期末复习（二） 一元二次方程 考点分类练（含答案） 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

期末复习（二）　一元二次方程
一、考点过关
考点1　认识一元二次方程
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（　 　）.
A.＋x＝2 B.x2－2y＝0
C.x2＋2x＝x2－1 D.x2＝0
2.方程2x2－3x＝－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 （　 　）.
A.2，－3，1 B.2，－3，－1　
C.2，3，1 D.2，3，－1
考点2　用配方法求解一元二次方程
3.把方程x2＋2x－3＝0化成（x＋m）2＝n的形式，则m＋n的值是　 　.
4.用配方法解方程.
（1）x2＋4x－1＝0；
（2）2x2＋8x－7＝0.
考点3　用公式法求解一元二次方程
5.下列所给方程中，没有实数根的是（　 　）.
A.x2＋x＝0 B.4x2－5x＋2＝0
C.5x2－4x－1＝0 D.3x2－4x＋1＝0
6.（2024秋·光明区月考）关于x的一元二次方程kx2＋3x－1＝0有实数根，则k的取值范围是（　 　）.
A.k≤－ B.k≤－且k≠0
C.k≥－ D.k≥－且k≠0
7.用公式法解方程.
（1）4x2－x－9＝0；
（2）2x（x－1）＝x－1.
考点4　用因式分解法求解一元二次方程
8.一元二次方程x2＝2x的根是　 　.
9.一元二次方程x2－x－56＝0的解为　 　.
10.用因式分解法解方程.
（1）x（x－5）＝3x－15；
（2）x2－2x－8＝0.
考点5　一元二次方程的根与系数的关系
11.（2024秋·福田区校级月考）已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m＋n的值为　 　.
12.已知一元二次方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，则x2＋x1的值是（　 　）.
A.－3 B.3 C.－6 D.6
13.（2023·深圳校联考二模）关于x的一元二次方程x2＋6x－a＝0的一个根是3，另一个根是b，则a＋b＝　 　.
考点6　应用一元二次方程
14.（2024秋·福田区期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆 750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率.设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程　 　.
15.某商场将进价为30元/个的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个.若实现平均每月10 000元的销售利润，设涨价x元，则可列方程为　 　.
二、核心考题
16.若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋m＋1＝0有两个相等的实数解，则m的值是　 　.
17.已知（a2＋b2）2－3a2－3b2＝10，则代数式a2＋b2的值为　 　.
18.如图，在宽为25 m，长为40 m的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块作为小麦试验田，假设试验田面积为912 m2，则道路的宽为　 　m.
三、提升考题
19.“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.
20.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当Q运动到点C为止.
（1）经过几秒钟，PQ＝3 cm？
（2）经过几秒钟，△PBQ的面积等于8 cm2？
（3）△PBQ的面积能否成为△ABC面积的一半，若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由.
参考答案
1.D　2.A　3.5
4.解：（1）x2＋4x－1＝0，移项，得x2＋4x＝1，配方，得x2＋4x＋4＝5，
∴（x＋2）2＝5，解得x1＝－2＋，x2＝－2－.
（2）2x2＋8x－7＝0，2x2＋8x＝7，x2＋4x＝，
x2＋4x＋4＝＋4，（x＋2）2＝，x＋2＝±，
解得x1＝－2－，x2＝－2＋.
5.B　6.D
7.解：（1）a＝4，b＝－1，c＝－9，
Δ＝b2－4ac＝（－1）2－4×4×（－9）＝145＞0，
∴x＝＝＝.
∴x1＝，x2＝.
（2）2x（x－1）＝x－1，整理得2x2－3x＋1＝0，
∴a＝2，b＝－3，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝（－3）2－4×2×1＝1＞0，
∴x＝＝＝，∴x1＝1，x2＝.
8.x1＝0，x2＝2　9.x1＝8，x2＝－7
10.解：（1）∵x（x－5）＝3x－15，∴x（x－5）＝3（x－5），
∴x（x－5）－3（x－5）＝0，∴（x－5）（x－3）＝0，
∴x－5＝0或x－3＝0，∴x1＝5，x2＝3.
（2）∵x2－2x－8＝0，∴（x－4）（x＋2）＝0，
∴x－4＝0或x＋2＝0，∴x1＝4，x2＝－2.
11.－2　12.B　13.18
14.180＋180（1＋x）＋180（1＋x）2＝750
15.（40－30＋x）（600－10x）＝10 000
16.±　解析：∵关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋m＋1＝0有两个相等的实数解，∴b2－4ac＝4－4（m－1）·（m＋1）＝0，即－4m2＋8＝0，解得m＝±.
17.5　解析：∵（a2＋b2）2－3a2－3b2＝10，∴（a2＋b2）2－3（a2＋b2）＝10，设a2＋b2＝x，则原方程可化为x2－3x＝10，∴（x－5）（x＋2）＝0，解得x＝5或x＝－2.∵a2＋b2＝x≥0，∴x＝－2舍去，∴x＝5，故答案为5.
18.1　解析：设道路的宽为x m，则试验田可合成长为（40－2x）m，宽为（25－x）m的矩形，依题意得（40－2x）（25－x）＝912，化简得x2－45x＋44＝0，解得x1＝1，x2＝44（不合题意，舍去）.故道路的宽为1 m.
19.解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意，得32（1＋x）2＝50，
解得x1＝0.25＝25％，x2＝－2.25（不符合题意，舍去）.
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25％.
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
∵240 000÷1 600＝150（套），∴m＞100，
由题意，得m（1 600 －×40）＝240 000，
整理得m2－500m＋60 000＝0，
解得m1＝200，m2＝300.
当m＝200时，1 600－×40＝1 600－400＝1 200＞1 000，符合题意；
当m＝300时，1 600－×40＝1 600－800＝800＜1 000，不符合题意，舍去.
答：购买的这种健身器材的套数为200套.
20.解：设运动时间为t s，则AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∴BP＝（6－t）cm.
（1）由题意得（6－t）2＋（2t）2＝（3）2，
整理得5t2－12t－9＝0，
解得t1＝3，t2＝－（不合题意，舍去）.
故经过3 s，PQ＝3 cm.
（2）由题意得（6－t）·2t＝8，整理得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4.故经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm2.
（3）不能.理由：S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24（cm2）.
由题意得（6－t）·2t＝×24，整理得t2－6t＋12＝0，Δ＝b2－4ac＝（－6）2－4×1×12＝－12＜0，∴原方程无解，∴△PBQ的面积不能是△ABC面积的一半.