第8章 概 率
8.1.1 条件概率(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.结合古典概型,了解条件概率的定义;利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
2.了解事件的独立性与条件概率的关系,掌握概率的乘法公式.
3.会求互斥事件的条件概率,理解条件概率的性质.
1.条件概率的概念
概念 一般地,设A,B为两个事件,P(A)>0,我们称 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,记为 ,读作“ ”,即P(B|A)=
乘法公式 P(AB)= ,通常将此公式称为概率的乘法公式
2.条件概率的性质
(1)P(Ω|A)= ;
(2)P( |A)= ;
(3)若B1,B2互斥,则P((B1+B2)|A)= .
微点助解 P(B|A),P(A|B)与P(AB)的区别与联系
(1)P(B|A)与P(A|B)都表示条件概率,但意义不同.前者表示A发生的条件下,B发生的概率,后者表示B发生的条件下A发生的概率,其值未必相同.而P(AB)表示A,B同时发生的概率.
(2)由条件概率公式易得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B).
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)P(B|A)
(2)事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生. ( )
(3)P(A|A)=0. ( )
(4)P(B|A)=P(A|B). ( )
2.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)为 ( )
A. B.
C. D.
3.夏季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为,,且两地同时下雨的概率为,则在夏季的一天里,在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.将一枚质地均匀的硬币抛掷2次,设事件A为“第一次出现正面”,事件B为“第二次出现正面”,求P(A|B)与P(B|A).
题型(一) 求条件概率
方法1 利用定义求条件概率
[例1] (1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 ( )
A.0.8 B.0.6
C.0.5 D.0.4
(2)现有4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的条件下,女生乙也被选中的概率为 .
听课记录:
[思维建模] 利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A).
(2)代入公式得P(B|A)=.这个公式适用于一般情形,其中AB表示A,B同时发生.
方法2 缩小样本空间求条件概率
[例2] 集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从集合A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例条件不变,求乙抽到偶数的概率.
2.本例条件“若甲先取(不放回),乙后取”变为“若甲先取(放回),乙后取”.事件A为“甲抽到的数大于4”,事件B为“甲、乙抽到的两数之和等于7”,求P(B|A).
[思维建模] 利用缩小样本空间法求条件概率的步骤
(1)缩:将原来的样本空间Ω缩小为事件A,原来的事件B缩小为AB.
(2)数:数出A中事件AB所包含的样本点数.
(3)算:利用P(B|A)=求得结果.
[针对训练]
1.太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉,都准备从C,D,E,F4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择C”,事件B为“甲和乙选择的景点不同”,则条件概率P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
2.已知甲同学从学校的4个科技类社团,3个艺术类社团,2个体育类社团中选择报名参加,若甲报名了两个社团,则在仅有一个是科技类社团的条件下,另一个是体育类社团的概率为 ( )
A. B.
C. D.
3.一个盒子内装有4个产品,其中3个一等品,1个二等品,从中取两次,每次任取1个,进行不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).
题型(二) 互斥事件的条件概率
[例3] 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.
听课记录:
[思维建模]
(1)利用加法公式可使条件概率的计算较为简单,但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”.
(2)为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件,求出简单事件的概率后,相加即可得到复杂事件的概率.
[针对训练]
4.若B,C是互斥事件且P(B|A)=,P(C|A)=,则P(B∪C|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
5.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机抽取两瓶,若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色,求另一瓶是红色或黑色的概率.
8.1.1 条件概率
课前环节
1. P(B|A) A发生的条件下B发生的概率 (P(A)>0) P(B|A)P(A)
2.(1)1 (2)0 (3)P(B1|A)+P(B2|A)
[基点训练]
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.B
3.选C 记事件A为甲地下雨,事件B为乙地下雨,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(A|B)===.故选C.
4.解:由题意可知,事件A包含的样本点为(正,正),(正,反),事件B包含的样本点为(正,正),(反,正),事件AB所包含的样本点为(正,正),所以P(A|B)==,P(B|A)==.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)令事件A,B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪,事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰,则P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4,所以P(C)=P(A|B)===0.8,故选A.
