人教版九年级上册 21.1 一元二次方程 教案

《21.1一元二次方程》教案
一、教学目标
（一）知识与技能
理解一元二次方程的定义，能准确判断一个方程是否为一元二次方程。
掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a?=0），明确二次项、一次项、常数项及其系数的概念。
理解一元二次方程根的概念，会判断一个数是否为一元二次方程的根，能根据根求方程中的参数。
（二）过程与方法
通过实际问题（如雕像高度设计、矩形铁皮制盒）抽象出一元二次方程，培养数学建模能力。
经历观察、比较、归纳等过程，提高分析和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
结合黄金分割的历史，感受数学的文化价值，激发学习数学的兴趣。
在解决问题的过程中，体验数学与生活的密切联系，增强应用意识。
二、教学重难点
重点
一元二次方程的定义及一般形式。
判断一个方程是否为一元二次方程。
难点
理解一元二次方程一般形式中二次项系数a?=0的条件。
从实际问题中列出一元二次方程。
三、教学方法
启发式教学法、探究式教学法、讲练结合法。
通过实际问题引导学生思考，结合实例分析和小组讨论，加深对知识点的理解。
四、教学过程
（一）导入（5分钟）
展示黄金分割的相关内容，介绍其由古希腊哲学家毕达哥拉斯发现，以及在艺术、管理、工程设计等领域的作用。
提出问题：在设计人体雕像时，若使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，雕像高为2m，下部应设计为多高？引发学生思考，引入本节课主题。
（二）新课讲授（30分钟）
一元二次方程的定义
引导学生解决导入中的问题，设雕像下部高xm，根据比例关系列出方程x:2=(2 x):x，化简得到x2+2x 4=0。
再给出矩形铁皮制盒的问题：矩形铁皮长100cm、宽50cm，制成无盖方盒后面积为3600cm ，设切下的正方形边长为xcm，列出方程(100 2x)(50 2x)=3600，化简得到x2 75x+350=0。
让学生观察这两个方程，思考它们是否为方程、含有几个未知数、未知数的最高次数是几次。
总结一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程。
一元二次方程的一般形式
给出一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a?=0），说明ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
提问：当二次项系数、一次项系数或常数项等于0时，它还是一元二次方程吗？引导学生分析：当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程；当b=0时，方程为ax2+c=0；当c=0时，方程为ax2+bx=0；当b=0且c=0时，方程为ax2=0。强调只要a?=0，就是一元二次方程。
一元二次方程与其他方程的对比
展示表格，对比一元二次方程、一元一次方程、二元一次方程的一般形式、未知数个数、未知数最高次数，让学生明确它们的异同点。
一元二次方程的根
结合矩形铁皮制盒问题中得到的方程x2 75x+350=0，让学生判断给出的x=4、x=5、x=60、x=70是否能使方程成立。
总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做根。
（三）巩固练习（15分钟）
练习1：判断下列式子是否为一元二次方程，让学生依据定义进行判断，巩固对一元二次方程定义的理解。
练习2：已知方程(m+4)x∣m∣ 2+8x+1=0是一元二次方程，求m的值，强化对一元二次方程一般形式中未知数次数和系数的要求。
练习3：若关于x的一元二次方程(m 1)x2+2x+m2 1=0的常数项为0，求m的值，加深对常数项的认识。
练习4：关于x的方程(m2 4)x2+(m 2)x 4=0，分别讨论当m满足什么条件时是一元二次方程和一元一次方程，并求出一元一次方程的根，巩固不同方程的区别与联系。
练习5：求一元二次方程x2 3x 10=0的根，熟悉根的概念。
讲解典例精析中的例1和例2，让学生进一步掌握相关知识的应用。
（四）课堂小结（5分钟）
引导学生回顾本节课所学内容：一元二次方程的定义、一般形式、各部分名称、根的概念，以及与其他方程的区别。
强调二次项系数不为0是一元二次方程的重要条件。
（五）作业布置（5分钟）
完成教材中相应的练习题。
思考生活中还有哪些问题可以用一元二次方程解决，尝试列出方程。
五、板书设计
21.1一元二次方程
1.定义：两边都是整式，含一个未知数，最高次数是2
2.一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）
二次项：ax ，系数a
一次项：bx，系数b
常数项：c
3.根：使方程等号两边相等的未知数的值
4.对比：一元二次、一元一次、二元一次方程