第三章概率的进一步认识 重难点分类练（含答案）2025-2026学年数学北师大版九年级上册

第三章　概率的进一步认识
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　忽略“放回”与“不放回”而出错
【例1】（2023·佛山九年级练习）将分别标有“大”“美”“明”“德”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“明德”的概率是（　 　）.
A. B. C. D.
1.“放回”抽取问题，第一次抽取后又放回，第二次抽取不受第一次的影响；
2.“不放回”抽取问题中第一次抽取到的元素，第二次就抽取不到.
1.（2023·梅州二模）桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走的都是数学书的概率为（　 　）.
A. B. C. D.
2.在一个不透明的袋中装着2个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为　 　.
　 不能正确理解频率与概率的关系而出错
【例2】（2023·深圳九年级期中）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法中正确的是（　 　）.
A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B.连续抛一枚均匀硬币10次都不可能正面朝上
C.连续抛一枚均匀硬币100次一定出现正面朝上50次
D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
（1）试验中，某事件发生的次数与总次数的比值，称为频率；
（2）随着试验次数的增加，这个事件发生的频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某一数值，可以用这一事件发生的频率估计这个事件发生的概率.试验得出的频率只是概率的近似值.
3.（2024秋·宝安区校级期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表：
射击次数 100 200 400 800 1 000
“射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850
“射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　 　）.
A.0.84 B.0.85 C.0.86 D.0.87
4.数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　 　）.
A.黑球 B.黄球 C.红球 D.白球
　 不能理解等可能的含义而出错
【例3】用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是　 　.
　　在利用列表或画树状图的方法求实际问题时，如“配紫色”游戏中转动两个转盘，当转盘停止时，两个转盘的指针所指扇形的颜色恰好能配成紫色的概率，而所给转盘被分割成几个大小不同的扇形，显然指针指向这些不同扇形的可能性是不同的，解决的方法是将“非等可能”事件转化为“等可能”事件求概率.
5.用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为　 　.
6.某中学联谊会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域的圆心角是120°.同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏.若小亮同学同时转动A盘和B盘，他赢得游戏的概率是　 　.
　利用树状图或表格求概率
1.利用树状图或表格可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率.
2.在摸球游戏中，“有放回”与“无放回”直接影响第二次等可能的结果，“有放回”包含放回的这个球；“无放回”则不包含这个球.需注意“一次拿两个球”与“无放回”是同一种类型.
1.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，则被抽到的2名同学都是男生的概率为（　 　）.
A. B. C. D.
2.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立夏”“秋分”两张邮票的概率是（　 　）.
A. B. C. D.
3.（2024秋·福田区期末）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是　 　.
4.（2025·深圳模拟）某校开展以“新时代深圳精神”为主题的演讲比赛.“新时代深圳精神”概括凝结为16个字：“敢闯敢试、开放包容、务实尚法、追求卓越.”这四个主题依次用字母A，B，C，D表示.将A，B，C，D分别写在四张完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗匀.每位选手随机从中抽出一张卡片，并按照抽到的主题进行演讲.
（1）小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是　 　；
（2）小颖从中抽出一张卡片，记下字母后放回.重新洗匀后，小亮再从中抽出一张卡片，求他们演讲主题相同的概率.
　用频率估计概率
　　事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
5.一辆汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则直行经过这个十字路口的概率为　 　.
6.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.7左右，则布袋中白球可能有　 　个.
7.（2024秋·龙岗区校级月考）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5 m，宽为4 m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图.若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为　 　m2.
8.在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有质地大小都相同的红球和黑球共4个，将球搅匀后从中随机摸出一个记下颜色，放回，再重复进行下一次试验，如表是他们整理得到的试验数据：
摸球的次数n 500 1 000 2 000 2 500 3 000 6 000
摸到红球的次数m 351 722 1 486 1 870 2 262 4 512
摸到红球的频率 0.702 0.722 0.743 0.748 0.754 0.752
（1）请估计：当n＝10 000时，摸到红球的频率将会接近　 　；（精确到0.01）
（2）试估计：盒子中有红球　 　个；
（3）请画树状图或列表计算：从口袋中先摸出1个球，不放回，再摸出1个球，求摸出的两个球都是红球的概率.
参考答案
【思维导图】
①不重复　②不遗漏　③概率　④相同　⑤比值　⑥概率
【易错点剖析】
【例1】A　1.A　2.
【例2】D　3.B　4.B
【例3】　5.　6.
【重难点突破】
1.B　2.C　3.
4.解：（1）小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是，
故答案为.
解：（2）由题意，列表为：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
共有16种等可能的结果，他们演讲主题相同的有4种结果，
所以他们演讲主题相同的概率为＝.
5.　6.15　7.7
8.解：（1）由题表可知随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定在0.75左右，所以可估计当n＝10 000时，摸到红球的频率将会接近0.75，故答案为0.75.
解：（2）由表格中摸到红球的频率可得，红球个数约为4×0.75＝3，
故答案为3.
解：（3）列表：设红球为A1，A2，A3，黑球为B.
　　二 一　　 A1 A2 A3 B
A1 （A1，A2） （A1，A3） （A1，B）
A2 （A2，A1） （A2，A3） （A2，B）
A3 （A3，A1） （A3，A2） （A3，B）
B （B，A1） （B，A2） （B，A3）
一共有12种等可能的结果.
两次都摸到红球的结果有6种，
∴P（两次都摸到红球）＝＝.