(2)设事件A表示“男生甲被选中”,事件B表示“女生乙被选中”,则由题意可得P(A)==,P(AB)==,∴P(B|A)==.故在男生甲被选中的条件下,女生乙也被选中的概率为.
答案:(1)A (2)
[例2] 解:将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记为(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15种情况.在这15种情况中,乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9种情况,所以所求概率为P==.
[变式拓展]
1.解:在甲抽到奇数的情形中,乙抽到偶数的情形有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9种情况,所以所求概率为P==.
2.解:甲抽到的数大于4的情形有(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12种情况,其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5,2),(6,1),共2种情况.所以P(B|A)==.
[针对训练]
1.选D 由题意知两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩,共有4×4=16种,其中事件A的情况有4×4-3×3=7种,事件A和事件B共同发生的情况有2×3=6种,所以P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)===.
2.选B 设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是科技类”,事件B为“所报两个社团中有一个是体育类”,则P(A)==,P(AB)==,则P(B|A)==.
3.解:将3个一等品编号为1,2,3,二等品编号为4,以(i,j)表示第一次、第二次分别取得第i号、第j号产品,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件A有9个样本点,事件AB有6个样本点,P(B|A)===.
[题型(二)]
[例3] 解:设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C.
法一 ∵P(A)=,P(AB)==,
P(AC)==,∴P(B|A)===,P(C|A)===.
∵事件B与C互斥,∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
故所求的概率为.
法二 ∵n(A)==9,n[(B∪C)∩A]=+=5,∴P(B∪C|A)=.故所求的概率为.
[针对训练]
4.选D 因为B,C是互斥事件,所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
5.解:设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥,易求得P(A)==,
P(AB)==,
P(AC)==,
故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
5 / 5(共60张PPT)
条件概率
(强基课——梯度进阶式教学)
8.1.1
课时目标
1.结合古典概型,了解条件概率的定义;利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
2.了解事件的独立性与条件概率的关系,掌握概率的乘法公式.
3.会求互斥事件的条件概率,理解条件概率的性质.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.条件概率的概念
概念 一般地,设A,B为两个事件,P(A)>0,我们称 _______ 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,记为______,读作“___________________________”,即
P(B|A)=_____________
乘法 公式 P(AB)=__________,通常将此公式称为概率的乘法公式
P(B|A)
A发生的条件下B发生的概率
P(B|A)P(A)
(P(A)>0)
2.条件概率的性质
(1)P(Ω|A)=____;
(2)P( |A)=____;
(3)若B1,B2互斥,则P((B1+B2)|A)= .
0
1
P(B1|A)+P(B2|A)
微点助解
P(B|A),P(A|B)与P(AB)的区别与联系
(1)P(B|A)与P(A|B)都表示条件概率,但意义不同.前者表示A发生的条件下,B发生的概率,后者表示B发生的条件下A发生的概率,其值未必相同.而P(AB)表示A,B同时发生的概率.
(2)由条件概率公式易得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B).
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)P(B|A)(2)事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生. ( )
(3)P(A|A)=0. ( )
(4)P(B|A)=P(A|B). ( )
基点训练
×
√
×
×
2.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)为( )
A. B.
C. D.
√
3.夏季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为,,且两地同时下雨的概率为,则在夏季的一天里,在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为( )
A. B.
C. D.
√
解析:记事件A为甲地下雨,事件B为乙地下雨,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(A|B)===.故选C.
4.将一枚质地均匀的硬币抛掷2次,设事件A为“第一次出现正面”,事件B为“第二次出现正面”,求P(A|B)与P(B|A).
解:由题意可知,事件A包含的样本点为(正,正),(正,反),事件B包含的样本点为(正,正),(反,正),事件AB所包含的样本点为(正,正),
所以P(A|B)==,P(B|A)==.
