广东省清远市清新区第三中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（图片版，含详解）

广东省清远市清新区第三中学 2024-2025 学年高二
下学期期中考试数学试题
一、单选题
1. 下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
2. 下列求导运算中，正确的一项是（ ）
A． B．
C． D．
3. 若函数 ，则 （ ）
A．3 B．6 C． D．
4. 曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5. 已知函数 ，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
6. 已知在 A，B，C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人
患了流感．假设这三个地区人口数量的比为 3：2：1，现从这三个地区中任意选
取一个人，则这个人患流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.
算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、
金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆
出一个不含数字 0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹
一样多的概率为（ ）
A． B． C． D．
8. 函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9. 函数 的定义域为 ，它的导函数 的部分图象如图所示，则下列
结论正确的是（ ）
A．函数 有三个极值点 B．
C．函数 在 上单调递增 D． 是 的极小值点
10. 若函数 在 上单调递减，则实数 a 值可能为（ ）
A． B．1 C． D．4
11. 若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12. 已知随机变量 的分布列如下表，若 ，则 a=________， ______.
0 1 2
P a b
13. 某数学兴趣小组的 5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、
杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有
学生讲述，则不同的分配方案有______种．
14. 的展开式中，常数项为__________.
四、解答题
15. 已知口袋中有 2个白球和 4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取 1个.
(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率；
(3)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次
取出的是红球的概率.
16. 已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 中的最大值．
17. 已知 的二项展开式有 7项．
(1)求 ，并求出所有二项式系数之和；
(2)求展开式中含 项的系数；
(3)求展开式中的有理项．
18. 当前，以 ChatGPT 为代表的 AIGC（利用 AI 技术自动生成内容的生产方式）
领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱 AIGC，
我国的 BAT（百度、阿里、腾讯 3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色
光标、华为等领头企业已纷纷加码布局 AIGC 赛道，某传媒公司准备发布《2023
年中国 AIGC 发展研究报告》，先期准备从上面 7个科技企业中随机选取 3个进行
采访．
(1)求选取的 3个科技企业中，BAT 中至多有 1个的概率；
(2)记选取的 3个科技企业中 BAT 中的个数为 ，求 的分布列与期望．
19. 已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求实数 的值；
(2)若函数 在 内存在极值，求实数 的取值范围；
(3)若对任意的实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
广东省清远市清新区第三中学 2024-2025 学年高二下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：计数原理与概率统计、函数与导数、等式与不等式
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 5
较易 5
适中 8
较难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 离散型随机变量与连续型随机变量的区分；判断随机试验中的随机变量
2 0.94 基本初等函数的导数公式
3 0.94 求某点处的导数值
4 0.94 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
5 0.94 求已知函数的极值
6 0.65 计算条件概率；利用全概率公式求概率
7 0.85 计算古典概型问题的概率；分类加法计数原理；分步乘法计数原理及简单应用
函数奇偶性的定义与判断；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数图像的识
8 0.65
别
二、多选题
9 0.85 函数与导函数图象之间的关系；函数（导函数）图像与极值点的关系
10 0.65 由函数在区间上的单调性求参数；对勾函数求最值
11 0.65 求指定项的系数；二项展开式各项的系数和
三、填空题
12 0.85 离散型随机变量的方差与标准差；由离散型随机变量的均值求参数
13 0.65 全排列问题；分组分配问题；分步乘法计数原理及简单应用；排列组合综合
14 0.65 三项展开式的系数问题
四、解答题
15 0.65 计算条件概率；独立事件的乘法公式；利用对立事件的概率公式求概率
16 0.85 利用导数求函数的单调区间（不含参）；由导数求函数的最值（不含参）
17 0.65 求指定项的系数；求有理项或其系数；二项式的系数和
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；实际问题中的组合
18 0.85
计数问题；计算古典概型问题的概率
根据极值求参数；利用导数研究不等式恒成立问题；已知切线（斜率）求参数；
19 0.4
利用导数研究函数的零点
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 计数原理与概率统计 1,6,7,11,12,13,14,15,17,18
2 函数与导数 2,3,4,5,8,9,10,16,19
3 等式与不等式 10
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：