《第一章勾股定理单元测试·巩固卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D B D B C B C
1．B
本题考查了勾股定理，直角三角形的斜边长为两直角边平方和的平方根．
解：已知直角三角形的两条直角边分别为5和12，设斜边长为．
由勾股定理得：
因此，斜边的长为13，
故选：B．
2．A
本题主要考查的是勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键．
根据勾股定理求出的长，再由角平分线的性质得，然后利用三角形的面积公式求解即可．
解：如图：过点D作，，垂足分别为N，M，连接DA，
，，，
，
点D是、的角平分线的交点，且于E，
，
，
，
，即，解得：．
故选：A．
3．D
本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一验证各选项中三边是否满足（为最长边），即可判断是否为直角三角形．
解：选项A： ，满足勾股定理，是直角三角形；
选项B： ，满足勾股定理，是直角三角形；
选项C： ，满足勾股定理，是直角三角形；
选项D： ，不满足勾股定理，因此不是直角三角形；
故选：D．
4．D
利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键．
解：∵，
∴最大角不是，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
∵，
∴最大角是，
∴能构成直角三角形，
但边长不是整数，不是勾股数，
故B不符合题意；
∵，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
∵，
∴最大角是，
∴能构成直角三角形，且各边都是整数，是勾股数，
故D符合题意；
故选：D．
5．B
本题主要考查勾股数的定义，根据勾股数的定义，满足三个正整数且两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即可．
解：A． 0.3，0.4，0.5：非正整数，不符合勾股数条件，排除．
B． 6，8，10：均为正整数，验证得，满足勾股数定义．
C． ，，1：含分数，非正整数，排除．
D． ，，（即9，16，25）：验证得，不满足条件．
综上，正确答案为B．
故选：B．
6．D
本题主要考查了勾股数的定义，勾股数需满足三个正整数且满足（为最大数）是解题的关键．
根据勾股数的定义逐项判断即可．
解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意；
B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意；
C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意；
D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数．
故选D．
7．B
本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可．
解：梯子顶端离地面的距离为：（米），
故选：B．
8．C
本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案．
解：如图所示，在中，，且，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∴梯足将滑1米，
故选：C．
9．B
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
如图：过点B作，且使，连接，先由勾股定理求出，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值．
解：如图：过点B作，且使，连接，
在中，，，，
∴，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
当为最小时，为最小，
根据“两点之间线段最短”得：，
当点F，E，A共线时，为最小，最小值是，
的最小值是
故选：B．
10．C
本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可．
解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，
∴，，，
∴．
故选：C．
11．52
本题主要考查了勾股定理的应用，
先根据勾股定理求出，再根据正方形的面积公式得出答案．
解：在中，，
根据勾股定理，得，
所以正方形的面积.
故答案为：52．
12．12
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
利用“到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，确定点位置，再证明，得，运用勾股定理列式，代入数值得，求解得出的长度．
解：∵，
∴点在的垂直平分线上，
连接
则长方形中的垂直平分线是过、交点,
依题意，运动时间时，在上，；
依题意时，在上，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
在中，，
即，
∴，
解得．
故答案为：12．
13．
本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键．
解：在中，，
，则，
由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且；
在中，，
，则，
由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且；
四边形的面积为，
故答案为：．
14．（19，180，181）
本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．
由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）．
解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）．
故答案为（19，180，181）．
15．26
本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间．
解：如图所示：
作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是，
∵底面周长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：26．
16．2或
分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
解：，，
，
当点落在上时，
将沿直线折叠，
，
，
，
；
当点落在上时，如图2，连接，过点作于，
，
，
，
，
，
将沿直线折叠，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
17．S△ABC＝84．
设BD＝x，则有CD＝14﹣x，根据AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，列出方程求解即可得到答案.
解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则有CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解之得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC＝BC AD＝×14×12＝84．
本题主要考查了勾股定理和利用方程的思想解决问题，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.
