第四章 图形的相似 重难点分类练（含答案）2025-2026学年数学北师大版九年级上册

第四章　图形的相似
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　求线段的比时，线段的长度单位不统一
【例1】在比例尺为1∶2 000的地图上，测得 A，B 两地间的图上距离为3 cm，则其实际距离为　 　m.
　　本题容易忽略单位的不统一，导致做错题目，本题解题的关键是熟知比例尺是图上距离与实际距离之比，注意单位的统一，准确计算即可.
1.在比例尺为1∶5 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3 cm，则甲、乙两地的实际距离是　 　m
　相似三角形的对应元素忘记分类漏解
【例2】（2024秋·宝安区校级月考）如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20 cm，BC＝30 cm，点P从点B出发沿BA以4 cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3 cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP＝　 　cm.
　　两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，此时，特别注意要根据不同的对应关系分别计算，准确解答.
2.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是　 　.
　相似三角形性质定理和判定定理把握不牢，运用不当
【例3】如图，已知小丽的身高是1.6 m，她在路灯下的影子长为2 m，小丽距路灯灯杆的底部3 m，那么路灯灯泡距地面的高度是　 　m.
　　本题主要考查了相似三角形性质的应用.根据已知得出图形，利用相似三角形的判定与性质求出即可，但部分学生容易用错边长比例，导致结果出错，因此，要细心应对，找准对应边，用好相似三角形的性质及判定.
3.（2024春·东平县期末）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是多少？
　对位似与相似的联系与区别存在模糊
【例4】如图，△ABC与△DEC都是等边三角形，固定△ABC，将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在△DEC旋转的过程中，下列说法正确的是（　 　）.
A.△DEC总与△ABC位似
B.△DEC与△ABC不会位似
C.当点D落在CB上时，△DEC与△ABC位似
D.存在△DEC的两个位置使得△DEC与△ABC位似
　　本题主要考查了位似图形的定义，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似，牢固掌握位似图形的定义是解本题的关键.
4.如图，在四边形ABCD的边AB上任取一点O（不与点A，B重合），连接OC，OD，分别取OA，OB，OC，OD的中点A'，B'，C'，D'，连接A'D'，D'C'，C'B'，四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相似吗？ 为什么？
　平行线分线段成比例基本事实
　　两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例，用好性质定理突破解题.
1.（2024秋·罗湖区校级月考）如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则EF＝（　 　）.
第1题图
A.3 B.6 C.4 D.5
2.如图，是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF，DE＝24 cm，EF＝40 cm，BC＝50 cm，则AB的长为（　 　）.
第2题图
A. cm B. cm C.50 cm D.30 cm
3.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则的值是（　 　）.
第3题图
A.－1 B.2＋ C.＋1 D.
　相似三角形的判定及性质
　　（1）判定定理：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似；（2）性质定理：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形中的重要线段的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
4.如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3，5，6，△DEF的最短边长为9，那么△DEF的周长等于 （　 　）.
A.4 B. C.21 D.42
5.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，若AD∶DB＝3∶1，则S△ADE∶S△ABC的值为（　 　）.
A. B. C. D.
6.（2023·深圳九年级统考开学考试）如图，已知AB∥CF，AD∥BF，△ABE的面积为4，△CED的面积为9，则△BED和△BDF的面积分别为S1＝　 　，S2＝　 　.
7.（2024秋·宝安区校级期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB·AM＝AE·AC.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝6，AD＝8，求线段BM的长度.
8.（2024秋·宝安区校级期中）如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交BD于点F，交CD于点G，连接CF.
（1）求证：AF2＝EF·GF；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长.
　相似三角形的实际应用
　　（1）利用相似三角形的性质，计算不能直接测量的宽度；（2）利用相似三角形的性质，计算不能直接测量的物体的高度；（3）利用相似三角形的性质求值.
