2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第二章 实数单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图所示，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（ ）
A．与之间 B．与之间
C．与之间 D．与之间
4．下列实数：，，，，，，其中无理数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．25
6．下列算式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．将化简后的结果正确的答案是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知是整数，则自然数m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，数轴上的点表示的数为，则 ．
12．比较大小： 填“>，<或=”
13．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ．
14．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数．
15．已知，，则代数式的值是 ．
16．我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
19．如图是一个单位长度为1的网格，每个小格的顶点叫做格点．
(1)请在网格中，画出一个顶点都在格点上的，使，，；
(2)直接写出点到的距离_____．
20．某工厂欲将一块面积为的正方形场地改建成面积为的长方形场地，且其长、宽之比为．如果打算回收围建原正方形场地的铁栅栏，用于建设新长方形场地的围墙，那么这些铁栅栏是否够用？
21．在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为．
(1)求正方形框架的边长．
(2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断．
22．规律探究，观察，即，即．
(1)猜想等于什么？并通过计算验证你的猜想；
(2)写出符合这一规律的一般等式（用含有n的式子表示出来）．
23．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．
(1)求、的值；
(2)求的算术平方根．
24．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________；
(2)的算术平方根为_________________；
(3)若，且、、均为正整数，求的值；
(4)化简：．(共7张PPT)
北师大版2024八年级上册
第二章实数单元测试·巩固卷
试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
较易 4
适中 19
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 实数与数轴；无理数的大小估算
2 0.65 无理数的大小估算
3 0.65 无理数的大小估算；用勾股定理解三角形；实数与数轴
4 0.85 无理数；求一个数的算术平方根
5 0.65 已知一个数的平方根，求这个数
6 0.65 求一个数的平方根；求一个数的立方根；求一个数的算术平方根
7 0.85 计算单项式乘单项式；运用完全平方公式进行运算；合并同类项；二次根式的加减运算
8 0.65 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简
9 0.65 分母有理化；比较二次根式的大小
10 0.65 求二次根式中的参数
三、知识点分布
二、填空题
11 0.65 实数与数轴；用勾股定理解三角形
12 0.65 实数的大小比较
13 0.65 立方根的实际应用；已知字母的值 ，求代数式的值
14 0.65 与算术平方根有关的规律探索题；无理数
15 0.65 二次根式的混合运算；运用平方差公式进行运算；通过对完全平方公式变形求值
16 0.65 新定义下的实数运算；整式乘法混合运算
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 二次根式的混合运算
18 0.65 运用完全平方公式进行运算；负整数指数幂；实数的混合运算；零指数幂
19 0.65 勾股定理与网格问题；二次根式的应用；利用网格求三角形面积
20 0.65 求一个数的算术平方根；比较二次根式的大小；二次根式的加减运算
21 0.65 算术平方根的实际应用；利用平方根解方程；无理数的大小估算
22 0.65 求一个数的算术平方根；与算术平方根有关的规律探索题
23 0.65 已知一个数的平方根，求这个数；已知一个数的立方根，求这个数；求一个数的算术平方根
24 0.4 运用完全平方公式进行运算；二次根式的混合运算《第二章实数单元测试·巩固卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B D D B A A B
1．A
本题考查了数轴的认识与无理数的估算，正确分析数轴的单位长度以及点A的位置是解决本题的关键．
首先观察数轴可知数轴的单位长度为“1”，再根据点A的位置位于与之间的位置确定范围并比较无理数的大小即可．
解：观察数轴可知，数轴的单位长度为“1”，
且点A的位置位于与之间，
因为，
所以可得，
再由不等式的变号规则可知，，
所以数轴上点表示的数可能是．
故选：A ．
2．C
本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键．
估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案．
解：∵，
∴，
∵，、为最接近的正整数，
∴，，
∴
故选：C．
3．A
本题考查了勾股定理的应用以及无理数的估算，实数与数轴，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度确定圆的半径，再结合点的坐标求出点C的横坐标并进行估算．
构造直角三角形，利用勾股定理计算 的长度，得到圆的半径；根据点A的坐标和半径，确定点C的横坐标表达式；估算无理数的大小，判断横坐标所在的范围．
∵是直角三角形，
∴，
∴，即．
∴，
因点C在x轴的负半轴上，则点C的横坐标为，
∵，即，
∴，
∴，即，
故选：A．
4．B
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，无理数常见的三种表现方式有：开不尽方的数，例如：；特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：(每相邻个之间依次增加个).
解：是负分数，是有理数，
是开不尽方的数，是无理数，
含有特殊字母，是无理数，
是有限小数，是有理数，
是整数，是有理数，
是整数，是有理数，
综上所述，无理数的个数是.
