专项 7 旋转中常见的几何模型
类型 1 手拉手模型
模型指导
1.如图 1，正方形 与正方形 的边 ， ( < )在同一条直线上，正方形
以点 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为 .在旋转过程中，两个正方形只有点 重合，其他
顶点均不重合，连接 ， .
（1）当正方形 旋转至如图 2所示的位置时，求证： = .
证明：由旋转的性质可知∠ = ∠ ，
由正方形的性质可知 = ， = ．
= ,
∵ 在△ 和△ 中，{∠ = ∠ ,
= ,
∴△ ≌△ ( )，∴ = ．
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（2）延长 交 于点 ，交 于点 ，求证： ⊥ .
由（1）知△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ .
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ = ，
∴ ⊥ .
2，（1）如图 1，△ 和△ 均为等边三角形，当点 ， ， 在同一条直线上时，连接 .
填空：
①∠ 的度数为_____；
【解析】 ∵△ 和△ 均为等边三角形，∴ = ， = ，
∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ ． ∵△ 为等边三角形，∴ ∠ = ∠ = 60 ，
∵ 点 ， ， 在同一直线上，∴ ∠ = 120 ，∴ ∠ = 120 ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 60 .
②线段 ， 之间的数量关系为__________.
【解析】 ∵△ ≌△ ，∴ = .
（2）如图 2，△ 和△ 均为等腰三角形，∠ = ∠ = 90 ，
， ， 三点在同一条直线上， 为△ 中 边上的高，连接 ，
请判断∠ 的度数及线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
解：∠ = ， = + .理由如下：
∵△ 和△ 均为等腰直角三角形，∠ = ∠ = ，
∴ = ， = ，∠ = ∠ ,
∴△ ≌△ ，∴ = ，∠ = ∠ .
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∵△ 为等腰直角三角形，∴ ∠ = ∠ = ．
∵ ， ， 三点在同一条直线上，∴ ∠ = ,∴ ∠ = ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = .
∵△ 为等腰直角三角形， 为△ 中 边上的高，
∴ 为 △ 的斜边 上的中线，∴ = ，
∴ = + = + .
（3）如图 1 中的△ 和△ ，将△ 绕点 旋转，在旋转的过程中，当点 ， ， 不
在同一条直线上时，设直线 与 相交于点 ，旋转角为 (0 < < 180 )，尝试在图中探
索∠ 的度数，直接写出结果，不必说明理由.
答案： 或 .
【解析】 ∵ 旋转角为 (0 < < 180 )，∴ 按点 在 上方和下方两种情况进行分析.如图 1，
由（1）知△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ + ∠ = 120 ，
∴ ∠ = 180 120 = 60 .如图 2，同理求得∠ = 60 ，
∴ ∠ = 120 .综上，∠ 的度数是60 或120 ．
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类型 2 半角模型
模型指导
3，（1）在正方形 中， 是 边上一点．将△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ，
如图 1所示，观察可知，与 相等的线段是____，与∠ 相等的角是_______；
（2）如图 2，在正方形 中， ， 分别是 ， 边上的点，且∠ = 45 ，猜想线段
， ， 间的数量关系，并证明；
解： + = .证明如下：
如图 1，将△ 绕点 顺时针旋转 得到△ ，则
∠ = ∠ = .
∵ ∠ = ，∴ ∠ + ∠ = ，
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∴ 点 ， ， 共线.
由旋转的性质，知∠ = ∠ = ， = ， = .
∵ ∠ = ，∴ ∠ = ，
= ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ ,
= ,
∴△ ≌△ ( )，∴ = ，
∵ = + = + ，
∴ + = ．
（3）在图 2 中，连接 分别交 ， 于点 ， ，请写出 ， ， 间的数量关系，
并说明理由．
+ = .理由如下：
如图 2，将△ 绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，连接 .
∵ 四边形 为正方形，∴ ∠ = ∠ = .