9.如图，测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长AB为15 m，然后在A处竖立一根高2 m的标杆，测得标杆的影长AC为2.5 m，则楼高为（　 　）.
A.10 m B.12 m C.2.5 m D.22.5 m
10.如图，有一块直角边AB＝3 cm，BC＝4 cm的Rt△ABC铁片，现要把它加工成一个如图所示的正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为　 　cm.
第10题图
11.（2022·深圳九年级期中）如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝0.4 m，EF＝0.2 m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树AB的高度为　 　m.
第11题图
12.某小队在探险途中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪AB从观测点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点M，在深坑右侧用观测仪CD从观测点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点N.（点E，B，M，N，D，F在同一水平线上）
已知：AB⊥EM，CD⊥NF，观测仪AB高2 m，观测仪CD高1 m，BM＝1.6 m，ND＝0.8 m，深坑宽度MN＝8.8 m，请根据以上数据计算深坑深度是多少米.
　位似图形的性质、相关作图及应用
　　位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质；位似图形的对应点的连线相交于一点，即位似中心；位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
13.如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'，Q'，R'分别是OP，OQ，OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的相似比、位似中心分别是（　 　）.
A.2、点P B.、点P C.2、点O D.、点O
14.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2∶3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是（　 　）.
A.16 B.9 C.6 D.4
15.如图，在6×6的正方形网格中，线段AB与线段DC是位似图形，请仅使用无刻度的直尺，按下列要求画图.
（1）在图1中作线段AB与线段DC的位似中心；
（2）在图2中作出线段AB的所有四等分点.
16.（2024秋·深圳期中）如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，－1），（2，1），△OB'C'与△OBC位似，O点为位似中心，点B的对应点为B'（－6，2）.
（1）△OB'C'与△OBC的相似比为　 　；
（2）在图中画出△OB'C'；
（3）点M（1，0）是△OBC内部一个点，点M的对应点M'的坐标为　 　.
参考答案
【思维导图】
①相同　②不一定相同　③＝　④比例线段　⑤bc　⑥　⑦＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0）　⑧＝
⑨相似多边形　⑩对应边　 对应角相等　 对应边成比例
成比例　 成比例　 相似三角形　 两角　 两边成比例且夹角相等　 三边成比例　 对应高　 对应角平分线　 对应中线　 相似比　 相似比的平方　 位似中心　 相似比　 位似中心　 互相平行或在同一条直线上　 相似比
【易错点剖析】
【例1】60　1.150
【例2】或20　解析：设运动时间为x s，
当△BPQ∽△CQA时，有＝，
即＝，解得x＝，∴BP＝4x＝（cm）；
当△BPQ∽△CAQ时，有＝，
即＝，解得x＝5或x＝－10（舍去），
∴BP＝4x＝20（cm）.
综上所述，当BP＝cm或20 cm时，△BPQ与△AQC相似，故答案为或20.
2.或2　解析：分两种情况讨论.
（1）若△B'FC∽△ABC，此时＝，由于CF＝BC－BF＝BC－B'F，可算出B'F的长，即为BF的长.
（2）若△FB'C∽△ABC，此时＝，同理可以计算出BF的长.
【例3】4　解析：如图，∠DAC＝∠EAB，
∠DCA＝∠EBA＝90°，
∴△ADC∽△AEB，∴＝，
∵小明的身高为1.6 m，他在路灯下的影子长为2 m，小明距路灯灯杆底部为3 m，
∴AC＝2 m，BC＝3 m，CD＝1.6 m， ∴＝，
∴BE＝4 m，∴路灯灯泡距地面的高度是4 m.
3.解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x m，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得＝而CB＝1.2 m，∴BD＝0.96 m，
∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56（m），
再由竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得＝，∴x＝4.45，∴树高是4.45 m.
【例4】D
4.解：四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD，理由如下：
如图，∵A'，D'分别是OA，OD的中点，
∴A'D'∥AD，A'D'＝AD，
∴＝， 同理＝＝＝，
∴＝＝＝＝.
