，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理可知，，
∵点为中点，
∴是斜边上的中线，
；
（2）解：如图所示，连接，
，
，
，
点是的中点，点是中点，
，
，
，
，
，
作，垂足为，
，
，
，
；
（3）解：设，则，∴，，
①若点在上方，作，垂足为，作，垂足为，
，
，
，
，
，
∴，
∴，，
，
，
，
.
②若点在上下方，
则，
作，垂足为，
，
点与点重合，即，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）由已知条件可得 ，进而可得，再求得BC，BD的长，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边中线性质即可求得BM的长；
（2）连接，先证明，再证明，则，那么，作，垂足为，可得，则，那么，即可证得MN=MB；
（3）设，则，，，分两种情况讨论，①若点在上方，②若点在上下方，利用解直角三角形和勾股定理求解即可求得的值．
（1）解：，均为等腰直角三角形，，
，，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
∵点为中点，
∴是斜边上的中线，
；
（2）解：连接，
，
，
，
点是的中点，点是中点，
，
，
，
，
，
作，垂足为，
，
，
，
；
（3）解：设，则，
∴，，
①若点在上方，作，垂足为，作，垂足为，
，
，
，
，
，
∴，
∴，，
，
，
，
.
②若点在上下方，
则，
作，垂足为，
，
点与点重合，即，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
23．【答案】（1）解：由折叠得，
四边形是矩形，
，，
，
，
如图所示，过作于，
，
四边形是矩形，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，由勾股定理可知，，
，
解得或，
当时，，不合题意，舍去，
∴b=1，
，
∴点
设直线DE的表达式为，把点M、点E的坐标代入得，
，解得，
直线DE的表达式为.
（2）解：∵是等边三角形时，∴，
∵BC∥OA，，
由（）得，
在中，，，
，解得，
点；
（3）解：如图所示，连接，，，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
同理，
由（）知，
，即，
又，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的性质；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称；四边形的综合
【解析】【分析】（）利用折叠可知，根据矩形的性质和平行线的性质可知，进而可得，即得，过作于，可得四边形是矩形，得，又由点为矩形的对称中心，可得点M的坐标，，得到，在中，由勾股定理得，解得，即得，即得到点，设直线，把点M、点E的坐标代入，列方程组，解方程组求得m和n的值即可求得直线DE的表达式；
（）由等边三角形可得，根据平行线的性质可得，由（）得，在利用锐角三角函数可得，，进而列出不等式组，解不等式组求出的值，即可求出点E的坐标；
（）连接，，，由对称可得，，即可得，得到，即得，进而可得，得，得到，可得，再利用相似三角形的性质可得，进而即可求得 ．
（1）解：由折叠得，
四边形是矩形，
，
，
，
过作于，如图，
，
，
，
四边形是矩形，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
，
解得或，
当时，，不合题意，舍去，
，
∴点，
设直线，把点、点的坐标代入得，
，
解得，
直线；
（2）解：当是等边三角形时，可得，
，
由（）得，
在中，，，
，
解得，
点；
（3）解：连接，，，如图，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
同理，
由（）知，
，即，
又，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
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