由旋转的性质，得∠ = ，
∠ = ∠ = ， = ， = .
∵ ∠ = ，∴ ∠ = ，∴ ∠ = ∠ .
= ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ ,
= ,
∴△ ≌△ ( )，∴ = .
∵ ∠ + ∠ = ，
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∴△ 为直角三角形，
∴ + = ，∴ + = ．
4，（1）如图 1，在△ 中，∠ = 90 ， = ， ， 为 上两点，且∠ = 45 .
求证： 2 + 2 = 2 .
证明：如图 1，把△ 绕点 顺时针旋转 ，得到△ ，连接 ，
则△ ≌△ ，∴ = ， = ，∠ = ∠ ．
∵ ∠ = ，∠ = ，∴ ∠ = ∠ = .
= ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ ,
= ,
∴△ ≌△ ( )，∴ = .
∵ ∠ = ，∴ ∠ + ∠ = ，
∴ ∠ + ∠ = ，∴ ∠ = ，
∴ + = ，即 + = .
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（2）如图 2，在△ 中，∠ = 120 ， = ，∠ = 60 ，若以 ， ， 为
边的三角形是以 为斜边的直角三角形，当 = 2 时，求 的长.
解：如图 2，将△ 绕点 顺时针旋转 ，得到△ ，连接 ,
则△ ≌△ ，∴ = ，∠ = ∠ ， = ，
∠ = .
∵ ∠ = ， = ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = ，
∴ ∠ = .
∵ ∠ = ，∠ = ，∴ ∠ = ∠ = ，
又 = ， = ，∴△ ≌△ ( )，∴ = .
∵ 以 ， ， 为边的三角形是以 为斜边的直角三角形，
∴ 以 ， ， 为边的三角形是直角三角形，且 是斜边，
∴△ 是直角三角形，∠ = ，
∵ ∠ = ，∴ ∠ = ,
∴ = = = ，∴ = = ，
∴ = = √ = √ .
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类型 1 手拉手模型
模型指导
1.如图 1，正方形 与正方形 的边 ， ( < )在同一条直线上，正方形
以点 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为 .在旋转过程中，两个正方形只有点 重合，其他
顶点均不重合，连接 ， .
（1）当正方形 旋转至如图 2所示的位置时，求证： = .
（2）延长 交 于点 ，交 于点 ，求证： ⊥ .
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2，（1）如图 1，△ 和△ 均为等边三角形，当点 ， ， 在同一条直线上时，连接 .
填空：
①∠ 的度数为_____；
②线段 ， 之间的数量关系为__________.
（2）如图 2，△ 和△ 均为等腰三角形，∠ = ∠ = 90 ，
， ， 三点在同一条直线上， 为△ 中 边上的高，连接 ，
请判断∠ 的度数及线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图 1 中的△ 和△ ，将△ 绕点 旋转，在旋转的过程中，当点 ， ， 不
在同一条直线上时，设直线 与 相交于点 ，旋转角为 (0 < < 180 )，尝试在图中探
索∠ 的度数，直接写出结果，不必说明理由.
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类型 2 半角模型
模型指导
3，（1）在正方形 中， 是 边上一点．将△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ，
如图 1所示，观察可知，与 相等的线段是____，与∠ 相等的角是_______；
（2）如图 2，在正方形 中， ， 分别是 ， 边上的点，且∠ = 45 ，猜想线段
， ， 间的数量关系，并证明；
（3）在图 2 中，连接 分别交 ， 于点 ， ，请写出 ， ， 间的数量关系，
并说明理由．
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4，（1）如图 1，在△ 中，∠ = 90 ， = ， ， 为 上两点，且∠ = 45 .
求证： 2 + 2 = 2 .
（2）如图 2，在△ 中，∠ = 120 ， = ，∠ = 60 ，若以 ， ， 为
边的三角形是以 为斜边的直角三角形，当 = 2 时，求 的长.
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