22.1.3二次函数 y=a(x-h)? k的图象和性质(第3课时) 课件(共17张PPT) 2025-2026学年人教版数学九年级上册

(共17张PPT)
第二十二章 二次函数
二次函数y=a(x-h)2+k的图象
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
K>0
K<0
上移
下移
左加
右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
顶点x轴上
顶点y轴上
问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
探究一
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
解：先列表；
画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.
探究一
1
2
3
4
5
x
－1
－2
－3
－4
－5
－6
－7
－8
－9
1
y
O
－1
－2
－3
－4
－5
－10
直线x＝－1
描点，连线得
的函数图象．
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：___________
___________________
______________________________.
向下
直线 x = -1
( 1， 1)
当 x＜-1 时，
y 随 x 增大而增大；
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
总结
二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质
y＝a(x－h)2＋k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝h 直线x＝h
顶点坐标 (h，k) (h，k)
最值 当x＝h时，y最小值＝k 当x＝h时，y最大值＝k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
典例精析
例1 已知抛物线 y＝a(x 3)2 + 2 经过点 (1， 2)．
(1) 指出抛物线的对称轴；
(2) 求 a 的值；
解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)，
对称轴为直线 x＝3.
(2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
典例精析
(3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 试比较 y1 与 y2 的大小．
∴ y1＜y2.
解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函数的图象开口向下，
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大.
∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
观察二次函数 在同一直角坐标系中的图象，思考这三条抛物线有什么关系？
形状相同，
开口方向相同.
顶点不同，
对称轴不同.
抛物线 怎样移动就可以得到抛物线 ？
探究二
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
二次函数图像平移
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
(2)抛物线
　　　　　　　　　　　　　　
　　
有什么关系
归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。
各种形式的二次函数的关系
例题
C(3,0)
B(1，3)
例2.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
3
4
－
练习
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
(1,－2)
向下
向下
(3,7)
(2,－6)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,5)
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
【解析】
【解析】
【解析】
驶向胜利的彼岸
你认为今天这节课最需要掌握的是 ________________ 。
课堂小结