期末复习（四） 图形的相似 考点分类练（含答案） 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

期末复习（四）　图形的相似
一、考点过关
考点1　比例性质
1.若＝，则＝（　 　）.
A. B.－ C.7 D.－7
考点2　平行线分线段成比例基本事实及其推论基本应用
2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD＝2，BD＝3，则的值是（　 　）.
A. B. C. D.
考点3　黄金分割点
3.如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝4，则AD的长是（　 　）.
A.3 B.6－2 C.2－2 D.2－1
考点4　相似图形及其性质
4.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（　 　）.
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
考点5　两三角形相似的判定及性质
5.如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度.下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（　 　）.
A B C D
6.（2024秋·深圳校级月考）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C.
（1）求证：△ABD∽△ACB.
（2）若AB＝6，AD＝4，求线段CD的长.
考点6　位似图形及其坐标性质
7.如图，已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形，点A（－1.4，1.5）的对应点为A'（－0.2，－3），点C的坐标为（－1，0），若点B的对应点B'的横坐标为3，则点B的横坐标为　 　.
考点7　相似三角形的应用综合
8.如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5 m，点F到地面的高度CF＝1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4 m，墙到木板的水平距离为CD＝4 m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上.求灯泡到地面的高度AG.
二、核心考题
9.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为　 　.
第9题图
10.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E.若AB∶BC＝3∶4，则BF∶FD为（　 　）.
第10题图
A.5∶3 B.5∶4 C.4∶3 D.2∶1
11.某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑（如图1）的高度.如图2，古建筑的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5 m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26 m，并且古建筑AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2 m到D处（即ED＝2 m），从D处观察点A，A，F，D在同一直线上；从标杆GH后退4 m到C处（即CG＝4 m），从C处观察点A，A，H，C三点也在同一直线上.已知点B，E，D，G，C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助数学兴趣小组求出该古建筑AB的高度.
12.如图，在矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E.
（1）求证：△ABM∽△EMA；
（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长.
三、提升考题
13.如图，在平面直角坐标系中， ABCD的边AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OB.
（1）求OA，OB的长；
（2）若x轴上有一个点E满足S△AOE＝，求证：△AOE∽△DAO.
14.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.（保留作图痕迹）
（1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2∶1，D，E为格点.
（2）如图2，在OA边上找一点F，使得＝.
参考答案
1.B　2.A　3.C　4.C　5.C
6.解：（1）在△ABD和△ACB中，∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB.
（2）∵△ABD∽△ACB，∴＝.
∵AB＝6，AD＝4，∴AC＝＝＝9，
则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
7.－3　解析：过点A作AM⊥x轴于点M，过A'作A'N⊥x轴于点N（图略），则AM∥A'N，∴△ACM∽△A'CN，∴＝.∵点A（－1.4，1.5）的对应点为A'（－0.2，－3），点C的坐标为（－1，0），∴＝＝＝，∴△ABC和△A'B'C的相似比为1∶2.过点B作BE⊥x轴作于点E，过点B'作B'F⊥x轴于点F，则BE∥B'F，∴△BCE∽△B'CF，∴＝，∵点C的坐标为（－1，0），点B'的横坐标为3，∴CF＝4，∵△ABC和△A'B'C的相似比为1∶2，即＝，∴＝，解得EC＝2，∴点B的横坐标为－3.
8.解：由题意可得FC∥DE，则
△BFC∽△BED，故＝，
即＝，解得BC＝3米.
∵AC＝5.4 m，∴AB＝5.4－3＝2.4（m）.
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA.
又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BFC∽△BGA，
∴＝，∴＝，解得AG＝1.2 m.
答：灯泡到地面的高度AG为1.2 m.
9.12
10.A　解析：（方法1）∵AB∶BC＝3∶4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，∴AC＝＝5x.
∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°.
∵∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，
∴＝，∴＝，∴AD＝x.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF.
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，∴＝，
∴＝＝＝.
（方法2）∵AB∶BC＝3∶4，
∴设AB＝3x，BC＝4x.
∵∠ABC＝90°，∴AC＝＝5x.
∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°.
∵∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，
∴＝，∴＝，∴AD＝x.
如图，过F作FH⊥AB于H，
∵AE是∠BAC的平分线，
FD⊥AC，
∴FH＝FD.
∵sin∠ABD＝＝，
∴＝＝.
故选A.
11.解：设BE＝y m.由题意可知，
EF∥AB，GH∥AB，
∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，
∴＝，＝.
∵EF＝HG＝1.5 m，∴＝，∴＝，
解得y＝26 m.∵＝，∴＝，解得AB＝21 m.
答：该古建筑AB的高度为21 m.
12.（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB.
∵EM⊥AM，∴∠AME＝90°.
∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，
∴△ABM∽△EMA.
（2）解：∵AB＝4，BM＝3，∠B＝90°，
∴AM＝＝＝5.
∵△ABM∽△EMA，∴＝，
即＝，∴ME＝.
13.（1）解：∵x2－7x＋12＝0，∴（x－3）（x－4）＝0，
∴x1＝3，x2＝4.∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3.
（2）证明：∵S△AOE＝，∴OA·OE＝，
即×4OE＝，∴OE＝，
∴点E的坐标为（－，0）或（，0）.
∵＝＝，＝＝，∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∵∠AOE＝90°，∴OE⊥OA，即BC⊥OA，∴OA⊥AD，
∴∠DAO＝90°，∴∠AOE＝∠DAO，∴△AOE∽△DAO.
14.解：（1）如图1所示，在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接DE，
　
则＝＝＝2，
∵∠DOE＝∠AOB，∴△ODE∽△OAB，
故△ODE即为所求作.
（2）如图2所示，在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，
则△AGF∽△OBF，
∵OB＝2，∴＝＝，
故点F即为所求作.