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 求条件概率
方法1 利用定义求条件概率
[例1] (1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A.0.8 B.0.6
C.0.5 D.0.4
√
解析:令事件A,B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪,事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰,
则P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4,
所以P(C)=P(A|B)===0.8,故选A.
(2)现有4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,
在男生甲被选中的条件下,女生乙也被选中的概率为 .
解析:设事件A表示“男生甲被选中”,事件B表示“女生乙被选中”,则由题意可得P(A)==,P(AB)==,∴P(B|A)==.故在男生甲被选中的条件下,女生乙也被选中的概率为.
[思维建模]
利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A).
(2)代入公式得P(B|A)=.这个公式适用于一般情形,其中AB表示A,B同时发生.
方法2 缩小样本空间求条件概率
[例2] 集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从集合A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解:将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记为(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,6),共15种情况.在这15种情况中,乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9种情况,所以所求概率为P==.
[变式拓展]
1.本例条件不变,求乙抽到偶数的概率.
解:在甲抽到奇数的情形中,乙抽到偶数的情形有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9种情况,所以所求概率为P==.
2.本例条件“若甲先取(不放回),乙后取”变为“若甲先取(放回),乙后取”.事件A为“甲抽到的数大于4”,事件B为“甲、乙抽到的两数之和等于7”,求P(B|A).
解:甲抽到的数大于4的情形有(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12种
情况,其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5,2),(6,1),共2种情况.所以P(B|A)==.
[思维建模]
利用缩小样本空间法求条件概率的步骤
(1)缩:将原来的样本空间Ω缩小为事件A,原来的事件B缩小为AB.
(2)数:数出A中事件AB所包含的样本点数.
(3)算:利用P(B|A)=求得结果.
1.太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉,都准备从C,D,E,F4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择C”,事件B为“甲和乙选择的景点不同”,则条件概率P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
针对训练
√
解析:由题意知两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩,共有4×4=16种,其中事件A的情况有4×4-3×3=7种,事件A和事件B共同发生的情况有2×3=6种,所以P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)===.
2.已知甲同学从学校的4个科技类社团,3个艺术类社团,2个体育类社团中选择报名参加,若甲报名了两个社团,则在仅有一个是科技类社团的条件下,另一个是体育类社团的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是科技类”,事件B为“所报两个社团中有一个是体育类”,则P(A)==,P(AB)==,
则P(B|A)==.
3.一个盒子内装有4个产品,其中3个一等品,1个二等品,从中取两次,每次任取1个,进行不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).
解:将3个一等品编号为1,2,3,二等品编号为4,以(i,j)表示第一次、第二次分别取得第i号、第j号产品,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件A有9个样本点,事件AB有6个样本点,P(B|A)===.
题型(二) 互斥事件的条件概率
[例3] 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.
解:设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C.
法一 ∵P(A)=,P(AB)==,
P(AC)==,∴P(B|A)===,P(C|A)===.
∵事件B与C互斥,∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
故所求的概率为.
法二 ∵n(A)==9,n[(B∪C)∩A]=+=5,∴P(B∪C|A)=.故所求的概率为.
[思维建模]
(1)利用加法公式可使条件概率的计算较为简单,但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”.
(2)为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件,求出简单事件的概率后,相加即可得到复杂事件的概率.
4.若B,C是互斥事件且P(B|A)=,P(C|A)=,则P(B∪C|A)等于( )
A. B.
C. D.
解析:因为B,C是互斥事件,所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
针对训练
√
5.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机抽取两瓶,若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色,求另一瓶是红色或黑色的概率.
解:设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥,易求得P(A)==,
P(AB)==,P(AC)==,
故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
课时跟踪检测
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2
A级——综合提能
1.设A,B为两个事件,且P(A)>0,若P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
解析: P(B|A)===.