故选：B．
5．D
本题考查了平方根的性质．
根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可．
解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴
解得：
∴m的值为：
故选：D．
6．D
根据立方根，算术平方根，平方根的定义及其特性解答即可．
本题考查了立方根，算术平方根，平方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，熟练掌握定义和条件是解题的关键．
A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. 错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选：D．
7．B
本题考查了整式的运算，合并同类项，二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
逐一验证各选项的运算是否正确即可．
解：A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：与非同类二次根式，无法化简为，故C错误；
D：，故D错误；
故选：B．
8．A
本题考查了二次根式的性质和化简，
根据二次根式的性质，被开方数必须非负，确定a的取值范围，再对原式进行化简．
解：∵有意义，
∴，故．
∴
故选A．
9．A
本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键．
先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可．
解：；
同理，，．
∵，
∴．
故选：A．
10．B
本题考查了求二次根式中的参数．
由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可．
设（为非负整数），
则，
即，
∵为自然数，
∴，
即，
完全平方数的可能值为，对应，
当时，（不在选项中）；
当时，（不在选项中）；
当时，（不在选项中）；
当时，（对应选项B）；
故选B．
11．
本题主要考查了勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可．
解：如图，
，
∴，
故答案为：．
12．
本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法．
先把两个数通分，然后把根号外的系数变成它的平方，移到根号内，通过比较被开方数的大小比较分子的大小，进而比较这两个数的大小即可．
解：，
，
，
，即，
故答案为：
13．
本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键．
解：∵立方体的棱长为，
∴立方体的体积为，
∴立方体体积减少后剩余的体积为，
∴此时的棱长为，
∴棱长应减少，
当时，，
∴若，则棱长应减少，
故答案为：；．
14．1979
本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解．
解：新建一列数：，共有2022个数，
，，
该列数中包括有理数：，个数为：，
，
无理数列中，是这列无理数中的第1979个数，
故答案为：1979．
15．
本题考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的化简求值，学会灵活变形是解题的关键．根据题意可先求的和，将代数式利用完全平方公式进行变形可得，代入和，即可求解．
解：∵，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
16．81
本题考查整式的混合运算的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示相关的数．
设，则，根据最小的“方减数”可得m=10，n=18，即可求解．
解：设，则，
由题意得：，
∵，
∴要使“方减数”最小，需，
∴，
∴，
当时， 最小为81．
故答案为：81．
17．(1)3
(2)2
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
（1）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算；
（2）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）；（2），6．
本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂，完全平方公式等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别计算零指数幂、负整数指数幂，立方根，化简绝对值，再进行加减计算；
（2）先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并，最后代入求值即可．
解：（1）
；
（2）
，
，
当，时，
原式．
19．(1)图见解析
(2)
本题考查了勾股定理与网格问题、三角形的面积、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理与网格问题是解题关键．
（1）根据勾股定理可得、、，据此画出图形即可得；
（2）先结合网格特点可得的面积等于一个正方形的面积减去三个小直角三角形的面积，再根据三角形的面积公式求解即可得．
（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：设点到的距离为，
由网格可知，的面积为，
则，
解得，
故答案为：．
20．够用，见解析
本题考查了正方形和长方形的面积与周长计算，以及二次根式的大小比较．解题的关键是根据面积公式求出正方形的边长和长方形的长、宽，再通过比较两者的周长判断铁栅栏是否够用．
由正方形面积求出其边长，进而得到周长，即铁栅栏的总长；设长方形的长和宽分别为含同一未知数的表达式，根据面积列出方程，求出未知数；计算长方形的周长，通过二次根式的大小比较，得出长方形周长与正方形周长的大小关系，从而判断铁栅栏是否够用．
解：设原正方形场地的边长为．
根据题意，得，所以．
∴原正方形场地的周长为（）．
∴围建原正方形场地的铁栅栏的总长为．
设新长方形场地的长为，宽为．
根据题意，得，即，所以．
∴新长方形场地的长为，宽为，
∴周长为（）．
∵，
∴，则．
所以这些铁栅栏够用．
21．(1)
(2)不能围出这个长方形框架，理由见解析
本题考查算术平方根，利用开平方解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键．
（1）根据正方形的面积公式即可得出答案；
（2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用平方根解方程求出，比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可．
（1）解：由题意得正方形框架的边长为；
（2）解：不能围出这个长方形框架，理由如下：
由（1）得这根铁丝长为，
由修改后的长方形的长、宽之比为，
设长方形的长为，宽为，
由其面积为，得
，
即，
解得（负值舍），
长方形的周长为，
∵，
∴不能围出这个长方形框架．
22．(1)；见解析
(2)
本题考查了实数的运算，类比题目中所给的运算方法进行计算是解决问题的关键.
（1）类比题目中的计算方法解答即可
（2）根据算式规律写出一般等式，即可求解．
（1）解：，
验证：.
（2）解：
∵左边右边
∴
23．(1)
(2)2
本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，本题的易错点在于平方根和算术平方根的区分．
（1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．根据和是某正数的两个不相等的平方根，可得和互为相反数，其和为；由的立方根为得，即可求出答案．
（2）根据第一问求出的值代入得，再由算术平方根的定义求出答案．
（1）解：由题意和是某正数的两个不相等的平方根可得，
，
，
，
由于的立方根为，
，
；
（2）当时，
∴的算术平方根是
24．(1)；
(2)
(3)的值为或
(4)
本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可；
（4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可．
（1）解：∵，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：∵，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，，即，
∵、、均为正整数，
∴，或，，
∴当，时，；
当，时，；
∴的值为或；
（4）解：∵
，
∴．
