第26章 解直角三角形 同步练习卷（含部分解析） 2025-2026学年冀教版九年级数学上册-普通用卷

第26章解直角三角形同步练习卷 2025-2026学年冀教版九年级数学上册
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，，则的大小为 ．
A. B. C. D.
2.在中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
3.已知，在中，，若，，则长为( )
A. B. C. D.
4.在直角中，，，，求为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，点为边上任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是 ( )
A. B. C. D.
7.如图，角在边长为的正方形网格中，则的值是( )
A. B. C. D.
8.从一栋二层楼的楼顶点处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点处的俯角为，看到楼顶部点处的仰角为，已知两栋楼之间的水平距离为米，则教学楼的高是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知，且，则 ．
10.如图，一个小球由地面沿着坡度：的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为______
11.在中，，为边上的高，，则的长为___________．
12.如图，小明从地沿北偏东的方向走到达地，再从地沿正南方向走到达地，则此时小明距离地
13.如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则坡面的长度是 米．
14.如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线相交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于 ．
15.如图，在远离铁塔的处用测角仪测得塔顶的仰角为，已知测角仪高，则塔高 ______结果保留根号．
16.如图，在矩形中，，，为的中点，为对角线的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，当是直角三角形时，的值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：．
18.
四、解答题：本题共5小题，共40分。
19.本小题分
如图，在中，，，，求的值及的面积．
20.本小题分
一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端的俯角为，面向方向继续飞行米到达点，测得该建筑物底端的俯角为，已知建筑物的高为米，求无人机飞行的高度结果精确到米，参考数据：，．
21.本小题分
在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的、号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点处，测得号楼顶部的俯角为，测得号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为米，已知号楼的高度为米，且和分别垂直地面于点和，点为的中点，求号楼的高度．结果精确到
参考数据，，，，，
22.本小题分
政府将要在某学校大楼前修一座大桥如图，宋老师测得大楼的高是米，大楼的底部处与将要修的大桥位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶处测得和的俯角，分别为和，宋老师说现在我能算出将要修的大桥的长了同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程结果精确到米．
其中，，，，，
23.本小题分
交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为图中所有点都在同一平面内．
求，两点之间的距离结果精确到；
若该隧道限速，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．
参考数据：，，，，，，
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
作出图形，根据，求得的度数即可．
【解答】
解：如图，
由图可得，
则，
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】
解：在中，，，，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图所示：，，
，
解得：．
故选：．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确画出直角三角形是解题关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
【解答】
解：在直角中，，，，
，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理的有关知识，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义分别求解可得．
【解答】
解：在中，，，，
，
，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
，
．
故选：．
先证明，再根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案．
本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形两锐角互余的性质，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
7.【答案】
【解析】解：如图：
在中，，
故选：．
把放在直角三角形中进行计算即可．
本题考查了解直角三角形，把放在适当的直角三角形中进行计算是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
在求出，在中求出，继而可求出．
本题考查解直角三角形的应用仰角和俯角，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，属于基础题．
【解答】
解：在中，，，米，
米，
在中，，
，
米，
米．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互余两角三角函数的关系，明确互余两角三角函数的关系式是解题的关键．
直接根据互余两角三角函数的关系求值即可，
【解答】
解：，，
，
．
故答案为．
10.【答案】
【解析】解：小球沿着坡面向上前进了假设到处，过作，
：，
，
设，，
，
解得：或不合题意，舍去，
故答案为：．
根据可以求得、的长度的比值，已知米，根据勾股定理即可求的值，即可解题．
本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，的定义，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．
11.【答案】或
【解析】【分析】
如图所示，分在之间和延长线上两种情况考虑，先由求出，再求出的长．
【详解】
解：如图，在中，，，
，即：，
，
当在之间时，；
当在延长线上时，；
故答案为：或．
【点睛】
此题主要考查了解三角形，根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】在中，已知坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面的长．
【详解】解：在中，，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，
，
以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
是等边三角形，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：过点作，为垂足，如图所示：
在中，
，
，
，
故答案为：．
过点作，为垂足，再由锐角三角函数的定义求出的长，由即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：为对角线的中点，为的中点，
，，
，即，
又，
∽，
，
当时，，
当时，，
点与重合，
，
，
综上所述，的值为或．
根据旋转和矩形的性质可以得到∽，即可得到，然后分为或，利用正弦的定义解答即可．
本题考查矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题关键在于解直角三角形．
17.【答案】解：
．

【解析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
代入特殊角的三角函数值，进行计算即可．
18.【答案】解：原式
，
．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：，
．
．
．
，．
【解析】见答案
20.【答案】解：过作，交的延长线于，如图所示：
设米，
由题意得：米，，，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
答：无人机飞行的高度约为米．
【解析】过作，交的延长线于，设米，由锐角三角函数定义求出米，米，再由米得出方程，求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：过点、分别作，，垂足分别为、，
由题意得，，，，，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
答：号楼的高度约为米．
【解析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是常用的方法，掌握边角关系是正确解答的关键．
通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出，，进而计算出号楼的高度即可．
22.【答案】解：过作于，如图所示：
则米，，
在中，，
，
米，
在中，，
，
米，
米，
即大桥的长约为米．
【解析】过作于，则米，，由锐角三角函数定义分别求出、的长，即可解决问题．
本题考查了直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得：
，，米，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
米，
，两点之间的距离约为米；
小汽车从点行驶到点没有超速，
理由：由题意得：
米秒，
米秒米秒，
小汽车从点行驶到点没有超速．
【解析】根据题意可得：，，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据进行计算即可解答；
先求出汽车的行驶速度，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
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