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2.某校开展了课后延时服务,要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务,则张老师在周二参加课后延时服务的条件下,周三也参加课后延时服务的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
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解析:张老师在周二参加课后延时服务的条件下,周一至周五还剩余4天,张老师周三也参加课后延时服务的概率P=.
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3.有7件产品,其中4件正品,3件次品,现不放回从中取2件产品,每次一件,则在第一次取得次品的条件下,第二次取得正品的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析:设“第一次取得次品”为事件A,“第二次取得正品”为事件B,
则P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)==×=.故选B.
√
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4.[多选]下列说法不正确的是 ( )
A.P(B|A)B.P(B|A)=是可能的
C.P(B|A)=P(A|B)
D.P(A|A)=1
√
√
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解析:由条件概率公式P(B|A)=及0错误;当事件A包含事件B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)=,故B正确;
因为P(B|A)=,P(A|B)=,P(A)与P(B)不一定相等,
所以P(B|A)=P(A|B)不一定成立,故C错误;显然,P(A|A)=1,D正确.
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5.质数(prime number)又称素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”,如:3和5,5和7,…,那么,如果我们在不超过30的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件A:这两个数都是素数;事件B:这两个数不是孪生素数,则P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
√
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解析:不超过30的自然数有31个,其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,孪生素数有3和5,5和7,11和13,17和19,共4组.
所以P(A)==,P(AB)==,所以P(B|A)===.
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6.已知事件A和B是互斥事件,P(C)=,P(BC)=,P(A∪B|C)=,
则P(A|C)= .
解析:由题意知,P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)=,P(B|C)===,
则P(A|C)=P(A∪B|C)-P(B|C)=-=.
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7.有一批种子的发芽率为0.8,出芽后的幼苗成活率为0.7,则在这批种子中,随机抽取一粒,这粒种子能成长为幼苗的概率为 .
解析:设A=“种子发芽成功”,B=“种子能成长为幼苗”.根据题意知P(A)=0.8,P(B|A)=0.7,故由P(B|A)=知P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.7=0.56.又B A,故P(B)=P(AB)=0.56,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56.
0.56
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2
8.某人一周晚上值2次班,在已知他周日一定值班的条件下,他在周六晚
上值班的概率为 .
解析:设事件A为“周日值班”,事件B为“周六值班”,
则P(A)==,P(AB)==,故P(B|A)==.
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9.某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人.全班平均分成4个小组,其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.
(1)求选到的是第一组学生的概率;
解:设事件A表示“选到第一组学生”,事件B表示“选到共青团员”.
由题意,得P(A)==.
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(2)已知选到的是共青团员,求他是第一组学生的概率.
解:法一 要求的是在事件B发生的条件下,事件A发生的概率P(A|B).
不难理解,在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为
前提),有15种不同的选择,其中属于第一组的有4种选择.因此,P(A|B)=.
法二 P(B)==,P(AB)==,
所以P(A|B)==.
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10.袋子中装有标号为1,2,3,4,5,6,7的7个大小、颜色完全相同的小球,从中不放回地摸两次球,每次一个,求第一次摸出奇数号球,第二次摸出偶数号球的概率是多少
解:设“第一次摸出奇数号球”为事件B,“第二次摸出偶数号球”为事件A,“第一次摸出奇数号球同时第二次摸出偶数号球”为事件AB,
从7个球中不放回地摸两次球,样本点总数为=7×6=42,
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事件B含有的样本点数为=4×6=24,于是P(B)==,
事件AB含有的样本点数为=4×3=12,于是P(AB)==,
由条件概率公式,得P(A|B)===,
所以第一次摸出奇数号球,第二次摸出偶数号球的概率为.
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B级——应用创新
11.某校举办中学生乒乓球运动会,高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛,并从中随机选取3人组成代表队参赛,在代表队中既有男生又有女生的条件下,女生甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
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解析:用A表示事件“代表队中既有男生又有女生”,B表示事件“女生甲被选中”,则在代表队中既有男生又有女生的条件下,女生甲被选中的概率为P(B|A).
