第五章投影与视图 重难点分类练（含答案）2025-2026学年数学北师大版九年级上册

第五章　投影与视图
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　混淆中心投影与平行投影
【例1】平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（　 　）.
A B C D
　　本题给出的条件是俯视图，从上面往下看，容易导致太阳是正午时刻，将太阳光线当成中心投影，从而选择A答案，因此，要时刻把握住平行投影的定义及太阳光线是平行光线即可准确解答.
1.日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成.当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面.随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是（　 　）.
A.中心投影 B.平行投影　
C.既是平行投影又是中心投影 D.不能确定
　三视图中容易混淆方向致错
【例2】（2024·福田区模拟）如图所示的几何体的俯视图是（　 　）.
A B C D
　　本题要求从左面看到的视图，刚好图形左上方缺个空，导致容易误认为画出的视图就是左上方有个小框，从而选择了B答案，因此解题时一定要牢牢把握三视图的定义，正确掌握观察角度是解题的关键.
2.一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　 　）.
A B C D
　混淆三视图中的虚线与实线
【例3】如图，底面是等边三角形的棱柱叫正三棱柱，下面的正三棱柱的主视图是（　 　）.
A B C D
　　本题要求的是主视图，而从正面看，刚好是一个矩形，导致容易误选了C答案，因此，解题时要注意主视图“长对正”，几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
3.（2024秋·宝安区校级期中）“横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的《题西林壁》.这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能会有不同的结论.某物体如图所示，它的俯视图是（　 　）.
A B C D
　投影及其应用
　　中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，现实生活中常利用物体的长度、高度、面积等与影长的比例来解决相关的实际问题.
1.如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随时间变化情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（　 　）.
A.①②③④⑤ B.②④①③⑤ C.⑤④①③② D.⑤③①④②
2.在一个充满阳光的上午，文亮同学拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，他摆动矩形木板，观察投影的变化，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（　 　）.
A B C D
3.如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC.若树高AB＝2 m，树影BC＝3 m，树与路灯的水平距离BP＝5 m，点P，B，C在同一直线上，OP⊥PC，AB⊥PC，则路灯的高度OP为　 　m.
4.如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上.
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子.
（2）如果小明的身高AB＝1.6 m，他的影子长AC＝1.4 m，且他到路灯的距离AD＝2.1 m，求灯泡的高.
5.甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼AB高16 m.当地中午12时，物高与影长的比是1∶.
（1）如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距BD的长为　 　m；
（2）当地下午14时，物高与影长的比是1∶2.如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子DE的长.
6.如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得1 m长的竹竿竖直放置时影长为1.5 m，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影子长为18 m，留在墙上的影子高为3 m，求旗杆的高度.
7.如图，一路灯距地面5.6 m，身高1.6 m的小方从距离灯的底部（点O）5 m的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增加了3 m，求小方行走的路程.
　画几何体的三视图
　　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左面三个方向观察时所得的视图画出来，所以，要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该几何体的正投影，三个视图之间“长对正”“高平齐”“宽相等”，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线.
8.如图，该几何体的俯视图是（　 　）.
A B C D
9.如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的俯视图是（　 　）.
A B C D
10.请画出下面立体图形的三视图.
11.作图题：
（1）请在方格中画出该几何体的三个视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加几个小正方体？
　由三视图判断几何体及其计算应用
　　由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左面的形状以及几何体的长、宽、高，根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线，最后综合起来考虑整体图.
12.如图是某几何体的三视图，该几何体是（　 　）.
第12题图
A.长方体 B.三棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱
13.如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　 　）.
第13题图
A.2　 B.4　 C.2　 D.
14.某几何体从三个方向看到的图形分别如图.
（1）该几何体是　 　；
（2）求该几何体的表面积.（结果保留π）
15.如图是一个几何体的三视图，求该几何体的表面积.
参考答案
【思维导图】
①投影现象　②中心投影　③投影中心　④平行光线
⑤成正比例　⑥不同　⑦相同的　⑧垂直　⑨正投影
⑩三视图　 正投影　 正面　 左面　 上面
“长对正”　 “高平齐”　 “宽相等”　 实线　 虚线
【易错点剖析】
【例1】D　1.B
【例2】D　2.A
【例3】B　3.C
【重难点突破】
1.B　解析：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西.太阳的高度变化规律是：低→高→低.影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长.根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是②④①③⑤.
2.A　解析：矩形木板在地面上形成的投影不可能是梯形.
3.　解析：由题意得AB∥OP，∴△CAB∽△COP，∴＝，即＝，∴OP＝（m）.
4.解：（1）如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子.
（2）由已知可得，＝，
∴＝，∴OD＝4.∴灯泡的高为4 m.
5.解：（1）由题意得＝，即＝，解得BD＝16 m.
故答案为16.
解：（2）如图，过点E作EF⊥AB于点F.在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝BD＝16 m.
∵物高与影长的比是1∶2，∴＝，
∴AF＝EF＝8（m），故DE＝FB＝（16－8）m.
答：落在乙楼上的影子DE的长为（16－8）m.
6.解：如图，过点C作CE⊥AB于点E.
∵CD⊥BD，AB⊥BD，CE⊥AB，
∴∠B＝∠BDC＝∠BEC＝90°，∴四边形BECD为矩形，
∴CE＝BD＝18 m，BE＝CD＝3 m.
根据题意可得＝，即＝，解得AE＝12 m，
∴AB＝AE＋BE＝12＋3＝15（m）.
答：旗杆的高度为15 m.
7.解：如图，∵AE⊥OD，GO⊥OD，
∴EA∥GO，
∴△AEB∽△OGB，∴＝，∴＝，解得AB＝2 m；
∵小方沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增加了3 m，
∴DC＝5 m.同理可得△DFC∽△DGO，
∴＝，即＝，解得AC＝7.5 m.
答：小方行走的路程为7.5 m.
8.A　9.D
10.解：如图.
11.解：（1）该几何体的三个视图如图所示，
解：（2）在如图所示位置添加相应数量的小正方体，
所以最多可以添加2个（小正方体）.
12.C　
13.D　解析：正六棱柱的底面如图所示，过点A作AH⊥BC于点H.由题意得，2AH＋BD＝4，
∵∠BAC＝120°，AC＝AB，∴∠CAH＝∠BAH＝60°，∴∠ABH＝30°，∴AB＝2AH，∴4AH＝4，∴AH＝1，∴BH＝AH＝，∴a的值为.
14.解：（1）这个几何体是圆柱，故答案为圆柱.
（2）圆柱底面积＝π×（）2＝π，
圆柱的侧面积＝π×2×3＝6π，
∴圆柱的表面积＝6π＋2π＝8π.
15.解：由三视图可知，该几何体是三棱柱，表面积为2××（2＋2）×1＋（2×2＋×2）×2＝12＋4.
答：该几何体的表面积为12＋4.