∵A'D'∥AD，∴∠OA'D'＝∠OAD，∠OD'A'＝∠ODA，
同理∠OD'C'＝∠ODC，∠OC'D'＝∠OCD，∠OC'B'＝∠OCB，∠OB'C'＝∠OBC，
∴∠OA'D'＝∠OAD，∠A'D'C'＝∠ADC，∠D'C'B'＝∠DCB，∠OB'C'＝∠OBC，
∴四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相似.
【重难点突破】
1.A　2.D
3.C　解析：作FG⊥AB于点G（图略），
由AE∥FG，得＝，
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.
又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG＝CF.
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF，∴CB＝GB.
∵AC＝BC，∴∠CBA＝45°，∴AB＝BC，
∴＝＝＝＝＋1.
4.D　5.D　6.6　10
7.（1）证明：∵AB·AM＝AE·AC，∴＝.
∵∠CAB＝∠CAB，∴△ACB∽△AME，
∴∠AEM＝∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DE＝BE，AE＝EC，AC＝BD，∠DAB＝90°，
∴AE＝BE＝DE＝CE.
∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝10，∴AE＝5.
∵AB·AM＝AE·AC，
∴6×（6＋BM）＝5×10，∴BM＝.
8.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF.
∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，∴∠DAF＝∠FEC.
∵△ABF≌△CBF，∴∠BAF＝∠BCF，
∴∠DAF＝∠DCF，∴∠GCF＝∠CEF.
∵∠CFG＝∠EFC，∴△CFG∽△EFC，
∴＝，∴CF2＝EF·GF.
∵AF＝CF，∴AF2＝EF·GF.
（2）解：∵∠BAD＝120°，∴∠DCE＝60°.
∵菱形边长为2，∴CD＝AD＝2.
∵DE⊥BC，∴∠ADE＝∠CED＝90°，
∴∠CDE＝30°，∴CE＝CD＝1，DE＝，
∴AE＝＝＝，
BE＝BC＋CE＝2＋1＝3.
∵AD∥BE，∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴＝＝，＝＝，
∴AF＝AE＝，AG＝AE＝，
∴FG＝AG－AF＝－＝.
9.B
10.　解析：如图，过点B作BP⊥AC交AC于点P，交DE于点Q.
在Rt△ABC中，AB＝3 cm，
BC＝4 cm，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5（cm）.
∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BP，
∴BP＝＝＝（cm）.
∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，∴＝.
设DE＝x cm.∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝PQ＝x，∴＝，
解得x＝，故答案为.
11.5.5　解析：由题意可得∠DEF＝∠DCB＝90°.
∵∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB.
∴＝，即＝，∴BC＝4 m，
∴AB＝BC＋AC＝4＋1.5＝5.5（m）.
故答案为5.5.
12.解：如图，过点P作PH⊥EF，垂足为H，
∵AB⊥EF，PH⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥HP，CD∥HP，
∴△ABM∽△PHM，△CDN∽△PHN，
∴＝，＝，
∴HP＝，HP＝，
∴＝.
∵AB＝2 m，BM＝1.6 m，CD＝1 m，DN＝0.8 m，MN＝8.8 m，
设MH＝x m，则NH＝（8.8－x）m，
∴＝，∴x＝4.4，
∴HP＝＝＝5.5（m），∴深坑深度是5.5 m.
13.D　14.D
15.解：（1）如图1，点O为位似中心.
（2）如图2，H，M，N即为线段AB的四等分点.
16.解：（1）∵△OB'C'与△OBC位似，O点为位似中心，点B（3，－1）的对应点为B'（－6，2），
∴△OB'C'与△OBC的相似比为2∶1.
故答案为2∶1.
解：（2）如图，△OB'C'即为所求.
解：（3）由题意得，点M'的坐标为（－2，0）.
故答案为（－2，0）.