∵n(A)=--=30,n(AB)=+=8+6=14,∴P(B|A)===.
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12.已知桌上放有3本语文书和3本数学书.小明现从这6本书中任意抽取3本书,事件A表示“至少抽到1本数学书”,事件B表示“抽到语文书和数学书”,则P(B|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
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解析:由题意得n(A)=-=20-1=19,n(AB)=+=18,由条件概率的公式得P(B|A)==.
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13.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,B为“第二次取到的数是3的整数倍”,则P(B|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
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解析:由题意得P(A)=,事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的数是3的整数倍”,若第一次取到的为3或9,第二次有2种情况;若第一次取到的为1,5,7,第二次有3种情况,故共有2×2+3×3=13(个)样本点,
则P(AB)==,由条件概率的定义,得P(B|A)==.
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14.(2024·天津高考)A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.
甲选到A的概率为___;已知乙选了A活动,他再选择B活动的概率为____.
解析:由题意知甲选到A的概率P==.记“乙选择A活动”为事件M,“乙选择B活动”为事件N,则P(M)==,P(MN)==,
所以P(N|M)===
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15.某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系,从年龄在[20,70]内的顾客中,随机抽取了100人,调查结果如表:
年龄段类型 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
单次购物金 额满188元 8 15 23 15 9
单次购物金额不满188元 2 3 5 9 11
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(1)为了回馈顾客,超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5 000人购物,由频率估计概率,预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋
解:由题表可知,单次购物金额满188元的有8+15+23+15+9=70人,
所以单次购物金额满188元的频率为=,所以 5 000人中,单次购物金额满188元的大约有5 000×=3 500人,故需准备3 500个环保购物袋.
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(2)在上面抽取的100人中,随机依次抽取2人,已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元,求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.
解:记事件A为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”,记事件B为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”,
所以P(A)==,P(AB)=×=,所以P(B|A)===,
故第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率为.课时跟踪检测(二十六) 条件概率
A级——综合提能
1.设A,B为两个事件,且P(A)>0,若P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
2.某校开展了课后延时服务,要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务,则张老师在周二参加课后延时服务的条件下,周三也参加课后延时服务的概率为 ( )
A. B.
C. D.
3.有7件产品,其中4件正品,3件次品,现不放回从中取2件产品,每次一件,则在第一次取得次品的条件下,第二次取得正品的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.[多选]下列说法不正确的是 ( )
A.P(B|A)B.P(B|A)=是可能的
C.P(B|A)=P(A|B)
D.P(A|A)=1
5.质数(prime number)又称素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”,如:3和5,5和7,…,那么,如果我们在不超过30的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件A:这两个数都是素数;事件B:这两个数不是孪生素数,则P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
6.已知事件A和B是互斥事件,P(C)=,P(BC)=,P(A∪B|C)=,则P(A|C)= .
7.有一批种子的发芽率为0.8,出芽后的幼苗成活率为0.7,则在这批种子中,随机抽取一粒,这粒种子能成长为幼苗的概率为 .
8.某人一周晚上值2次班,在已知他周日一定值班的条件下,他在周六晚上值班的概率为 .
9.某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人.全班平均分成4个小组,其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.
(1)求选到的是第一组学生的概率;
(2)已知选到的是共青团员,求他是第一组学生的概率.
10.袋子中装有标号为1,2,3,4,5,6,7的7个大小、颜色完全相同的小球,从中不放回地摸两次球,每次一个,求第一次摸出奇数号球,第二次摸出偶数号球的概率是多少
B级——应用创新
11.某校举办中学生乒乓球运动会,高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛,并从中随机选取3人组成代表队参赛,在代表队中既有男生又有女生的条件下,女生甲被选中的概率为 ( )
A. B.
C. D.
12.已知桌上放有3本语文书和3本数学书.小明现从这6本书中任意抽取3本书,事件A表示“至少抽到1本数学书”,事件B表示“抽到语文书和数学书”,则P(B|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
13.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,B为“第二次取到的数是3的整数倍”,则P(B|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
14.(2024·天津高考)A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为 ;已知乙选了A活动,他再选择B活动的概率为 .