18．(1)15米
(2)云梯的底部外移了5米
本题考查了勾股定理的应用．
（1）根据题意用含有的式子表示的长，根据勾股定理列出方程，解方程求出的长度；
（2）由题意得米，米，再根据勾股定理求出，进而求出，即可求得答案．
关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（1）解：∵米，的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，
∴米，
在中，，
∴，解得：，
∴的长度为15米；
（2）∵的长度为15米，
∴米，
当云梯的顶端沿墙下滑了5米到达点处时，（米），
由勾股定理得：（米），
∴（米），
∴云梯的底部外移了5米．
19．(1)，
(2)见解析；以，，三条线段能构成直角三角形，理由见解析
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理可得是一个两直角边长都为2的直角三角形的斜边，据此作图即可；可证明，据此可得结论．
（1）解：由题意得，，；
（2）解：如图所示，即为所求；
以，，三条线段能构成直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴以，，三条线段能构成直角三角形．
20．(1)见解析
(2)2
本题考查了基本作图－作已知角的角平分线、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作平分即可；
（2）直接运用勾股定理求解即可．
（1）解：如图，为所作；
．
（2）解：∵在中，，，，
∴．
21．(1)定滑轮C到D点拉着的绳长为；
(2)桥面的宽长为
本题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理．
（1）过点D作于F，在中，根据勾股定理即可求出；
（2）先表示出的长，在中，根据勾股定理列出方程即可求桥面的宽
（1）过点D作于F，
由题意知：，
，
，
由题意可知：四边形是长方形，
，
，
在中，
，
定滑轮C到D点拉着的绳长为；
（2）由（1）知，
，
比长，
，
在中，
，
，
，
桥面的宽长为
22．(1)证明见解析
(2)
本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，三角形中线的定义等知识，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据三角形中线的定义得，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先推出，确定是直角三角形，且，再根据勾股定理得即可．
（1）证明：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴的长为．
23．(1)见解析
(2)的长为
本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）根据垂直平分线的性质得出，进而可得，在中，勾股定理即可求解．
（1）证明：垂直平分，，
．
在中，，，，
，
，即．
（2）解：是线段的垂直平分线，
，
．
，
，
，
．
即的长为．
24．(1)
(2)①；②或
本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识．
（1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得；
（2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得；
②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：；
（2）解：①在中，由勾股定理得：．
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
②分两种情况：
如图，当点在线段上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在线段的延长线上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
综上所述，的长为或．(共7张PPT)
北师大版2024八年级上册
第一章勾股定理单元测试·巩固卷
试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
较易 9
适中 13
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 用勾股定理解三角形
2 0.65 角平分线的性质定理；用勾股定理解三角形
3 0.65 判断三边能否构成直角三角形
4 0.65 勾股树（数）问题
5 0.85 勾股树（数）问题
6 0.85 勾股树（数）问题
7 0.85 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
8 0.85 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
9 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；求最短路径(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
10 0.65 求最短路径(勾股定理的应用)；几何体展开图的认识
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积
12 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形；线段垂直平分线的性质
13 0.85 利用勾股定理的逆定理求解
14 0.65 数字类规律探索；勾股树（数）问题
15 0.65 求最短路径(勾股定理的应用)
16 0.4 勾股定理与折叠问题；矩形与折叠问题
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 用勾股定理解三角形
18 0.65 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
19 0.85 勾股定理与网格问题；在网格中判断直角三角形
20 0.65 作角平分线(尺规作图)；用勾股定理解三角形
21 0.65 用勾股定理解三角形
22 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；利用勾股定理的逆定理求解；用勾股定理解三角形
23 0.65 线段垂直平分线的性质；判断三边能否构成直角三角形；用勾股定理解三角形
24 0.4 全等三角形综合问题；用勾股定理解三角形2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第一章 勾股定理单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若直角三角形的两直角边分别为5和12，则斜边的长为（ ）
A．7 B．13 C．15 D．17
2．如图，在中，，，，点D是和的角平分线的交点，且于E，则的长度为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．由线段组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．下列各组3个数是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13
5．在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10
C．，，1 D．，，
6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13
7．如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（ ）米
A．15 B．12 C．10 D．6
8．一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（ ）
A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米
9．如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）．
A．5 B． C．6 D．
10．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ．
12．如图，点P是长方形边上的一个动点，从A点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是．当运动时间t为或时，点P均满足，则的长为 ．
13．如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ．
14．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ．
15．如图，一个圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点处有一只蚂蚁，想沿盒壁爬行吃到正对面中部点处的食物，那么它至少需要爬行 ．（蚂蚁的大小忽略不计）
16．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
18．如图，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，这时米，云梯的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，，设的长度为x米．
(1)求的长度；
(2)若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)分别求出线段，的长度（图中，，，均为网格线交点）；
(2)在图中画线段，使得的长为；判断以，，三条线段是否构成直角三角形，并说明理由．
20．如图，在中，，，．
(1)尺规作图：作的角平分线交于点P；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求AC的长．
21．古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面的距离为（绳子一直是直的）
(1)若，，求从定滑轮C到D点的绳长；
(2)若的长为，比BC长，求桥面的宽
22．如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接．
(1)求证：；
(2)求的长．
23．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)求的长．
24．如图，在中，于点，，．
(1)求的长；
(2)若点是射线上的一个动点，过点作于点．
①当点在线段上时，若，求的长；
②设直线交射线于点，连接，若，求的长．