15.某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系,从年龄在[20,70]内的顾客中,随机抽取了100人,调查结果如表:
年龄段类型 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
单次购物金额满188元 8 15 23 15 9
单次购物金额不满188元 2 3 5 9 11
(1)为了回馈顾客,超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5 000人购物,由频率估计概率,预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋
(2)在上面抽取的100人中,随机依次抽取2人,已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元,求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.
课时跟踪检测(二十六)
1.选A P(B|A)===.
2.选B 张老师在周二参加课后延时服务的条件下,周一至周五还剩余4天,张老师周三也参加课后延时服务的概率P=.
3.选B 设“第一次取得次品”为事件A,“第二次取得正品”为事件B,则P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)==×=.故选B.
4.选AC 由条件概率公式P(B|A)=及05.选D 不超过30的自然数有31个,其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,孪生素数有3和5,5和7,11和13,17和19,共4组.所以P(A)==,P(AB)==,所以P(B|A)===.
6.解析:由题意知,P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)=,P(B|C)===,则P(A|C)=P(A∪B|C)-P(B|C)=-=.
答案:
7.解析:设A=“种子发芽成功”,B=“种子能成长为幼苗”.根据题意知P(A)=0.8,P(B|A)=0.7,故由P(B|A)=知P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.7=0.56.又B A,故P(B)=P(AB)=0.56,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56.
答案:0.56
8.解析:设事件A为“周日值班”,事件B为“周六值班”,则P(A)==,P(AB)==,故P(B|A)==.
答案:
9.解:设事件A表示“选到第一组学生”,事件B表示“选到共青团员”.
(1)由题意,得P(A)==.
(2)法一 要求的是在事件B发生的条件下,事件A发生的概率P(A|B).不难理解,在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提),有15种不同的选择,其中属于第一组的有4种选择.因此,P(A|B)=.
法二 P(B)==,P(AB)==,所以P(A|B)==.
10.解:设“第一次摸出奇数号球”为事件B,“第二次摸出偶数号球”为事件A,“第一次摸出奇数号球同时第二次摸出偶数号球”为事件AB,
从7个球中不放回地摸两次球,样本点总数为=7×6=42,
事件B含有的样本点数为=4×6=24,于是P(B)==,
事件AB含有的样本点数为=4×3=12,于是P(AB)==,由条件概率公式,得P(A|B)===,
所以第一次摸出奇数号球,第二次摸出偶数号球的概率为.
11.选B 用A表示事件“代表队中既有男生又有女生”,B表示事件“女生甲被选中”,则在代表队中既有男生又有女生的条件下,女生甲被选中的概率为P(B|A).∵n(A)=--=30,n(AB)=+=8+6=14,∴P(B|A)===.
12.选D 由题意得n(A)=-=20-1=19,n(AB)=+=18,由条件概率的公式得P(B|A)==.
13.选B 由题意得P(A)=,事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的数是3的整数倍”,若第一次取到的为3或9,第二次有2种情况;若第一次取到的为1,5,7,第二次有3种情况,故共有2×2+3×3=13(个)样本点,则P(AB)==,由条件概率的定义,得P(B|A)==.
14.解析:由题意知甲选到A的概率P==.记“乙选择A活动”为事件M,“乙选择B活动”为事件N,则P(M)==,P(MN)==,所以P(N|M)===.
答案:
15.解:(1)由题表可知,单次购物金额满188元的有8+15+23+15+9=70人,
所以单次购物金额满188元的频率为=,所以 5 000人中,单次购物金额满188元的大约有5 000×=3 500人,故需准备3 500个环保购物袋.
(2)记事件A为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”,记事件B为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”,所以P(A)==,P(AB)=×=,所以P(B|A)===,
故第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率为.
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